第二十六章 二次函数 单元测试（提升卷）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 第二十六章 二次函数 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数解析式中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（    ） A．14 B． C．240 D．44 4．已知函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象过点 B．函数对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小 5．如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 6．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．关于函数，下列说法：①函数的最小值为；②函数图象的对称轴为直线；③当时，随的增大而增大；④当时，随的增大而减小，其中正确的有（　　）个． A． B． C． D． 二、填空题 9．如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是 10．如果函数是二次函数，则m的取值范围是 11．二次函数，当时，则的取值范围是 ． 12．已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是 （填“<”、“>”或“=”）． 13． 、、是抛物线上三点，，，的大小关系为 ． 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则，x的取值范围是 ． 15．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为 16．已知抛物线与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是 ． 17．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 18．如图，直线，A，B，C分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为 ． 三、解答题 19．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式： (2)写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴． 20．已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 21．已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 22．请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； x …… 0 1 2 3 y …… 9 4 1 0 1 4 9 23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 24．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据． 销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 25．已知抛物线交轴于，两点，与轴交于点． (1)写出抛物线的解析式； (2)如图，是第四象限抛物线上一点，交轴于点，若，求点的坐标； (3)如图2，平移抛物线得到抛物线，使其顶点为，为轴上一点，直线和与抛物线都只有一个公共点，且分别与轴交于点，，为轴上点，上方一点，若，求点的坐标． 2 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 5 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 第二十六章 二次函数 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数解析式中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据：形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、是二次函数，故此选项符合题意； C、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确理解二次函数图象的平移规律是解题的关键．二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律即得答案． 【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是． 故选D． 3．生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．现已知某种酶的活性值y（单位：）与温度x（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度最适宜时，该种酶的活性值为（    ） A．14 B． C．240 D．44 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意把解析式化为顶点式求出顶点的纵坐标即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵在最适宜温度时，酶的活性最强， ∴当温度最适宜时，该种酶的活性值为240， 故选：C． 4．已知函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象过点 B．函数对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握它们是解题的关键；把点坐标代入函数解析式中即可判断A；把函数式化为顶点式，即可判断B、C、D三个选项． 【详解】解：当时，，则点不在函数图象上， 故A错误； ∵，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故B、C错误，D正确； 故选：D． 5．如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“（，a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 6．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：对称轴为直线，函数图象与轴负半轴交于，， ， ， 由图象可知，， ， ，故①不正确； 由图可知，当时， ， ，即，故②正确； 抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大， 又，，， ；故③正确； 当时，是抛物线的最小值， ， 即，故④正确； ∴结论正确的有②③④共3个， 故选：C． 7．若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 8．关于函数，下列说法：①函数的最小值为；②函数图象的对称轴为直线；③当时，随的增大而增大；④当时，随的增大而减小，其中正确的有（　　）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解题的关键是根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，即可作出判断． 【详解】解：∵，， ∴该函数图像开口向上，有最小值，故说法①正确； 函数图像的对称轴为直线，故说法②错误； 当时，随的增大而增大，故说法③正确； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故说法④错误； ∴正确的有个． 故选：B． 二、填空题 9．如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是 【答案】 【分析】本题考查了新定义问题及二次函数的平移，能够读懂题意得到原函数的解题关键．先根据二次函数的“有序数集”得到这个二次函数，再通过二次函数的平移得到平移后的二次函数，再转化成“有序数集”即可． 【详解】解：∵一个二次函数的“有序数集”是 ， ∴这个二次函数为， 再将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后， 得到的新函数为， 故新函数对应的“有序数集”为． 故答案为： ． 10．如果函数是二次函数，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，，为常数且，可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 且， 且， ， 故答案为： 11．二次函数，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数可得对称轴为，结合自变量的取值方法，代入进行计算，即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∴对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∴当时，，是最大值；时，是最小值； 当时，，是最大值；时，是最小值； ∴当时，， 故答案为： ． 12．已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是 （填“<”、“>”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．分别求出，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 、、是抛物线上三点，，，的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象及性质，根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为：，抛物线的开口向上， 而离抛物线的对称轴最远，离对称轴最近， ， 故答案为：． 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可直接由图象进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，则x的取值范围是或； 故答案为或． 15．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解． 【详解】解：由题意得，，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，；时，， ∴当时，函数值y的取值范围为， 故答案为：． 16．已知抛物线与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】由抛物线的顶点坐标为，可设抛物线解析式为，再根据题意确定出a的值即可. 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据所给条件灵活选用恰当的方法设出解析式是解题的关键. 【详解】解：由抛物线的顶点坐标为，可设抛物线解析式为， ∵抛物线与的图象形状相同，但开口方向不同， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：． 17．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等．根据二次函数开口向上，与y轴交于正半轴，得到，根据对称轴为，得到，即即可判断①②；当时，即可判断③；根据当时，，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确； ∴，故①正确； ∵当时，， ∴， ∴，即，故③正确； ∵当时，，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 18．如图，直线，A，B，C分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图所示（见详解），过点作于，延长交于，过点作于，过点作于，设，，则，可求出，得，求得，，且，可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，延长交于，过点作于，过点作于， 设，，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，相似三角形的性质与判定，平行线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题 19．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式： (2)写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】(1) (2)开口向上，坐标顶点为，对称轴 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质， （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数函数解析式的知识进行分析即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （2）解：∵二次函数解析式为：，，， ∴函数图象开口向上，对称轴为， 当时，， ∴顶点坐标为． 20．已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2)，该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 21．已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：是一次函数， 且， 解得； （2）解：是二次函数， ， 解得， 当时，，不符合题意， ． 22．请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题主要考查了描点法画函数图象，二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，解题的关键是画出函数图象． （1）利用描点法可画出函数图象； （2）再结合图象可求得开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性． 【详解】（1）解：列表如下： x …… 0 1 2 3 y …… 9 4 1 0 1 4 9 描点、连线，画出图象如下： （2）解：根据图象可得： 抛物线的开口方向向上；顶点坐标为；对称轴为y轴；函数有最小值0，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在最大值；最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可； （3）过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，设点M的坐标为：，得出，，证明，得出，从而得出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大， ∴最大值为：． （3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设点M的坐标为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 综上分析可知：点M坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 24．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元/件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售A产品的数据． 销售价格（单位：元/件） 25 30 32 38 销售件数（单位：件） 35 30 28 22 销售成本（单位：元） 210 180 168 132 (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？ (3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元/件时，一天可获得的利润为600元，求的值． 【答案】(1) (2)当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元 (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用．熟练掌握待定系数法求解析式，总利润与成本、售价和数量的关系，二次函数的性质，是解题的关键． （1）设，将代入，求解即可； （2）设，将代入，求得，得到，求得，即可求得w的最大值； （3）根据得出w关于x的二次函数，把代入，可解得a的值． 【详解】（1）解：∵y与x之间满足一次函数关系， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵销售A产品的成本q（单位：元）与销售件数y（单位：件）成正比例， ∴设其解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴ ， ∴当时， w最大，最大值为729． ∴当销售价格x为33元时，w最大，最大值是729元； （3）解：由题意得： ， 把代入， 得， 解得． 答：a的值是4． 25．已知抛物线交轴于，两点，与轴交于点． (1)写出抛物线的解析式； (2)如图，是第四象限抛物线上一点，交轴于点，若，求点的坐标； (3)如图2，平移抛物线得到抛物线，使其顶点为，为轴上一点，直线和与抛物线都只有一个公共点，且分别与轴交于点，，为轴上点，上方一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）用待定系数法求二次函数表达式即可解决； （2）过点作轴于点，设，用含的式子求出直线的解析式，代入点坐标求出即可； （3）设，求出直线的解析式为，得出，设直线的解析式为，同理有，则，，设，求出结论即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，设， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ∵， ， ， ，， ， 解得舍，， 当时，． ∴； 直线的解析式为； （3）解：∵平移抛物线得到抛物线，使其顶点为， ∴抛物线， 设， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ∴， 当时，整理得， ， ， 设直线的解析式为，同理有，， ，为一元二次方程的两根， ，， 设， ∵，， ，，， ∵ ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查的是勾股定理，求一次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的平移，用待定系数法求二次函数表达式及二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$