第26章 二次函数（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版五四制九年级上册

第26章 二次函数 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 5．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 7．如果抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 8．在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 9．已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是 ． 10．已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 ． 11．某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在 米内，才能确保隧道内行车安全． 12．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 13．如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么的值等于 ． 14．二次函数的图象与轴有两个交点M、N，顶点为R，若恰好是等边三角形，则 ． 15．若二次函数图像与一次函数（）只有一交点，则的取值范围为 ． 16．定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点的“简朴点”，已知抛物线上一点的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为 ． 17．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；（的实数）．其中正确的结论有 个． 18．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．已知二次函数． (1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标； (2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，求四边形的面积． 20．在直角坐标平面内，二次函数y＝ax2＋bx－3(a≠0)图象的顶点为A(1，－4)． (1)求该二次函数关系式； (2)将该二次函数图象向上平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 21．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A． (1)求点A的坐标； (2)若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式； (3)若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式． 22．消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变） (1)求出水口在D点时抛物线的解析式: (2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？ (3)若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由. 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4． （1）求抛物线的表达式； （2）求∠CAB的正切值； （3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标． 24．如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴是直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移得到新抛物线，点的对应点记作点，点的对应点记作点． ①若点E、F分别落在轴的负半轴和线段上，求的值； ②若点落在第二象限的原抛物线上，连接、，如果，求点的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可． 【详解】A. 是反比例函数，不符合题意；     B. ，是一次函数，不符合题意； C. ，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D. 是二次函数，符合题意 故选：D． 2．若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键．根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，根据点距离对称轴越远函数值越小， 距离对称轴6， 距离对称轴2， 距离对称轴1， ， ， 故选：A 3．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 4．已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键． 根据表格，可知：该抛物线的对称轴是：直线，当时，随的增大而增大，从而可得到答案． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故D错误； ∵该抛物线的对称轴是：直线， ∴点和点是对称点，即点在抛物线上，故C正确； ∵由表格可知：当时，随的增大而增大， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，B错误； 故选：C． 5．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 6．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 7．如果抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线有最高点，得到解析式的二次项系数小于，从而得到结果． 【详解】解：抛物线有最高点 抛物线图像的开口向下 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】根据关于y轴对称的图象的特点即可得到结论． 本题考查了轴对称，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 【详解】解：设抛物线上一个点坐标为，其关于y轴的对称点为， 则，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 9．已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．先利用顶点式求出二次函数解析式，然后求出图象与x轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值时，自变量x的取值范围即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，解得，， ∴抛物线与x轴交于，， ∵， ∴抛物线开口向下， 如图， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 10．已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点，根据即可求解，解题的关键是正确理解抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点． 【详解】∵抛物线的顶点在轴的负半轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点在轴的负半轴上， ∴，即， ∴， 故答案为：． 11．某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在 米内，才能确保隧道内行车安全． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．正确的建立坐标系，利用待定系数法求得函数解析式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：建立如图所示的坐标系，虚线矩形为车辆最大通行时的位置， 设抛物线的顶点为D，由题意得，点顶点， 设抛物线的表达式为， 将点点入上式得：，解得， 故抛物线的表达式为， 设车辆的最右端为点， 将点A的横坐标代入抛物线的表达式得：（米）， 故答案为：． 12．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，先根据平移的规律：“左加右减，上加下减”求出平移后的抛物线的解析式，然后求出顶点坐标代入即可求得a的值． 【详解】解：∵将抛物线向右平移一个单位后得到， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点落在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 14．二次函数的图象与轴有两个交点M、N，顶点为R，若恰好是等边三角形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，不妨假设，如图，作轴于H， 设M、N点坐标分别为，可得，而的长为，由恰好是等边三角形，可得，结合，再进一步解题即可． 【详解】解：不妨假设，如图，作轴于H， 设M、N点坐标分别为， ∴当时， ，， 则， 抛物线顶点坐标为， 则的长为， ∵恰好是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴； 当时，同理可得：， 综上：． 故答案为： 15．若二次函数图像与一次函数（）只有一交点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合应用、一元二次方程的根的判别式等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．分三种情况讨论：首先令，整理并结合一元二次方程的根的判别式确定；再确定一次函数的图像经过点、，结合二次函数图像与一次函数图像只有一交点，可得关于的不等式组并求解；当时，抛物线经过点，计算的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，令， 整理可得 ， 则， 解得， 将代入，可得， 将代入，可得， 即一次函数的图像经过点、， 对于二次函数， 当时，， 当时，， ∵当时，二次函数图像与一次函数图像只有一交点， ∴应满足 或， 解得， 当时，抛物线经过点， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 16．定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点的“简朴点”，已知抛物线上一点的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义“简朴点”，结合新定义“简朴点”确定的值是解题关键．首先根据“简朴点”的定义可知当时，可有，进而解得的值，即可确定该抛物线解析式，再确定点坐标，然后确定的坐标即可． 【详解】解：根据题意，抛物线上一点的简朴点是， 即当时，可有， ∴，解得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，可得， ∴， ∴该抛物线上点的简朴点的坐标为． 故答案为：． 17．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；（的实数）．其中正确的结论有 个． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故错误； 当时，， ∴，故错误； 当时，，故正确； 由图象可知对称轴为直线，则， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵图象开口向下， ∴当时，有最大值， 当时，，则 ∴，故正确； 综上可知：正确，共个， 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    【答案】或 【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】由，当时，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ①当抛物线经过时，将点，代入， ∴ 解得： ②当抛物线经过点时，将点,代入， ∴ 解得： 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．已知二次函数． (1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标； (2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，求四边形的面积． 【答案】(1)，开口方向向下，对称轴为直线，顶点的坐标为 (2) 【分析】（1）根据二次函数的图象与性质解答即可； （2）根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出坐标即可求解． 【详解】（1）解： ∴该二次函数的顶点式为，函数图像的开口方向向下，对称轴为直线，顶点的坐标为； （2）解：平移后的新抛物线的解析式为，得到顶点， 当时，由得：，， 即点，即， 当时，由 即点， ∴四边形的面积 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键． 20．在直角坐标平面内，二次函数y＝ax2＋bx－3(a≠0)图象的顶点为A(1，－4)． (1)求该二次函数关系式； (2)将该二次函数图象向上平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 【答案】(1)函数关系式为 y=(x－1)2－4； (2)向上平移3个单位．与x轴的另一个交点坐标为(2，0)． 【详解】解：(1)由题意，得 解得 ∴所求函数关系式为 y=(x－1)2－4； (2)由顶点式可知，向上平移3个单位．与x轴的另一个交点坐标为(2，0)． 21．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A． (1)求点A的坐标； (2)若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式； (3)若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式． 【答案】(1)点A的坐标为（4，﹣1）． (2)y＝x2﹣4x﹣1 (3) 【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案； （2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案； （3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案． 【详解】（1）∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A， ∴， 解得：； ∴点A的坐标为（4，﹣1）． （2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1）， ∴16a+4b﹣1＝﹣1， 即b＝﹣4a， ∴y＝ax2﹣4ax﹣1， ∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1， 抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2）， ∴﹣2＝a﹣4a+1， 解得：a＝1， ∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1． （3）如图， ∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1， ∴P（2，﹣4a﹣1）， ∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称， ∴P'（2，4a+1）， ∵a'＜0， ∴a＞0， ∴P'P＝8a+2， 又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'， ∴， 解得：a＝， ∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1． 【点睛】本题考查了两直线交点问题，待定系数法求抛物线解析式，抛物线平移问题，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 22．消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变） (1)求出水口在D点时抛物线的解析式: (2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？ (3)若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由. 【答案】(1) (2)水能够射进窗户 (3)正好能击中火苗，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题目中的数量关系并结合实际分析是解题的关键． （1）由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点，设顶点式，代入点即可； （2）经过平移后抛物线的解析式为，当时，则，即可比较； （3）由题意可得，抛物线的解析式为，，此时着火点的横坐标为40，当时，，因此可以击中火苗． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点， 设解析式为，代入得：， 解得：. ∴解析式为：； （2）解：经过平移后抛物线的解析式为， 即为： 当时，， ∵， ∴水能够射进窗户； （3）由题意可得，抛物线的解析式为， 此时着火点的横坐标为40，当时，， 因此，正好能击中火苗． 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4． （1）求抛物线的表达式； （2）求∠CAB的正切值； （3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）点P的坐标是（1，0） 【分析】(1) 先求得抛物线的对称轴方程, 然后再求得点C的坐标,设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4,将点 (-3, 0) 代入求得a的值即可; (2) 先求得A、 B、 C的坐标, 然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB,AC的长,然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°,最后,依据锐角三角函数的定义求解即可; (3) 连接BC,可证得△AOB是等腰直角三角形，△ACB∽△BPO，可得代入个数据可得OP的值，可得P点坐标. 【详解】解：（1）由题意得，抛物线y＝ax2+2ax+c的对称轴是直线， ∵a＜0，抛物线开口向下，又与x轴有交点， ∴抛物线的顶点C在x轴的上方， 由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是（﹣1，4）． 可设此抛物线的表达式是y＝a（x+1）2+4， 由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是（﹣3，0），可得a＝﹣1． 因此，抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3． （2）如图1， 点B的坐标是（0，3）．连接BC． ∵AB2＝32+32＝18，BC2＝12+12＝2，AC2＝22+42＝20， 得AB2+BC2＝AC2． ∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°， 所以tan∠CAB=． 即∠CAB的正切值等于． （3）如图2，连接BC， ∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAP＝∠ABO＝45°， ∵∠CAO＝∠ABP， ∴∠CAB＝∠OBP， ∵∠ABC＝∠BOP＝90°， ∴△ACB∽△BPO， ∴， ∴，OP＝1， ∴点P的坐标是（1，0）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，综合性大. 24．如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴是直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移得到新抛物线，点的对应点记作点，点的对应点记作点． ①若点E、F分别落在轴的负半轴和线段上，求的值； ②若点落在第二象限的原抛物线上，连接、，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查求二次函数的解析式， （1）由题意得，，求出，得出函数解析式为，将代入，求出，进而可得出答案； （2）①设，点是由点向左平移1个单位，下平移个单位得到，求出，进而得出直线，将代入，求出，得出，进而得出，即可得出答案； ②设由于点是由平移得到，所以点向左平移个单位，向下平移个单位，得出，进而得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 将代入可得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）①设，点是由点向左平移1个单位，向下平移个单位得到， ， 令，解得，， ， 设直线表达式为， 则， 解得， ， 将代入得：， 得， ， ， ； ②设， 由于点是由平移得到， 所以点向左平移个单位，向下平移个单位， ， 设直线的表达式为， 则， 解得， ， 同理直线的表达式为 ， ， ， 25．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； ②延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：，   直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ， 和等高， ； ②存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图：   ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $