精品解析：浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高一上学期10月教学质量检测数学试题

杭州联谊学校2024年10月教学质量检测 高一数学试题 一、单选题（每小题4分，共计32分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ） 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9. 若是的必要不充分条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 若正实数满足，则下列说法正确是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 三、填空题（每小题4分，共计12分） 12. 若，则______. 13. 已知，，则的取值范围是__________． 14. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（共计58分） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. （1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值. 17. 某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本50万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万合销售收入为G(x)万元，. （1）求年利润s(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本) （2）当年产量为多少万台时，该公司获得利润最大？并求出最大利润. 18. 已知函数. （1）若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值； （2）若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围. 19. 已知二次函数的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州联谊学校2024年10月教学质量检测 高一数学试题 一、单选题（每小题4分，共计32分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可． 【详解】因为， 则. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ） 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得. 【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，. 故选：B 4. 若，则下列命题正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案. 【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 5. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 6. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】∵， ∴对称轴为直线，当时，． ∵时，， 由二次函数的对称性可知另一个的对应的值为， ∴的取值范围是． 故选：． 7. 已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可. 【详解】令，解得， 当时，，，即，且，解得； 当时，，，即，且，解得， 当时，， ，而正实数，则此种情况无解， 所以正实数的取值范围为或. 故选：A 8. 已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为对都恒成立，结合二次函数以及一次的性质即可求解. 【详解】，对均有成立， 在上单调递增，， 依题意有对均有成立， 即在时恒成立，∴，解得， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9. 若是的必要不充分条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】由，可得或. 对于方程，当时，方程无解，符合题意； 当时，解方程，可得. 由题意知，， 此时应有或，解得或. 综上可得，或. 故选：BC. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：ABC． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A；利用同一函数得定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法求解函数解析式判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为， 对于函数，则，解得，即定义域为，故A正确； 对于B，定义域为，定义域为， 所以和不是同一个函数，故B错误； 对于C，令，则， 所以， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为，所以， 两边同乘以2得， 两式相加得，解得，故D正确． 故选：AD． 三、填空题（每小题4分，共计12分） 12. 若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，集合元素的互异性求得正确答案. 【详解】依题意， 当时，，此时，不符合题意. 当时，（舍去）或， 当时，，符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 13. 已知，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同向不等式相加不等号方向不变的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又， 由不等式的可加性得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案： 四、解答题（共计58分） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由，求得集合B，再与A，利用并集运算求解. （2）将，转化为BA，再分和两种情况讨论求解.， 【详解】（1）当时，集合， 又集合， 所以； （2）因为， 所以BA， 当时， ， 解得 ， 当时， ， 解得 ， 综上：实数a的取值范围 【点睛】本题主要考查集合的运算以及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 16. （1）已知，求函数的最大值； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）易知，由基本不等式计算可得的最小值为6，即可得解； （2）依题意，利用基本不等式中“1”的妙用计算可得答案. 【详解】（1）由可得， 所以， 当且仅当即时取等号； 所以函数的最大值为. （2）根据题意，且， 则 ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为． 17. 某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本50万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万合的销售收入为G(x)万元，. （1）求年利润s(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本) （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）； （2）当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元. 【解析】 【分析】(1)根据题意，每万台的销售收入是一个分段函数，分和两种情况讨论，根据生产产品的数量求出对应的解析式即可求解； (2)分段讨论函数的最值，最后比较大小得出结果. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 所以函数解析式为. 【小问2详解】 当时，因为， 又因为函数在上单调递增， 所以当时，取最大值，； 当时， (当且仅当，即时等号成立) 因为，所以时，的最大值为万元. 所以当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元. 18. 已知函数. （1）若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值； （2）若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由f（x）＜k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，然后，利用韦达定理进行求解 （2）把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，进而分别求出，函数f（x）在区间[2，4]上的最小值和函数g（x）在区间[2，4]上的最小值即可 【详解】（1）证明：由f（x）＜k得：k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，因为解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，所以 k＜0，所以方程kx2﹣x+6k＝0的根是﹣3，﹣2，∴2+（﹣3），∴k； 所以实数k的值是； （2）由题意可得，f（x）最小值≥g（x）最小值， ∀x1∈[2，4]，f（x）在区间[2，]为增函数，[，4]为减函数，f（2），f（4）， 所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值是f（4）； 函数g（x）开口向上，且对称轴x＝﹣m， ①当﹣m≤2，即m≥﹣2，g（x）最小值＝g（2）＝4+4m⇒m，解得：﹣2； ②当2＜﹣m＜4，即﹣4＜m＜﹣2，g（x）最小值＝g（﹣m）＝m2﹣2m2⇒m≤﹣1或m≥1，所以﹣4＜m＜﹣2； ③﹣m≥4，即m≤﹣4，g（x）最小值＝g（4）＝16+8m，解得：m，所以m≤﹣4； 综上所述，m的取值范围：（﹣∞，]. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两点：分别在于：1.把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，2.通过对进行分类讨论，求出函数g（x）在区间[2，4]上的最小值 19. 已知二次函数的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值 【答案】(1) ,(2) 【解析】 【分析】（1）由f（x）的对称轴方程以及图象过点（1，13），求出b、c的值，从而写出f（x）的解析式； （2）化函数g（x）为分段函数，画出函数的图象，结合图象，求出g（x）在区间[t，2]上的最小值H（t）． 【详解】（1）∵f（x）＝x2+bx+c的对称轴方程为， ∴b＝1； 又f（x）＝x2+bx+c的图象过点（1，13）， ∴1+b+c＝13，∴c＝11； ∴f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+11． （2）∵函数g（x）＝[f（x）﹣x2﹣13]•|x| ＝[（x2+x+11）﹣x2﹣13]•|x| ＝（x﹣2）•|x| ， 画出函数图象，如图： 令，解得或（舍） ∴当1≤t＜2时，g（x）min＝t2﹣2t； 当时，g（x）min＝﹣1； 当时，． ∴综上，H（t）． 【点睛】本题考查了求函数解析式以及求函数在某一区间上的最值情况，解题时应结合函数的图象与性质来解答，是易错题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$