第12讲 二次函数的概念与特殊二次函数的图像（1）-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第12讲二次函数的概念与特殊二次函数的图像（1） 知识一、二次函数的概念 一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 二次函数的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定． 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 题型探究 题型一、二次函数的判断 【例1】 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c。 　　 (1)； (2)；（3）；（4）； 　　 (5)；(6)；（7）(8)。 【答案】（1）是，（2）是，；（3）不是； （4） 是，；（5）不是；（6）； （7）不是；（8）不是. 【解析】（1），符合二次函数的定义，故（1）是二次函数，； （2），符合二次函数的定义，故（2）是二次函数，且a=1,b=-5； （3）是分式，不符合二次函数的定义，故（3）是二次函数； （4），符合二次函数的定义，故（4）不是二次函数，； （5），不符合二次函数的定义，故（5）不是二次函数； （6），符合二次函数的定义，故（6）是二次函数，且a=1,b=-0，c=-4； （7）是根式，不符合二次函数的定义，故（7）不是二次函数； （8）最高次数为4，不符合二次函数的定义，故（8）不是二次函数. 题型二、根据二次函数求字母 【例2】是关于x的二次函数需要满足的条件是_____________． 【答案】且． 【解析】，解得且． 题型三、函数值 【例3】已知二次函数． （1）当时，求函数值； （2）当取何值时，函数值为0？ 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）把代入得； （2）把代入得，． 题型四、列解析式 【例4】如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为x厘米（）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y关于x的函数关系式为____________． x x 6 8 【答案】． 【解析】阴影部分的长方形的的长为，宽为， 所以面积． 【例5】某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x ()，6月份的营收为y万元，写出y关于x的函数解析． 【答案】 【解析】因为4月份的营收为80万元，5月份起，每月增长率都为，所以5月份的营 收为万元，12月份的营收为万元． 【例6】用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃．设花圃的宽为x米，面积为y平方米，求y与x的函数解析式及函数的定义域． 【答案】． 【解析】设花圃的宽为x米，则长为米， ∴面积． 举一反三 1．（2021·全国九年级专题练习）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（　　） A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1 【答案】A 【解析】 解：由题意得：a﹣1≠0， 解得：a≠1， 故选：A． 2．（2019·浙江九年级期中）下列各式中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：A、当a=0时，不是二次函数，故不符合题意； B、右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、，变形可得，不是二次函数，故不符合题意； 故选C． 3．（2021·广东九年级专题练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ） A．2 B．或3 C．3 D． 【答案】C 【解析】 ∵函数是关于x的二次函数， ∴，且， 由得，或， 由得，， ∴m的值是3， 故选：C． 4.（1）已知二次函数，当时， . （2）已知二次函数，当时， . 【答案】（1）8；（2）. 【解析】（1）把代入得y=8； （2）把代入得x=． 5.已知函数是常数）。 （1） 当为何值时，是的二次函数？ （2） 当为何值时，是的一次函数？ （3） 当为何值时，是的常值函数？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）二次函数时，，解得：。 （2）当时，或。 当时，，是的一次函数。 （3）由（2）当时，，。所以当时，，是的常值函数. 6.（2021·全国九年级专题练习）若正方体的棱长为，表面积为，则与的关系式为________． 【答案】 【解析】 解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形， ∴表面积． 故答案为：． 7.（2020·全国九年级专题练习）已知三角形的一边长为x，这条边上的高为x的2倍少1，则三角形的面积y与x之间的关系为________．