专题15 二次函数综合压轴题（数形结合，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题15 二次函数综合压轴题（数形结合，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在中，点D，E分别为射线上的动点，． (1)①当点D为中点，点E为中点时，不借助相似证明中位线性质，求证：且； ②若面积为25，变成为10，将沿翻折，设点A落在四边形内部的点Q处，设为x，的面积为y，求：y关于x的函数解析式及其定义域； (2)若当点D，E在边上时，且，和的重心距为2，当点D，E分别在延长线上时，与重心距不大于6，求：的取值范围． 2．（2023·上海长宁·三模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，如点在直线的上方，且满足，求：及相应的、的值． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，求：点F的坐标． 3．（2024·上海松江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． (1)求、的值； (2)将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求的值． 4．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）在矩形中，，，点是边上一动点，交边于点，点在射线上，且是和的比例中项． (1)求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)如图2，连接，交于点，如果与相似，求的长． 5．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标； (3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式． 6．（2022·上海浦东新·模拟预测）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，将沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点．    (1)如图，当时，抛物线过点、、，求抛物线解析式； (2)如图，随着的变化，点正好落在轴上，求的余切值； (3)若点横坐标坐标为，抛物线且为常数的顶点落在的内部，求的取值范围． 7．（2023·上海·一模）已知：在梯形中，，，，，点E是边上一点，，点是边上的一动点，连接，作，使得，射线与边交于点，与的延长线交于点，设，．    (1)求的长； (2)试求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果是等腰三角形，试求的长． 8．（2023·上海长宁·二模）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标； (3)如图2，点E坐标为，在抛物线上存在点P，满足，请直接写出直线的表达式． 9．（2023·上海长宁·一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，为坐标原点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 10．（2023·上海青浦·一模）已知抛物线经过，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)求的余弦值； (3)直线与轴交于点，与直线的交点为，当与相似时，求点的坐标． 11．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于原点O和点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； (2)求的值； (3)点D在抛物线上，如果，求点D的坐标． 12．（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． (1)当t为何值时，△APM与△ACB相似？ (2)设四边形PQCM的面积为y，求y与t之间的函数关系式； (3)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 13．（2022·上海杨浦·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M． (1)求这条抛物线的表达式； (2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标； (3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值． 14．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，矩形中，厘米，厘米，点E从A出发沿匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线向A匀速运动，速度为1厘米/秒，连接，设运动时间为t秒．请解答以下问题： 当时 ①t为何值时，； ②设的面积为y，求y关于t的函数； 15．（2024·上海嘉定·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，且与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点A的坐标； (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点作，交线段的延长线于点，如果．求：点P坐标 (3)若点是线段（不包含端点）上的一点，且点关于的对称点恰好在上述抛物线上，求的长． 16．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数交轴，轴于，两点，抛物线经过，两点，顶点为，抛物线与轴另一交点为，抛物线的对称轴与直线交于 (1)求的值 (2)已知点为直线上的动点，且在轴上方，若，求点坐标 17．（2024·上海徐汇·三模）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式． 18．（2024·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（23-24九年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中（如图），已知开口向下的抛物线经过点，顶点为A． (1)求直线的表达式； (2)如果将绕点O逆时针旋转，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式； (3)将（2）中得到的抛物线沿射线平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C，如果，求的值． 20．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过点B和点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为E，若点P在y轴上，当时，求点P的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后抛物线的顶点D落在x轴上的点M处，将沿直线翻折，得到，如果点Q恰好落在抛物线的图像上，求平移后的抛物线的表达式． 21．（23-24九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式； (2)如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交于点E，连接，求的面积； (3)如果、在抛物线上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为，即．当时，求的取值范围． 22．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； (2)联结、、，求的值； (3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标． 23．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 24．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 25．（23-24九年级上·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的图像经过原点、点，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B． (1)求抛物线的对称轴； (2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且的正切值为2，求a的值； (3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结，如果点P在y轴上，轴，且，求新抛物线的表达式． 26．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)求抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标； (3)将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值． 27．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 28．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线线与轴的交点为、，点在点的左侧，点是该抛物线与轴的交点，点为抛物线的顶点，连接，和，交轴于点． (1)当顶点纵坐标为时，求该抛物线的表达式； (2)当和相似时，求该抛物线的表达式； (3)当时，求该抛物线的表达式． 29．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，直线：与、轴的交点为A、，点是该直线上位于第一象限内的一点，满足． (1)以为顶点的抛物线与线段（不含点A、）有交点，求的取值范围； (2)将直线平移得到直线，直线与、轴的交点为、，且使，问：直线平移到直线，至少需要平移多少距离？ (3)如果（1）中抛物线与直线在抛物线对称轴右侧的交点为，当与相似时，求此时抛物线的表达式． 30．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点、和点，与轴交于点．      (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)将抛物线平移，点平移到点． ①定义：如果有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”． 如果平移所得新抛物线经过原点，且点是“平衡点”，求的长； ②如果平移所得新抛物线的顶点在轴正半轴上，与轴交于点，且与相似，求点的坐标． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题15 二次函数综合压轴题（数形结合，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在中，点D，E分别为射线上的动点，． (1)①当点D为中点，点E为中点时，不借助相似证明中位线性质，求证：且； ②若面积为25，变成为10，将沿翻折，设点A落在四边形内部的点Q处，设为x，的面积为y，求：y关于x的函数解析式及其定义域； (2)若当点D，E在边上时，且，和的重心距为2，当点D，E分别在延长线上时，与重心距不大于6，求：的取值范围． 【答案】(1)①见解析；②当时，； (2)． 【分析】（1）①用“倍长法”将延长一倍：延长到，使得，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得； ②当时，由于，可得出和相似，可根据面积比等于相似比的平方表示出的面积，即重合部分的面积； （2）过点交于点，设点是的重心，由已知求出，，当和重心间的距离等于6时，设的重心为，则，求出，则，又由和重心间的距离不大于6，可得． 【详解】（1）证明：①如图，延长到点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ∴， 又， ， 四边形是平行四边形， 且； ②解：， ，， ， ， ； ， 边所对的三角形的中位线长为5， 当时，； （2）解：过点交于点，设点是的重心， ， ， ， 的重心在上， ， 和重心间的距离为2， ， ， ，； 当点，分别在，延长线上时， 当和重心间的距离等于6时， 设的重心为，则， ， ， ，， ， ， 和重心间的距离不大于6， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了三角形的重心，翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积，二次函数的应用等知识点．本题中根据相似比求面积是解题的关键． 2．（2023·上海长宁·三模）如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，如点在直线的上方，且满足，求：及相应的、的值． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，求：点F的坐标． 【答案】(1)1， (2)①当时，，；当时，，  ② 【分析】（1）把、代入即可得到答案； （2）①先求出的解析式，的解析式，再表示，，结合，列出方程，即可求解；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，推出，即可求解；当旋转后点F在点C右侧时满足的点F不存在 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线交于、两点， ∴，解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：1，； （2）①由（1）知， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 把直线向上平移个单位，得到：， 当时，，当时，， ∴， 设直线交于点，过点作轴，交于点，设， 同法可得：的解析式为， 则：， 的解析式为， 当时，， ∴点E， ∴，， ∴， ， ∵=， ∴，解得： ∵点在直线的上方 ∴令=，解得： ∴ ∴存在，，满足= 当时，，  ； 当时，，； ②当旋转后点F在点C左侧时 过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，如图3， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点F的坐标是， 当旋转后点F在点C右侧时 满足的点F不存在； 综上所述，点F的坐标是． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，等腰三角线的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．（2024·上海松江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． (1)求、的值； (2)将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求的值． 【答案】(1)， (2)① ② 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后，点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键． （1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可． （2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； ②根据，可知在的垂直平分线上，再过点做与轴平行的直线，与相交于点，由垂直平分线的性质可得，，，再由线段与平行，推出，，即， ，得出即垂直平分，，与点关于对称，即可得出点的坐标，由平移的性质可得平移后抛物线的表达式，最后根据在平移后的抛物线上，求出的值即可． 【详解】（1）∵抛物线过点 ， ，，    ∵ ，， ∴ 将，两点分别代入到所在的一次函数中， 得， 连列可得解答， 故直线的解析式为：， 又因为顶点在线段上， ∴， 得 (舍去) 或， ，      ，． （2）①， ∴对称轴为直线，顶点为， 当时，， 顶点， 当时，， ， 过点，，作轴垂线 垂足分别为，， ， ②由平移的性质可知， ， ， 在的垂直平分线上， 如图，过点做与轴平行的直线，与相交于点， 由垂直平分线的性质可得，， 故， 由图可得线段与平行， 故，， ， 即垂直平分，，与点关于对称， 顶点为， 的坐标为， 由平移的性质可得平移后抛物线的表达式为：， 将代入平移后的抛物线得：， 解得：或（，舍去）， ∴． 4．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）在矩形中，，，点是边上一动点，交边于点，点在射线上，且是和的比例中项． (1)求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)如图2，连接，交于点，如果与相似，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类． （1）由，，从而，可证得，从而，进而得出； （2）可证得，从而，从而得出，由，得，进而得出； （3）当时，，可推出，作于，可证得，从而，进而求得；当时，，可得出，进而证得，从而，从而得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 是和的比例中项， ， ， ， ， ； （2）由（1）知：，， ， ， ， ， 是和的比例中项， ， ， ； （3）由（1）知：， ， 当时，， ， ， 如图1， 作于， ， ，， ， ， ，，， ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 5．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标； (3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线解析式，并将其转化为顶点式，即可确定点的坐标； （2）设点，根据勾股定理可得，，，在中，由勾股定理可得，然后代入求值，即可获得答案； （3）首先过点作于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质确定点为中点，易得；过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，易知点的横坐标为，进而确定点，点，然后根据平移的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点、、代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的表达式为， 又∵， ∴顶点的坐标为； （2）如下图， 根据题意，点在抛物线对称轴上，， 设点， ∵，， ∴，，， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴点的坐标为； （3）如下图， ∵原抛物线， ∴其对称轴为， ∴， ∵新抛物线的顶点为点，， 过点作于点，则，即点为中点， ∵，， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵把原抛物线平移，得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决几何问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 6．（2022·上海浦东新·模拟预测）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，将沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点．    (1)如图，当时，抛物线过点、、，求抛物线解析式； (2)如图，随着的变化，点正好落在轴上，求的余切值； (3)若点横坐标坐标为，抛物线且为常数的顶点落在的内部，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，可得四边形是正方形，点在轴上，则，利用待定系数法即可求解； （2）由折叠得，根据勾股定理可得，证明，根据相似三角形的性质可得，则，即可得的余切值； （3）过点作轴于，延长交延长线于，则，根据勾股定理可得，证明，根据相似三角形的性质得，则，可得，，，，利用待定系数法求出直线的解析式为，由抛物线，得顶点为，根据抛物线且为常数）的顶点落在的内部，可得，即可求的取值范围． 【详解】（1）解：如图，    当时，点的坐标为，，点， 点的坐标为，四边形是矩形， ，， ， 将沿折叠压平，点的对应点在轴上， ， ， ， 设过点、、的抛物线解析式为， ，解得， 抛物线解析式为； （2）当点正好落在轴上，如图：    由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作轴于，延长交延长线于，则，     点横坐标坐标为1， ， ，， 由折叠得， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，，，， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 抛物线， 顶点为， 当时，， 抛物线且为常数）的顶点落在的内部， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查折叠的性质，二次函数、矩形、相似形等知识，解题的关键是利用方程思想和数形结合的思想． 7．（2023·上海·一模）已知：在梯形中，，，，，点E是边上一点，，点是边上的一动点，连接，作，使得，射线与边交于点，与的延长线交于点，设，．    (1)求的长； (2)试求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，如果是等腰三角形，试求的长． 【答案】(1) (2) (3)或时，是等腰三角形 【分析】（1）作等腰梯形的高、，得矩形，，则； （2）先由三角形内角和定理得出，由等腰梯形在同一底上的两个角相等得出，则，根据相似三角形对应边成比例得出关于的函数关系式，并写出定义域； （3）分三种情况：①；②；③． 【详解】（1）解：如图， 作等腰梯形的高、， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，由勾股定理得， ∴， 所以； （2）解：如图． ，， ， ∵四边形是等腰梯形， ， ， ， ； ∴， 过点B分别作，如图所示： ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由（1）可知 要使成立，则点P需在点K、C之间运动， ∴， ∴； （3）解：分三种情况： ①如果，如图，过作平行线交底边于，则． 在与中， ， ， ，； ②如果，如图，过作平行线交底边于，则． 在与中， ， ， ， 又， 过点做的高， 则， ， ， 解得； 即； ③如果，同理可得， ， ， 过点做的高， 则， ， ， 解得， ； （舍去）， 综上所述：或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，第（3）问进行分类讨论是解题的关键． 8．（2023·上海长宁·二模）已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标； (3)如图2，点E坐标为，在抛物线上存在点P，满足，请直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先由抛物线的解析式可求得点C的坐标，由，可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解； （2）首先可求得点A的坐标，记直线交于点F，由直线恰好平分的面积，可知点F为的中点，即可求得点F的坐标，即可求得直线的解析式，再与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况；当点P在x轴上方时，在y轴上取，连接，过点B作直线交抛物线于点P，交y轴于点M，使，则，过点G作于点H，根据角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，即可求得点M的坐标，据此即可求解；同理可得点P在x轴下方时的解． 【详解】（1）解：令，则， ，， ∵， ， ， 把点B代入得：，解得：， 故抛物线表达式为； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为， 故令得：解得：，， 点A的坐标为， 如图：记直线交于点F，   直线恰好平分的面积， 点F为的中点， ，， 点F的坐标为， 设直线的解析式为， 把点B、F的坐标分别代入，得 解得 直线的解析式为， 解得或(舍去)， 故点D的坐标为； （3）解：当点P在x轴上方时， 如图：在y轴上取，连接，过点B作直线交抛物线于点P，交y轴于点M，使， 则，过点G作于点H，   点E坐标为， ， ，，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得，(舍去)， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点M、B的坐标分别代入解析式，得 解得 故此时直线的解析式为； 当点P在x轴下方时， 同理可得，直线的解析式为， 综上，直线的解析式为或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，采用分类求解是解决本题的关键． 9．（2023·上海长宁·一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，为坐标原点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)存在，， 【分析】（1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，利用，得出方程，解方程即可求解； （3）证明，分两种情况讨论，当时，当时，利用相似三角形的性质列式计算，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵，， ∴ 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，，则， 则， ∵是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：由题意得，，， ∴点D、A、Q在同直线上， 设，， ∴，， 作轴，故轴，则， ∴， ∵， ∴， 可知， ∴， 同理可得直线的解析式为， 解方程，得或， ∴， 连接，作轴， 可知：， ∴， ∵， ∴， 即，故在的左侧， 此时：， 设， ∵，，，， I．当时， ， ∴，， ∴， II．当时， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的判定和相似三角形的性质等．解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 10．（2023·上海青浦·一模）已知抛物线经过，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； (2)求的余弦值； (3)直线与轴交于点，与直线的交点为，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；顶点的坐标为 (2)的余弦值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据抛物线经过，两点列出的二元一次方程组，求出的值即可，再将抛物线解析式化为顶点式即可得到顶点的坐标； （2）令对称轴直线与轴交于点，过点作，垂足为，先分别求出的长，再根据等面积法求出的长，再用勾股定理求出的长，即可求出的值； （3）与相似，分和,利用相似三角形的性质以及股股定理知识点求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线解析式为：， ， 顶点的坐标为； （2）解：由（1）得，抛物线对称轴为直线， 令对称轴直线与轴交于点，过点作，垂足为，如图， ，，， ， ， ， ， ， 在Rt中， ； （3）解：，和相似， 当时，如图所示， 此时MN平行x轴， ，， 点在抛物线上， 当时，， 的坐标为， 直线与轴交于点， 当时，， 点坐标为， ， ， ， 设直线的解析式为：， 将点的坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为：， 设坐标为，代入上述解析式中得：, ； 当 时，如图所示， ， 。 ， ， 设坐标为， ， 或， 在第二象限， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数值的定义，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，此题还需要熟练运用分类讨论思想解决问题，此题有一定难度． 11．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于原点O和点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； (2)求的值； (3)点D在抛物线上，如果，求点D的坐标． 【答案】(1)，直线 (2)3 (3)或 【分析】（1）将点O (0，0)和点代入抛物线解析式，即可求出m和k的值，即得出其表达式，再根据其性质即可直接得出对称轴； （2）过点A作轴于点C，由（1）所求表达式可求出A点坐标，即得出AC和OC的长，进而可求出BC的长，再根据正切的定义即可求出； （3）由（2）可求．又易证，即得出．分类讨论：①当点D在x轴上方时，设抛物线对称轴与x轴交于点F，OD与抛物线对称轴交于点E，即得出，从而可求出E点坐标，进而可求出直线OD的解析式，再联立直线OD的解析式和抛物线解析式，求出解，即得出D点坐标；②当点D在x轴下方时，由①同理可求出此时D点坐标． 【详解】（1）将点O (0，0)和点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴它的对称轴为直线． （2）如图，过点A作轴于点C． ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知． ∵，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点D在x轴上方时，如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，OD与抛物线对称轴交于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． 设直线OD的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线OD的解析式为：． 联立，解得：，， ∴； ②当点D在x轴下方时，如图， 由①同理可求出此时直线OD的解析式为：． 联立，解得：，， ∴． 综上可知，如果，点D的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，解直角三角形，一次函数图象与二次函数图象的交点问题等知识，较难．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 12．（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． (1)当t为何值时，△APM与△ACB相似？ (2)设四边形PQCM的面积为y，求y与t之间的函数关系式； (3)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)y＝t2﹣8t+40 (3)存在，t＝s时点M在线段PC的垂直平分线上 【分析】（1）假设△APM与△ACB相似，根据相似三角形的性质得到PM∥BC，进而得到AP＝AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值； （2）过点P作PE垂直AC．由PQ运动的速度和时间t可知线段BP＝t，根据PQAC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形，即BP＝PQ＝t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE＝DF＝8﹣t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM＝2t，所以梯形的下底CM＝10﹣2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式； （3）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP＝MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值． 【详解】（1）∵△APM∽△ABC， ∴PMBC， ∴AP＝AM， ∴10﹣t＝2t， ∴t＝； （2）∵四边形PQCM为梯形，y＝， ∵PQ＝PB＝t，MC＝10﹣2t，BF：BD＝BP：AB ∴BF＝， ∴DF＝8﹣t， ∴y＝（t+10﹣2t）•（8﹣t）＝； （3）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC， 过M作MH⊥AB，交AB于H， ∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°， ∴△AHM∽△ADB， ∴，又AD＝＝6， ∴， ∴HM＝t，AH＝t， 即HP＝10﹣t﹣t＝10﹣t， 在直角三角形HMP中，， 又∵， ∵， 即， 解得：＝，＝0（舍去）， ∴t＝s时点M在线段PC的垂直平分线上． 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用．第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式，第三问属于探究性试题，需要采用“逆向思维”，都应先假设存在这样的情况，从假设出发作为已知条件，寻找必要条件，从而达到解题的目的． 13．（2022·上海杨浦·二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M． (1)求这条抛物线的表达式； (2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标； (3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值． 【答案】(1) (2)点P的坐标是 (3)当与内切时， 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）先证明，根据相似三角形性质可得出：．利用待定系数法可得直线的解析式为．设点，，则，，建立方程求解即可得出答案； （3）设的中点为点，则点 的坐标，过点作轴于点，则，，运用勾股定理可得，根据两圆内切建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点 ∴ ∴ ∴； （2）解：∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴．即． 又∵， ∴， 设直线，又直线经过点，点， ∴∴， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴设点， ∵点N在直线上， 设点， ∴， 又， ∴．解之得（不合题意，舍去）， ∴点P的坐标是； （3）解：设的中点为点Q，则点Q的坐标， 又点， 过点作轴于点，则，， 在中， ∴， 当与内切时，， ∴， 解之得：， ∴当与内切时，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两圆内切的性质等，本题综合性强，有一定难度，第（2）问运用相似三角形周长比等于相似比建立方程求解是解题关键，第（3）问根据圆与圆内切的性质建立方程求解是解题关键． 、 14．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，矩形中，厘米，厘米，点E从A出发沿匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线向A匀速运动，速度为1厘米/秒，连接，设运动时间为t秒．请解答以下问题： 当时 ①t为何值时，； ②设的面积为y，求y关于t的函数； 【答案】①② 【分析】①根据勾股定理求出，并表示，根据平行的性质得，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案； ②先求出当D、E、F在同一条直线上时t的值，再作，接着证明，表示，，然后根据矩形的性质表示线段的长，再根据列出关系式； 【详解】解：当时，点E在边上，厘米，厘米， ∵矩形中，厘米，厘米， ∴ ∴（厘米）， ∴厘米， ①如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴当时，； ②当D、E、F在同一条直线上时，如图2， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即 解得：，（负值舍去）． ∵， ∴当时，如图3，过点F作于G，交于H， 则， ∴， ∴， ∴，即， ∴厘米，厘米． ∵四边形是矩形， ∴厘米，厘米， ∴厘米，厘米，厘米， ∴， ∴y关于t的函数关系式为； 【点睛】本题矩形的性质，考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键． 15．（2024·上海嘉定·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，且与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点A的坐标； (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点作，交线段的延长线于点，如果．求：点P坐标 (3)若点是线段（不包含端点）上的一点，且点关于的对称点恰好在上述抛物线上，求的长． 【答案】(1)y=x+5； (2) (3) 【分析】（1）将点、代入抛物线解析式即可； （2）先证为直角三角形，再证，又因，可得到，再根据等角的正切值相等，设坐标，建立方程求解即可； （3）做点关于的对称点，求出的坐标，直线的解析式，即可求出点的坐标，接着求直线的解析式，求出其与的交点即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式， 得， 解得，，， 则抛物线的解析式为：， 当时，， 点坐标为； （2）解：如图， ，，， ， 为直角三角形，且， ∴， 当时，点只能在点右侧， ， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 设 ∴ 解得：或（舍）， ∴； （3）解：作点关于的对称点，则，，三点共线， 由于，则点C为中点， ∴ ∴点， 设直线解析式为：， 代入得，， 将代入直线：， 得， ， ， 联立， 解得，，（舍去）， 则， 设直线表达式为：， 将，代入直线， 得，， 解得，，， ， 由题意知， ， 设， 将点代入 得， 得，， ， 设直线表达式为：， 代入点A、B得，， 解得：， ∴， 联立， 解得，，， ， 则． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐标的求法等，解题关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用． 16．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数交轴，轴于，两点，抛物线经过，两点，顶点为，抛物线与轴另一交点为，抛物线的对称轴与直线交于 (1)求的值 (2)已知点为直线上的动点，且在轴上方，若，求点坐标 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，相似三角形的性质， （1）先求得抛物线的解析式为，设对称轴与轴交于点，作于点，可知； （2）根据相似三角形的性质得，进而根据（1）可得，，，得出，过点作轴于点，解，得出，进而即可求解． 【详解】（1）在中，时，，时，，则点坐标为，点坐标为 抛物线经过点，点， 解得 抛物线的解析式为 ∵ ∴点的坐标为，抛物线的对称轴为， 当时，， 解得： ∴点的坐标为 将代入一次函数，得 则点的坐标为，则 设对称轴与轴交于点，在中，，则是等腰直角三角形， ∴ 如图，作于点 在中， ∵ ∴，即 解得：， ∴； （2）解：∵ ∴ ∵，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴ 解得： 过点作轴于点， ∵ ∴ ∴，则的横坐标为 将代入得 ∴． 17．（2024·上海徐汇·三模）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线表达式为，直线的表达式为 (2)新抛物线的表达式或 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）设直线与轴交于点，求出，设点的坐标为，则点的坐标为，分当点在线段上时，当点在延长线上时两种情况讨论即可； 本题考查二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线顶点为坐标原点O， ∴，， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴抛物线表达式为， 设直线的表达式为， ∵直线经过点和点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）设直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为， ∴新拋物线的表达式， 当点在延长线上时，延长交轴于点，在的延长线上截取，连接， 如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（正值不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为． ∴新抛物线的表达式． 18．（2024·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； ②延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：，   直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ， 和等高， ； ②存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图：   ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． 19．（23-24九年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中（如图），已知开口向下的抛物线经过点，顶点为A． (1)求直线的表达式； (2)如果将绕点O逆时针旋转，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式； (3)将（2）中得到的抛物线沿射线平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把抛物线解析式转化为顶点式，然后设直线的表达式为，把A、P坐标代入求解即可； （2）先判断顶点A在第二象限，设旋转后A的对应点为Q，证明，可求出Q的坐标，然后把Q的坐标代入求解即可； （3）设平移后抛物线表达式为，求出，，利用两点间距离公式求出，，，结合，求出m的值，根据平移可得，从而求出，，过C作于D，求出，，然后在中，根据正切定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由抛物线开口向下，且过， ∴A在第二象限， 设绕点O逆时针旋转，A的对应点Q，如图所示，过点A、Q分别作轴，轴，垂足为M、N，    ∵旋转， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 代入，得， 整理得， 解得，（舍去） 经检验，是原方程的解， ∴a的值为； （3）解：由（2）知：，， 设平移后抛物线表达式为， 则， 当时，，∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴或， 解得，，，， ∵抛物线沿射线平移， ∴B在A左上方， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过C作于D，    在中，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数，旋转的性质，勾股定理，正切的定义等知识，明确题意，正确添加辅助线、运用数形结合思想是解题的关键． 20．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过点B和点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为E，若点P在y轴上，当时，求点P的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后抛物线的顶点D落在x轴上的点M处，将沿直线翻折，得到，如果点Q恰好落在抛物线的图像上，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2)； (3)； 【分析】（1）根据抛物线经过点B和点，解方程组即可求得解析式，利用公式法即可求顶点坐标． （2）求出抛物线与x轴的另一个交点，设，利用勾股定理即可求得点坐标． （3）由于经过平移后顶点D落在x轴上，因此可以将抛物线可以看作是先将平移到顶点在原点的抛物线：，然后由抛物线再进行左右平移得到的一条抛物线，设由抛物线平移后抛物线解析式为：，利用经过将沿直线AB翻折，得到，连接，可得到为等边三角形，根据等边三角形性质，求出坐标，利用在抛物线上，即可解得． 【详解】（1）解： 直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， ，， 抛物线经过点B和点， ，解得， 抛物线的表达式为：， 顶点坐标，即． （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为， 则，即， ， 点P在y轴上，设， ，，， 根据勾股定理得，， ，，， ， 解得， ． （3）解：，顶点为，由于抛物线的顶点由平移到了点，在轴上， 抛物线可以看作是先将平移到顶点在原点的抛物线，然后由抛物线再进行左右平移得到的一条抛物线， 抛物线：顶点为，解析式为， 设，则由抛物线平移后抛物线解析式为：， 设经过将沿直线翻折，得到后，图形如图所示， 连接，过点作轴于， 若落在原点右侧，则 ，， ， ， 沿直线翻折，得到， ， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 设点坐标为 ，， 若落在原点左侧，如图所示， ， ，， 无论落在原点哪一侧，点坐标表示都一样， 点在抛物线：上， ， 解得，（舍去，不与重合） ， 平移后的抛物线的表达式为：． 【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数的性质和图象、勾股定理、图象的翻折特征、二次函数图象的平移、解直角三角形等知识，熟悉其性质和图象，待定系数法求解析式，图象平移后解析式的表示，解直角三角形，分类讨论是解决问题的关键． 21．（23-24九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式； (2)如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交于点E，连接，求的面积； (3)如果、在抛物线上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为，即．当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及一次函数解析式，二次函数综合问题知识． （1）依据题意，抛物线的对称轴为直线，又，依据抛物线的对称性，从而可得、，将代入，求出，即可得解； (2)依据题意，由可得，设直线的表达式为，将、代入，可得直线的表达式为，又由抛物线可得顶点坐标标为，又与y轴平行，从而可得，进而求出的面积； （3）依据题意，由、在抛物线上，从而结合所给信息求出，再结合，即可判断得解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线．     又，依据抛物线的对称性， ∴或， ∴、．      将代入，可得． 故该抛物线的表达式为． （2）由题意可得 ，设直线的表达式为． 将、代入， 得，解得． 即直线的表达式为．     抛物线的顶点坐标为．     ∵与轴平行， ∴点横坐标与点的横坐标相等， 将代入， 可得． 故．    ∴的面积为 （3）∵ 、在抛物线上， ∴ ．   又∵， ∴． 22．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； (2)联结、、，求的值； (3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标． 【答案】(1)该抛物线的表达式为； (2) (3)点的坐标为． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，，过点作轴于，则，，，进而证得是等腰直角三角形，可得，，推出，再运用三角函数定义即可求得答案； （3）连接，先证得，得出，即，设，则，可得，得出，代入抛物线解析式求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线关于直线对称， 设抛物线的解析式为，把、代入， 得：， 解得：， ， 该抛物线的表达式为； （2）解：在中，令，得， ， 、， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，过点作轴于，则，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ； （3）证明：如图，连接， 由（2）知是等腰直角三角形， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 点在对称轴右方的抛物线上， ，且， 解得：， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键． 23．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为：直线 (2)7 (3)存在，或 【分析】（1）将点，的坐标代入解析式，解方程组即可得出结论； （2）作轴，垂足为．作，交的延长线于点．将放在中，根据余切的定义即可表达； （3）根据题意，需要分两种情况进行讨论：或，分别作出图形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为：直线； （2）解： 抛物线与轴相交于点， 点坐标是， 作轴，垂足为．作，交的延长线于点．   ， ，， ． ， ． ． ； （3）解：存在，理由如下： 为直角边， 只可能有两种情况：或． 设点坐标为 ①当，作，垂足为，作，垂足为．   ，． ，， ， ； ，可求得，（舍． ； ②当，作轴，垂足为． ，．   ，， ， ； ，可求得（舍，． ； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 24．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①由，可得，则该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为，然后求镜像抛物线的表达式即可；②当在点左侧时，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为，如图，连接交轴于点，则，由，可得，计算求解即可；如图，当在点右侧时，同理可得，，计算求解即可； （2）如图2，由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则，设，由，可得，即抛物线的表达式为，将代入得，，求出满足要求的，进而可得抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式为，即； ②当在点左侧时， ∵，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B， ∴， 如图，连接交轴于点，则， 图 ∵， ∴， 解得，； 如图，当在点右侧时， 图 同理可得，， 解得，； 综上所述，的值为或； （2）解：如图2，         图2 由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则， 设， ∵， ∴， ∴抛物线的表达式为， 将代入得，， 解得，或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识，熟练掌握二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 25．（23-24九年级上·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的图像经过原点、点，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B． (1)求抛物线的对称轴； (2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且的正切值为2，求a的值； (3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结，如果点P在y轴上，轴，且，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】该题主要考查了二次函数综合，涉及知识点主要有解直角三角形，二次函数的图象和性质，全等三角形的性质和判断，函数平移等知识点，解题的关键是掌握以上知识点； （1）将、代入解析式再求解即可； （2）过A作轴，根据求解即可； （3）由（1）算出，，再根据点P在y轴上，轴，作轴于K ，得出 证明 得出，又结合平移得出，在中， 由列方程解出，即可求解； 【详解】（1）过 ， 又过， ∴ ， ∴的对称轴为直线， （2）由（1）知， ， ∴ ， 过A作轴， ， ， （3）由（1）得，， ∴，对称轴为直线， 故， 点P在y轴上，轴， 作轴于K ， 设交y轴于L， ， ∴ 又 又， ， ∴， 又由平移知， ∴， ∴， 又在中， ， ∴ ， 或， ， ， ∴二次函数解析式为， ∴为， ∴新抛物线解析式为 26．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)求抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标； (3)将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值． 【答案】(1)，点 (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解； （3）根据图像平移和旋转求出点，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴顶点； （2）解：由（1）知，， 又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D， ∴点， ∵、，，， ∴、、、，， 又∵与相似， ∴点O与点C对应， 当时， 则，即， 解得：， 即点； 当时， 则，即， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或； （3）解：如图，过点作交于点，则， 设平移后的抛物线表达式为：， 则， 在等腰中，， 则， 则点， 将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：（舍去）或， 故． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，旋转的性质，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键． 27．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 【答案】(1)； (2)①；②的面积不变，的面积为2． 【分析】（1）先求得，，利用抛物线的对称性求得，设抛物线的表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①；②联立求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，作轴交直线于点，求得，利用三角形的面积公式，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则；令，则，解得； ∴，， ∵对称轴为直线，其与轴的另一交点为， ∴， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①根据题意设新抛物线的顶点坐标为，则新抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去）或， 当时，新抛物线的解析式为， 令，则， 解得或； ∴与轴的另一交点为； ∴； ②的面积不变， ∵新抛物线的解析式为， 联立得，整理得， 解得或； ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于点， 则点， ∴ ， ∴的面积不变，的面积为2． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，二次函数图象的平移，掌握以上基础知识是解本题的关键． 28．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线线与轴的交点为、，点在点的左侧，点是该抛物线与轴的交点，点为抛物线的顶点，连接，和，交轴于点． (1)当顶点纵坐标为时，求该抛物线的表达式； (2)当和相似时，求该抛物线的表达式； (3)当时，求该抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出对称轴为直线，则，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出在，则；再求出，，得到，进而求出直线解析式为，则，得到，由于，，则当和相似时，只存在这一种情况，由相似三角形的性质得到，即，得到，则抛物线解析式为； （3）如图所示，过点B作于H，先求出，再由勾股定理求出，进而得到，再利用勾股定理得到；证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线对称轴为直线， ∵顶点纵坐标为， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴ ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴当和相似时，只存在这一种情况， ∴，即， ∴或（舍去） ∴抛物线解析式为； （3）解：如图所示，过点B作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 令，则， 解得， ∴或（舍去）或（舍去）或（舍去） 经检验，是原方程的解， ∴抛物线解析式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例进行求解是解题的关键． 29．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，直线：与、轴的交点为A、，点是该直线上位于第一象限内的一点，满足． (1)以为顶点的抛物线与线段（不含点A、）有交点，求的取值范围； (2)将直线平移得到直线，直线与、轴的交点为、，且使，问：直线平移到直线，至少需要平移多少距离？ (3)如果（1）中抛物线与直线在抛物线对称轴右侧的交点为，当与相似时，求此时抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得：、、，然后求出抛物线过临界点时的a的取值，进而完成解答；确定a、b的取值范围是解答本题的关键； （2）设平移后的直线的解析式为：；的解析式为，根据垂直直线的关系可得，进而确定；再根据点C在上可得，则；再运用勾股定理列方程可得，然后确定，最后根据两点间距离公式即可解答；明确各直线间的关系是解题的关键； （3）设，根据题意和勾股定理可得；再根据可得；设的坐标为，根据两点间距离公式可得，解得：或（舍），即的坐标为；再结合（1）、（2）即可解答；灵活运用相似三角形的性质和两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵以为顶点的抛物线与线段（不含点A、）有交点， ∴抛物线的开口一定向下，即；且对称轴为y轴，则、， 当时，；当时，， ； 当恰好过点时，则，； 当恰好过两点时，有，即； 综上，的取值范围为． （2）解：设平移后的直线的解析式为：；的解析式为， ∵， ∴，即， ∴， ∴ 由点C在上，则，解得：，即， 在中有，即，解得：， ∴, ∴平移距离． （3）解：设， ∵， ∴, ∴，解得：，即； ∵, ∴, 设的坐标为 ∴，解得：或（舍）， ∴的坐标为， （1）可得由，则，解得：． ∴抛物线表达式为：； 30．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点、和点，与轴交于点．      (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)将抛物线平移，点平移到点． ①定义：如果有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”． 如果平移所得新抛物线经过原点，且点是“平衡点”，求的长； ②如果平移所得新抛物线的顶点在轴正半轴上，与轴交于点，且与相似，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①； 【分析】（1）待定系数法求得解析式，然后将代入，即可得出的坐标； （2）①根据（1）的表达式可得抛物线顶点坐标为，设平移后的解析式为，根据点是“平衡点”代入得出得出抛物线的平移方式是向上平移个单位，向右平移个单位，根据勾股定理，即可求解； ②根据的坐标，可得，分或，求得点的坐标；设点，且，则平移后的抛物线解析式为，则即，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，抛物线（）经过点、 ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为， ∵点在抛物线上 ∴ ∴； （2）解：①依题意，，顶点坐标为， ∵平移不改变开口方向，平移后的抛物线经过原点， ∴设平移后的解析式为 ∵点是“平衡点” ∴ 解得： ∴平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为， ∴抛物线的平移方式是向上平移个单位，向右平移个单位； 即点 ∴ ②∵与轴交于点 当时， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵、 ∴ ∵， ∴的解析式为：，， ∴ ∴ ∵与相似 ∴有或    设点，且，则平移后的抛物线解析式为， 当时， 即 当时， ∴， 解得：； ∴，解得：（负值舍去） 当时， ∴ 解得：； ∴，解得：（负值舍去） 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$