精品解析：福建省福州市闽侯县第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

2024-2025闽侯一中高三第一次月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 若集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若正数x，y满足 则最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 4. 已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中，真命题为（ ） A 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则 10. 已知函数图象与函数的图象重合，则（ ） A. B. 在区间单调递增 C. 直线是的图象的对称轴 D. 直线是曲线的切线 11. 已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，则（ ） A. B C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列为递增数列，且，，则__________． 13. 如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.给出下列结论： ①； ②平面； ③直线与直线所成角的范围是； ④点到平面的距离是. 其中所有正确结论的序号是______. 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，． （1）若，求的面积； （2）若是锐角三角形，为中点，求长的取值范围． 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）设数列的前n项和为，求数列的前项和. 17. 如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，. （1）证明：平面； （2）若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 设函数，直线是曲线在点处的切线． （1）当时，求的单调区间. （2）求证：不经过点. （3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 19. 给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： （1）求出在点处的泰勒展开式； （2）用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； （3）现已知，试求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025闽侯一中高三第一次月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 若集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分式不等式的解法与交集的概念求解 【详解】由得，得，则， 故选：B 2. 已知，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3. 若正数x，y满足 则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解. 【详解】由题设及，可得 . 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为4. 故选：C. 4. 已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，设圆柱的高为，表示出棱柱和圆柱的体积，由两体积相等化简可求出棱柱与圆柱的高的比值 【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为， 等边的面积为， 则正三棱柱的体积为， 设的外接圆半径为，则，故， 设圆柱的高为，则圆柱的体积， 由题意得，解得. 故选：D. 5. 已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知算出，根据投影向量定义即可求解. 【详解】因为，所以，即， 又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 【答案】C 【解析】 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简已知得，其中，再求出，即得解. 【详解】， ， 即， 令， 则， ， ， 所以. 故选：C 8. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的奇偶性，由奇偶性得，接着利用导数工具二次求导研究函数在上单调性，由单调性即可判断的大小关系. 【详解】因为， 所以函数定义域为，， 所以函数为偶函数，故， 当时，， 所以， 因为，所以， 所以在单调递增，故即， 所以在单调递增，又， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】思路点睛：比较函数值大小问题通常通过研究函数奇偶性和单调性来分析，故本题先求出函数的奇偶性，接着利用导数工具研究函数在上单调性，进而由函数奇偶性和单调性即可判断的大小关系. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中，真命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数除法运算、共轭复数和实数定义可知AB正确；通过反例可说明CD错误. 【详解】对于A，若，可设，，A正确； 对于B，设，则， 若，则，，，B正确； 对于C，若，则，但，C错误； 对于D，若，，则，但，D错误. 故选：AB. 10. 已知函数的图象与函数的图象重合，则（ ） A. B. 在区间单调递增 C. 直线是的图象的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用诱导公式求出，即可得到、的解析式，即可判断A；再由正弦函数的性质判断B、C；求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断D. 【详解】对于A，根据题意知的图象与重合， 所以， 所以，解得， 又，所以， 所以，， 则，故A正确； 对于B，因为，则，又在上单调递增， 所以在区间单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以不是的图象的对称轴，故C错误； 对于D，因为，所以， 令，则， 则或，解得或， 又，所以在处的切线方程为， 所以是曲线的切线，故D正确. 故选：ABD 11. 已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB，利用赋值法求得，,再根据中心对称的定义判断即可； 对CD，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得． 【详解】对于A，令，则有，即， 令，则有，所以， 所以函数不关于中心对称，故A错误B正确； 对于C，令，则有,即， 则, ，故C正确； 对于D，令，则有,即，则，即，又， 令,，则有， 所以数列是等差数列，首项为，公差为1， 所以， 即， 则，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列为递增数列，且，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意分析可知，，可得，，结合等比数列的性质分析求解. 【详解】因为递增的等比数列中，，，且， 可知和是一元二次方程的两个根， 且，解得，， 可得，所以 故答案为：2. 13. 如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.给出下列结论： ①； ②平面； ③直线与直线所成角的范围是； ④点到平面的距离是. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得. 【详解】 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、、 、， 则、、、、 、、， 设，，则， ，故，故①正确； 设平面的法向量为， 则有，即，取，则， 有，故，又平面，则平面，故②正确； 当时，有，此时，即， 即此时直线与直线所成角为，故③错误； 由，， 则，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的变化来体现动点的变化. 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得只有一个解，从而可得，，设，利用导数求解即可． 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切， 则只有一个解， ，化简得，将其代入得， ，即，. ， 则， 设，则， 在单调递减，， 的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由指对运算可得，进而可得，构造函数，由导数求解即可. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，． （1）若，求面积； （2）若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，再根据余弦定理可得，故可求三角形面积. （2）根据余弦定理可得，根据锐角三角形可得，故可求长的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得，故， 又，故， 因为，而为三角形内角，故， 所以. 【小问2详解】 在中，由； 在中，由； 而，所以， 故， 而是锐角三角形，故，即， 故， 故即. 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）证明：数列等差数列； （2）设数列的前n项和为，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由（1）的结果可知，再分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和. 【小问1详解】 因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知， 数列的前项和为， 所以， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以 17. 如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，. （1）证明：平面； （2）若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，推导出平面，再利用线面垂直的性质定理结合勾股定理逆定理可证得结论成立； （2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，其中，求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解. 【小问1详解】 取的中点，连接，与交于Q点， 在底面矩形中，易知， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 易知，所以， 由题意可知, 所以，而相交，且平面， 所以平面； 【小问2详解】 由上可知，，， 以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，则，， 则，取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 解得，即. 18. 设函数，直线是曲线在点处的切线． （1）当时，求的单调区间. （2）求证：不经过点. （3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【小问1详解】 ， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 ，切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. 【小问3详解】 时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 19. 给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： （1）求出在点处的泰勒展开式； （2）用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； （3）现已知，试求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用阶泰勒展开式的定义，可求， （2）由（1）可求； （3）由（1）可得，进而可得，结合已知可得结论. 【小问1详解】 ，，，， 所以，，，， 由 所以 【小问2详解】 由（1）可得 【小问3详解】 因为①， 对， 两边求导可得：， 所以， 所以②， 比较①②中的系数，可得： ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；第三问关键在于用阶泰勒展开式表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$