精品解析：福建省龙岩市连城县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

连城一中2024-2025学年上期 高二年级月考1数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列1，则是它的（ ） A. 第30项 B. 第31项 C. 第32项 D. 第33项 2. 直线与圆的位置关系是（） A. 相交且直线过圆心 B. 相交但直线不过圆心 C. 相切 D. 相离 3. 在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 10 B. 16 C. D. 4 4. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“方程是圆的方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ） A. 55 B. 52 C. 39 D. 26 7. 光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，又被轴反射，这时反射线恰好过点，则所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：和直线：，下列说法正确是（   ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 10. 已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. 数列单调递减 C. D. 数列是公差为2等差数列 11. 已知，点为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若圆，则圆与圆有四条公切线 B 若满足，则 C. 直线的方程为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为______． 13. 已知直线与交于，两点，则的面积为___________. 14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等直线方程． 16. 已知数列满足. （1）求的通项公式. （2）求数列的前项和. 17. 证明圆与圆内切，并求它们的公切线方程． 18. 已知的前项和是，且． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前项和． 19. 在平面直角坐标系中，圆M是以两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称． （1）求圆N标准方程； （2）设，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上． ①过点C作与直线垂直的直线，交圆N于两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线,相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 连城一中2024-2025学年上期 高二年级月考1数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列1，则是它的（ ） A. 第30项 B. 第31项 C. 第32项 D. 第33项 【答案】C 【解析】 【分析】 将写成，从而得到规律，即可得答案； 【详解】， 是数列的第32项， 故选：C. 【点睛】本题考查利用观察法求数列的项，属于基础题. 2. 直线与圆的位置关系是（） A. 相交且直线过圆心 B. 相交但直线不过圆心 C. 相切 D. 相离 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离来确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：D 3. 在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（ ） A 10 B. 16 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合等比数列下标性质进行求解即可. 【详解】依题意，得，而，所以． 故选：C 4. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知先求出直线的斜率，进而可求直线的倾斜角． 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 故直线的倾斜角为． 故选：B． 5. “”是“方程是圆的方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若方程表示圆，则， 即，解得或， 故 “”是“方程是圆的方程”的充分不必要条件， 故选：A 6. 《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ） A. 55 B. 52 C. 39 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】将每天织的布构成一个等差数列，根据条件求出公差，将要求的转化为公差与首项来求，即可得出答案． 【详解】因为从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布， 所以该女子每天织的布构成一个等差数列 ， 其中 ． 所以 ． 故选：B． 7. 光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，又被轴反射，这时反射线恰好过点，则所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意做出光线传播路径，求关于轴的对称点，点关于轴的对称点，进而得所在直线的方程即为直线方程，再根据两点式求方程即可. 【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点关于轴的对称点， 点关于轴的对称点， 则所在直线的方程即为直线方程， 由两点是方程得直线方程为：，整理得： 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求关于轴的对称点与关于轴的对称点所在直线的方程，考查运算求解能力，是中档题. 8. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件结合对数的性质构造，两侧同时平方求最值即可. 【详解】由题知是的正整数解， 故， 取指数得， 同除得，， 故，即， 根据是递增数列可以得到也是递增数列， 于是原不等式转化为. 而可以得到满足要求的的最大值为5，故A正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（   ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合；选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断. 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 10. 已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. 数列单调递减 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用，可求出值为2，从而，，进一步即可判断选项A、C，易知是以2为首项，以2为公比的等比数列，从而可判断选项B；计算出即可判断选项D. 【详解】解：由题意可知，根据，得，整理得， 解得或（舍去），所以，故选项A正确； 由，得是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以单调递增，故选项B错误； ，则，所以选项C正确； 令，则，所以， 所以是以为公差的等差数列，选项D错误. 故选：AC. 11. 已知，点为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若圆，则圆与圆有四条公切线 B. 若满足，则 C. 直线的方程为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由两圆位置关系得到公切线条数，再由圆上的点的三角表示求出的取值范围，再由切线求出切点最后得到切点弦方程，最后应用阿氏圆转化为两点间线段最短即可. 【详解】圆的圆心为，， 对于A：圆的圆心为，半径，所以， 所以两个圆外离，所以有4条公切线，A正确； 对于B：因为满足，所以是圆上的点， 所以可令，其中， 此时，B正确； 对于C：若过点的直线斜率不存在，此时直线为，不是圆的切线， 所以圆的切线斜率存在，设为，则切线方程为， 圆心到直线的距离为，解得或者， 所以切线方程为和， 联立，解得，联立，解得， 所以（或者）， 所以，直线，C错误； 对于D：设轴上存在点使得圆上任意的一点点满足， 即，解得， 所以，解得，所以存在点在圆内使得， 所以，D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：若能熟练掌握圆的切点弦方程和阿氏圆逆定理则能快速判断CD选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为______． 【答案】300 【解析】 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 13. 已知直线与交于，两点，则的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用弦长公式求得，进而求得三角形的面积. 【详解】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出的图象关于点中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ， 所以的图象关于点中心对称． 因， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令，则当时，单调递减； 当时，单调递增． 又，所以， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用直线平行的斜率关系和直线的点斜式方程求解即可； （2）分类讨论截距否为0进行求解即可. 【小问1详解】 直线的斜率： ， 故过点且与平行的直线方程斜率. 且故直线方程为：，即. 小问2详解】 过点且在轴和轴上截距相等的直线方程, 当截距为0时, 直线过原点，直线方程为：，即； 当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为：， 代入得， 故直线方程为即. 综上得：直线方程为或 16. 已知数列满足. （1）求的通项公式. （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用累乘法可求得通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求得前项和. 【小问1详解】 因为， 所以，，，……，， 所以， 所以，得； 【小问2详解】 由（1）得， 令数列的前项和为，则 所以， 所以 ， 所以 所以数列的前项和为. 17. 证明圆与圆内切，并求它们的公切线方程． 【答案】证明见解析，切线方程为 【解析】 【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求证，求解切点坐标，根据向量垂直关系即可求解切线方程. 【详解】将圆的方程化成标准方程，得， 则圆心坐标为，半径． 将圆的方程化成标准方程，得， 则圆心坐标为，半径． 两圆心之间的距离，因此两圆内切（如图）． 为求公切线方程，需要求切点坐标．切点是两圆唯一的公共点， 其坐标即为方程组的解． ②－①，得， ③ 即． ④ 将④代入②，整理得． 解此方程，得唯一解，代入④，得．故切点坐标为． 切点到圆的圆心的方向向量为，并且与切线方向垂直， 故向量是切线的法向量，因此可设切线的一般式方程为． 将切点的坐标代入上述方程，解得． 因此，所求切线方程为． 18. 已知的前项和是，且． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式得，有，即可求解； （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，分别由等差数列求和及裂项相消法求和即可． 【小问1详解】 由①得，当时，②， 联立①②得， 所以有， 因为，所以． 【小问2详解】 设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 由（1）知 则， ， 综上：． 19. 在平面直角坐标系中，圆M是以两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称． （1）求圆N的标准方程； （2）设，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上． ①过点C作与直线垂直的直线，交圆N于两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线,相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）①7；②点G在定直线上. 【解析】 【分析】（1）以为直径的圆，圆心为的中点，半径为的一半，则可直接得圆M的方程，然后由对称的性质可得圆N的圆心和半径，写出圆的标准方程即可. （2）利用点到直线的距离公式，可用的斜率表示出四边形的面积，由均值定理可得其最大值；点在定直线上的问题可以用参数表示出点的坐标，然后研究纵、横坐标之间的联系，确定其所在直线的方程. 【小问1详解】 由题意得：为线段的中点，故圆M的圆心坐标为，半径 圆M的方程为：， 因为圆N关于圆M关于直线对称，所以圆N的圆心为 所以圆N的标准方程为：. 【小问2详解】 解：设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以， （ⅰ）若，则直线斜率不存在，则，,则， 若，则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立. 综上所述，因为，所以S的最大值为7； （ⅱ）设，联立方程组得： 消y得，则， 直线的方程为，直线的方程为，联立解得 则， 所以，所以点G在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$