专题09 一元一次方程的应用（一）（八大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年六年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版五四制2024）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题09 一元一次方程的应用（一）（八大题型，40题） 目录 题型一：行程问题 1 题型二：配套问题 4 题型三：工程问题 8 题型四：销售盈亏 11 题型五：比赛积分 15 题型六：方案选择 20 题型七：数字问题 25 题型八：几何问题 28 一、题型一：行程问题 1．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行．甲沿电车发车方向每分钟步行60米，每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行80米，每隔10分遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔 分钟开出一辆电车． 2．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 3．一天，岳悦在翻阅《九章算术》卷第六均输这一章时，发现第一十六题很有意思，他想让班里的同学一起做一做，你有兴趣做吗？ “今有客马日行三百里，客去忘持衣，日己三分之一，主人乃觉．持衣追及与之而还，至家视日四分之三．问主人马不休，日行几何．” 4．已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到30分钟，第二天，甲、乙分别从B、A两地出发以各自原来的速度同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时．求第二天乙车返回B地花了多长时间． 5．A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？ 二、题型二：配套问题 6．某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 7．甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 8．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 9．某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 10．某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 三、题型三：工程问题 11．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程（    ） A． B． C． D． 12．完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 13．课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”，就因校长叫他听一个电话而离开教室；调皮的小刘上台写了一句：“两人合作需几天完成？”．请你根据以上情境再提出一个问题并解答：你提出的问题是 ，针对你提出的问题，你的解答是： ． 14．年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 15．新农村建设是全面推进乡村振兴的重要任务，某建筑队要在美丽乡村建设中拓宽一条公路，第一天修了全长的，第二天修了300米，还剩全长的，这条公路全长多少米？ 四、题型四：销售盈亏 16．有一个商店把某件商品按进价加价作为定价，可是总卖不出去；后来商店按定价降价以96元出售，很快就卖掉了．则这次生意的盈亏情况为（    ） A．亏4元 B．亏24元 C．赚6元 D．不亏不赚 17．张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元． 18．小明同学到某商店购买商品，了解到甲、乙两种商品的信息如下： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和20元； 信息2：甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多； 信息3：按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元． 请根据以上信息，求： (1)甲、乙两种商品的销售单价； (2)商店在这次销售中获得的总利润． 19．红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 20．小明今年4月份两次同时购进了A、B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的数量比B坚果的数量多50%，第二次购买A坚果的数量比第一次购买A坚果的数量少60%，结果第二次购买坚果的总数比第一次购买坚果的总数量多20%，若第二次购买坚果的总费用比第一次购买坚果的总费用少（两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的比值． 五、题型五：比赛积分 21．在一次猜谜比赛上，每人答30道题，答对1题得20分，答错一题扣10分，小聪共得了120分，则小聪答对了 道题，答错了 道题． 22．某次知识竞赛共出25道选择题，评分办法是：答对一道加4分，答错一道倒扣1分，不答记0分，已知小王不答的题比答错的题多1道，他的总分是87分，小王答对了多少道题？ 23．某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁 (1)通过观察积分表，直接写出负一场积______分； (2)求胜一场的积分： (3)若某队胜场总积分等于它的负场总积分的倍，请直接写出该队队名． 24．某校七年级班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 25．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 六、题型六：方案选择 26．秋风送爽、金秋九月，为了让学生更好增强身体素质，我校计划组织全校秋季运动会往返时要坐车．小明发现：七年级若租用座的客车若干辆，则有人没有座位；若租用座的客车，则可以少租辆，且有一辆空了个座位，求此次秋游的人数． 27．元旦期间，嘉嘉、淇淇等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，嘉嘉与爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： (1)嘉嘉他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助嘉嘉算一算，先回答用哪种方式购票更省钱，然后再说明理由； 28．在去年的“6．18”促销活动中，某网店需要x个包装箱．甲、乙两个工厂都想独自承担全部任务，分别给出了如下报价： 甲工厂 单价1.5元/个，如果达到或超过1万个，全部打八折． 乙工厂 5000个内（含5000个）的单价为1.5元/个，超过5000个的部分，单价为1元/个． (1)若你是网店负责人，需要12000个包装箱时，从节省费用角度，你认为由谁单独承包合适？请说明理由． (2)当x为何值时，甲乙工厂的收费相同？ 29．学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 30．甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元/时，其它主要参考数据如下： 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元） 火车 汽车 (1)如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费） (2)如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算． 七、题型七：数字问题 31．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 32．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为 ． 33．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若的立方为，比大，将，填入图的“幻方”中，则的值为 ． 34．有理数都可以表示为（且不可约分）的形式，无限循环小数也可以写成这种形式，以为例：设，即，则，则有，可得，即，则 ． 35．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“标准数”，将一个“标准数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，再除以11所得的商记为．例如，当，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以． (1)计算： ； (2)若一个“标准数”y的十位数字是k，个位数字是，且，求y． 八、题型八：几何问题 36．甲、乙、丙皆正方形，甲一个顶点在乙中心，乙一个顶点在丙中心，甲边长，丙面积，此3图形面积为，则乙边长为 ． 37．如图：数轴上A、B、C三点分别表示的数为，点P表示的数为x 【阅读材料】：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记（或），数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之和记为． 【初步运用】：（1）填空：若，则______；若，则______； 【拓展探究】：（2）若点Q表示的数为y，则的最小值______，此时y的取值范围是______ 【延伸探究】：（3）若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点P到点B、点C的距离之和为10； 38．如图，点A、B为数轴上的两点，点A表示，点B表示4，点P为数轴上一动点． (1)若点P在A、B之间，满足时，求点P表示的数； (2)若点P以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍时，求点P运动的时间． 39．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示4和8的两点之间的距离是______；数轴上表示3和的两点之间的距离是______．（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示的数和的两点之间的距离是12，则的值为______． (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 40．背景知识 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离． 问题情境 如图，数轴上有三点A，B，C所对应的数分别是a，b，c，且满足是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，点C在点A的左侧，到点A的距离是2个单位长度．若M，N为数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒2个单位长度的速度向左移动，同时，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右移动，设运动时间为t秒．    综合运用 (1)________，________，________； (2)当t为何值时，点M与点N之间的距离是4个单位长度？ (3)在点M，N运动的过程中，且点N在线段上，当t为何值时，使得点N到点A，点B，点C的距离之和为18？并求出此时点M在数轴上所表示的数． 10 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题09 一元一次方程的应用（一）（八大题型，40题） 目录 题型一：行程问题 1 题型二：配套问题 4 题型三：工程问题 8 题型四：销售盈亏 11 题型五：比赛积分 15 题型六：方案选择 20 题型七：数字问题 25 题型八：几何问题 28 一、题型一：行程问题 1．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行．甲沿电车发车方向每分钟步行60米，每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行80米，每隔10分遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔 分钟开出一辆电车． 【答案】14 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设电车的速度为x米/分，然后根据前后两车的距离不变，利用相遇问题与追击问题列一元一次方程求出速度，然后再列代数式计算即可． 【详解】解：设电车的速度为x米/分， 根据题意可得：，解得：， 分钟． 故答案为：14． 2．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有： 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有： 解得． 综上所述，两车恰好相距的次数为5次． 故选：A． 3．一天，岳悦在翻阅《九章算术》卷第六均输这一章时，发现第一十六题很有意思，他想让班里的同学一起做一做，你有兴趣做吗？ “今有客马日行三百里，客去忘持衣，日己三分之一，主人乃觉．持衣追及与之而还，至家视日四分之三．问主人马不休，日行几何．” 【答案】日行780里 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键；由题意可设主人骑马日行x里，主人发现时，客人已经骑行了里，主人骑马追上客人的时间=主人骑马往返时间，主人骑马追上客人的时间×日行速度=客人已经骑行路程主人骑马追上客人的时间，列方程计算即可． 【详解】解：由题意可知：主人发现时，客人已经骑行了：（里）， 主人骑马往返时间是（日）， 主人骑马追上客人的时间是：（日）， 设主人骑马日行x里，则有： 解得：； 答：日行780里． 4．已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到30分钟，第二天，甲、乙分别从B、A两地出发以各自原来的速度同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时．求第二天乙车返回B地花了多长时间． 【答案】第二天乙车返回B地花了3小时 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，找出等量关系建立方程是解题的关键． 设第一天乙车从B地到C地行驶的时间为小时，则甲车从A地到C地行驶的时间为小时，根据第二天在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时建立方程 ，求解即可． 【详解】解：设第一天乙车从B地到C地行驶的时间为小时，则甲车从A地到C地行驶的时间为小时，根据题意，得 解得： A、B两地的路程是：（千米）， 第二天乙车返回B地花的时间为：（小时）． 答：第二天乙车返回B地花了3小时． 5．A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？ 【答案】1.5或2.5小时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相遇问题和追及问题的列式方法．设两人同时出发相向而行，需小时两人相距16千米，分两种情况进行解答：第一种情况：当两人没有相遇他们相距16千米，列出方程：；第二种情况：当两人相遇之后他们相距16千米，列出方程：，再解方程即可． 【详解】解：设两人同时出发相向而行，需小时两人相距16千米． 第一种情况：当两人没有相遇他们相距16千米， 依题意可得：，解得：； 第二种情况：当两人相遇之后他们相距16千米， 依题意可得：，解得：， 答：若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米． 二、题型二：配套问题 6．某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【详解】解：设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得： ，即， 解得：， 故需要有10名工人生产茶壶， 故选：C． 7．甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【答案】100套 【分析】根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：甲厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 乙厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套． 根据题意可得方程： ， ， ， ； （套）， （套）， 答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套． 8．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 【答案】(1)应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母 (2)安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，1名工人用小时生产1090个螺柱，用小时生产183个螺母，最多生产螺柱和螺母13090套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．然后根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设安排y小时生产螺柱，根据每人每时生产的螺柱和螺母列出关于y的一元一次方程，并求得生产螺柱所用的时间和产量，结合实际可知最多可生产13090个螺柱，则10名工人生产螺柱，13名工人生产螺母，另外一名工人按1090个螺柱生产，剩余时间生产螺母即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母． 解得 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母． （2）设安排y小时生产螺柱． 解得． ． 根据实际意义取13090． 根据实际意义螺柱取， 则首先安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母， 另外1名工人用个小时生产1090个螺柱，剩余个小时生产个螺母．但最多生产螺柱和螺母13090套． 9．某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)调入6名工人 (2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读㯵题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得：，可解得答案； （2）设名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得， ∴调入6名工人； （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴， 解得， ， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 10．某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 三、题型三：工程问题 11．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．熟练掌握工作总量与单位时间的工作量和时间的关系列式，列方程，是解题的关键． 根据“每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．”列出方程，解出即可求解． 【详解】设原计划每小时生产 x 个零件，实际生产每小时生产 个零件， 12小时的零件数量是件， 原计划13小时生产的零件数量是件， 由此得到方程 ， 故答案为：B． 12．完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 将这项工程的工程量看作为“1”，从而可得甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为，再根据题意列出方程即可得． 【详解】解：将这项工程的工程量看成“1”，则甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为， 由题意得： 故选：A． 13．课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”，就因校长叫他听一个电话而离开教室；调皮的小刘上台写了一句：“两人合作需几天完成？”．请你根据以上情境再提出一个问题并解答：你提出的问题是 ，针对你提出的问题，你的解答是： ． 【答案】师傅每天需付工资200元，徒弟每天需付工资150元，二人合作完成任务一共需要付多少元工资？；840元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，整体工程为‘1’，师傅和徒弟的工作效率就能求出，继而得到答案． 【详解】解：提出问题为：师傅每天需付工资200元，徒弟每天需付工资150元，二人合作完成任务一共需要付多少元工资？ ∵师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天， ∴师傅工作效率是，徒弟工作效率是， 设两人合作共计完成天数为x天， ， 解得：， ∵师傅每天需付工资200元，徒弟每天需付工资150元， ∴（元）， 故答案为：师傅每天需付工资200元，徒弟每天需付工资150元，二人合作完成任务一共需要付多少元工资？；840元 14．年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：乙工程队单独完成需要天； （2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，， 解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 15．新农村建设是全面推进乡村振兴的重要任务，某建筑队要在美丽乡村建设中拓宽一条公路，第一天修了全长的，第二天修了300米，还剩全长的，这条公路全长多少米？ 【答案】这条公路全长2000米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设这条公路全长x米，根据第一天修了全长的，第二天修了300米，还剩全长的，列出方程，求解即可． 【详解】解：设这条公路全长x米，根据题意得： ，即， 解得：， 答：这条公路全长2000米． 四、题型四：销售盈亏 16．有一个商店把某件商品按进价加价作为定价，可是总卖不出去；后来商店按定价降价以96元出售，很快就卖掉了．则这次生意的盈亏情况为（    ） A．亏4元 B．亏24元 C．赚6元 D．不亏不赚 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握一元一次方程的销售问题，找出等量关系是解题的关键，设进价为x，则定价为，再根据“后来老板按定价降价以96元出售，”中根据题意得到关于x的方程式，求得现价，比较可得答案． 【详解】解：设进价为x，则定价为， 根据题意得：，即， 解得：， 则， 则这次生意亏4元， 故选：A． 17．张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元．张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．“商品店经理算了一下，如果减价，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元． 【答案】75 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程． 根据两种方式获得的利润相等建立方程，并解方程即可得到结果． 【详解】设这种商品的成本是x元，减价5%则每件减元，可多买 （件）． ，解得． 故答案为：75． 18．小明同学到某商店购买商品，了解到甲、乙两种商品的信息如下： 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和20元； 信息2：甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多； 信息3：按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元． 请根据以上信息，求： (1)甲、乙两种商品的销售单价； (2)商店在这次销售中获得的总利润． 【答案】(1)甲、乙两种商品的销售单价分别为15元和12元 (2)商店在这次销售中获得的总利润为64元 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意，表示出甲乙商品的零售价是解本题的关键． （1）设出甲商品的进货单价为x元，根据信息1得出乙商品的进货单价为元，进而根据信息2得出甲乙商品的零售单价，最后用信息3的相等关系建立方程求解即可得出结论； （2）利用甲商品每件的利润乘以销售量加乙商品的利润乘以销售量，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲商品的进货单价为x元， ∵甲、乙两种商品的进货单价之和20元， ∴乙商品的进货单价为元， ∵甲商品的零售单价比进货单价多3元， ∴甲商品的零售单价为元， ∵乙商品的零售单价比进货单价多50%， ∴乙商品的零售单价为 ∵按零售价买8件甲商品和10件乙商品，共付240元， ∴ 解得， 经检验：符合题意， ∴甲商品的零售单价为元，乙商品的零售单价为元， 答：甲、乙两种商品的销售单价分别为15元和12元； （2）解：∵甲商品的零售单价比进货单价多3元，乙商品的零售单价比进货单价多50%，且甲、乙两种商品的进货单价之和20元， ∴甲商品的每件利润为3元，乙商品的每件利润为元， ∴商店在这次销售中获得的总利润为元， 答：商店在这次销售中获得的总利润为64元 19．红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多； (2)加工厂到市场的距离为47千米． 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为x千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， ， 解得， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多； （2）解：设加工厂到市场的距离为x千米， ， 解得， 答：加工厂到市场的距离为47千米． 20．小明今年4月份两次同时购进了A、B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的数量比B坚果的数量多50%，第二次购买A坚果的数量比第一次购买A坚果的数量少60%，结果第二次购买坚果的总数比第一次购买坚果的总数量多20%，若第二次购买坚果的总费用比第一次购买坚果的总费用少（两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的比值． 【答案】 【分析】本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知数，再列方程化简求值． 根据坚果数量的等量关系，可设第一次购买B种坚果数量为x个，用x分别表示第一次购买A种坚果的数量和第二次购买两种坚果的数量．再分别设两种坚果的单价为a元和b元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方程中x是可以约去的，化简即得到a与b的数量关系． 【详解】解：设第一次购买B种坚果数量为x， ∴第一次购买A种坚果的数量为： ∴第二次购买A种坚果数量为： ∴第二次购买坚果的总数量为：， ∴第二次购买B种坚果个数量为： 设A种坚果单价为a元，B种坚果单价为b元，依题意得： 化简得： ∴ ∴B坚果的单价与A坚果的单价的比值是， 故答案为：． 五、题型五：比赛积分 21．在一次猜谜比赛上，每人答30道题，答对1题得20分，答错一题扣10分，小聪共得了120分，则小聪答对了 道题，答错了 道题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题题，列出方程求解即可，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 【详解】解：设小聪答对了道题，则答错了道题，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴小聪答对了道题，则答错了道题， 故答案为：，． 22．某次知识竞赛共出25道选择题，评分办法是：答对一道加4分，答错一道倒扣1分，不答记0分，已知小王不答的题比答错的题多1道，他的总分是87分，小王答对了多少道题？ 【答案】小王答对了22道题 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用．设小明答错了x道题，则小明不答的题有道，答对的题有道，根据总分是87分列出一元一次方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设小明答错了x道题，则小明不答的题有道，答对的题有：（道）， 根据题意可得：， 解得：， ∴答对的题有：（道）， 答：小王答对了22道题． 23．某次篮球联赛积分榜如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 东方 光明 蓝天 雄鹰 远大 卫星 钢铁 (1)通过观察积分表，直接写出负一场积______分； (2)求胜一场的积分： (3)若某队胜场总积分等于它的负场总积分的倍，请直接写出该队队名． 【答案】(1)； (2)分； (3)该队为前进队或东方队． 【分析】（）根据钢铁队即可求解； （）设胜一场积分，根据其中一个球队列出方程即可求解； （）设该队胜场，则负场，根据题意列出方程，求出该队的胜、负场次数即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由钢铁队可知，负一场积分， 故答案为：； （2）解：设胜一场积分， 由前进队得，， 解得， 答：胜一场的积分； （3）解：设该队胜场，则负场， 由题意得，， 解得， ∴该队胜场，负场， ∴该队为前进队或东方队． 24．某校七年级班组织生活小常识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中个参赛者的得分情况．请你补全表格，并写出你的研究过程． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得分、答错一道扣分成为解答本题的关键． 根据题意发现答对一道得分、答错一道扣分，进而列方程求解即可； 【详解】解：因为共有题，参赛者B答错题，故答对题， 因为参赛者答对题答错题得分， 所以答对题得分， 设答错题扣分， 由参赛者的得分可得，， 解得， 所以答错题扣分， 设参赛者答对题， 由题意得，， 解得． 故参赛者答对题，答错题． 补全表格如下： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A B C 25．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分； (2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分； (3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题） 【答案】(1)5，2 (2) (3)D，答对了12道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）按照（1）中的答题得分计算即可； （3）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】（1）解：答对一题加：分， 答错一题减：分， 故答案为：5，2； （2）小明的得分：分， （3）D，答对了12道题． 设他答对道题，则答错道题． A．若，解得，故不符合题意； B．若，解得，故不符合题意； C．若，解得，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：小刚同学答对了12道题． 六、题型六：方案选择 26．秋风送爽、金秋九月，为了让学生更好增强身体素质，我校计划组织全校秋季运动会往返时要坐车．小明发现：七年级若租用座的客车若干辆，则有人没有座位；若租用座的客车，则可以少租辆，且有一辆空了个座位，求此次秋游的人数． 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设此次秋游人数为人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设此次秋游人数为人， 由题意得，， 解得， 答：此次秋游人数为人． 27．元旦期间，嘉嘉、淇淇等同学随家长一同到某公园游玩．下面是购买门票时，嘉嘉与爸爸的对话（如图），试根据图中的信息解答下列问题： (1)嘉嘉他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助嘉嘉算一算，先回答用哪种方式购票更省钱，然后再说明理由； 【答案】(1)他们一共去了8个成人，4个学生 (2)购团体票更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据总价单价数量求出购买16张团体票的总费用． （1）设成人人数为，则学生人数为，根据总费用成人票价人数学生票价人数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出购买16张团体票的总钱数，与300比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设成人人数为人，则学生人数为人， 根据题意得：， 解得：， ． 答：他们一共去了8个成人，4个学生． （2）如果买团体票，按16人计算，共需费用：（元）， ， 购团体票更省钱． 答：购团体票更省钱． 28．在去年的“6．18”促销活动中，某网店需要x个包装箱．甲、乙两个工厂都想独自承担全部任务，分别给出了如下报价： 甲工厂 单价1.5元/个，如果达到或超过1万个，全部打八折． 乙工厂 5000个内（含5000个）的单价为1.5元/个，超过5000个的部分，单价为1元/个． (1)若你是网店负责人，需要12000个包装箱时，从节省费用角度，你认为由谁单独承包合适？请说明理由． (2)当x为何值时，甲乙工厂的收费相同？ 【答案】(1)甲工厂单独承包合适，理由见解析 (2)当或时，甲乙工厂的收费相同 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）分别计算出两个工厂的费用即可得到结论； （2）分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：甲工厂单独承包合适，理由如下： 甲工厂费用： （元）， 乙工厂费用： （元） ∵， ∴甲工厂单独承包合适； （2）解：根据题意可知，当时，两个工厂的单价均为1．5元/个，即此时甲乙工厂的收费相同； 当时，超过5000的部分，甲工厂单价便宜，此时不可能两个工厂收费相同， 当时，依题意有：， 解得． ∴当或时，甲乙工厂的收费相同． 29．学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 【答案】(1)， (2)买乒乓球100盒时，两家付款一样多 (3)在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 【分析】本题考查一次方程的应用，有理数乘法的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据两家付款一样多列方程即可得到结论； （3）在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，列式计算即可． 【详解】（1）甲店每买一副球拍赠一盒球， 在甲店购买需付款（元）， 乙店全部按定价的8折优惠， （元） 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得， 答：买乒乓球100盒时，两家付款一样多； （3）购买方案是：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球，此时所需付款为： 甲店付款（元）， 乙店付款（元）， 一共需付款（元）， 答：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 30．甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元/时，其它主要参考数据如下： 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元） 火车 汽车 (1)如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费） (2)如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算． 【答案】(1)千米； (2)选择汽车运输比较合算． 【分析】（）设甲、乙两地间的路程为千米，根据题意列出方程即可求解； （）分别求出两种方式的运输费用，再比较即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲、乙两地间的路程为千米， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两地间的路程为千米； （2）解：选择火车运输的费用为元， 选择汽车运输的费用为元， ∵， ∴选择汽车运输比较合算． 七、题型七：数字问题 31．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 32．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列方程是解题的关键． 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数即可求解． 【详解】解：∵，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2， ∴， ∴， ∴内圈上空缺的数为：， 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 当外圈空缺数为时，则，解得， 则； 即的值为或． 故答案为：或． 33．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若的立方为，比大，将，填入图的“幻方”中，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用字母表示数，有理数的运算，先求出的值，再由题意得，求得，，然后把的值代入求解即可，读懂题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵的立方为， ∴， ∵比大， ∴， 由每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 则， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 34．有理数都可以表示为（且不可约分）的形式，无限循环小数也可以写成这种形式，以为例：设，即，则，则有，可得，即，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设，则，根据题中所给方法列出方程即可求解，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“标准数”，将一个“标准数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，再除以11所得的商记为．例如，当，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以． (1)计算： ； (2)若一个“标准数”y的十位数字是k，个位数字是，且，求y． 【答案】(1)11 (2)“标准数”为68． 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、新定义问题的求解等知识与方法，正确地理解定义并且用代数式表示出原数和新数是解题的关键． （1）将92对调个位数字与十位数字得到的新两位数是29，根据定义，，则； （2）“标准数”的十位数字是，个位数字是，则原两位数是，新两位数是，根据原两位数与新两位数的和一定是11的倍数列方程求出的值，再求出的值，即可求出“标准数”． 【详解】（1）解：当，对调个位数字与十位数字得到的新两位数29， ， ， ， 故答案为：11； （2）解：根据题意得， 解得， ， 标准数为68． 八、题型八：几何问题 36．甲、乙、丙皆正方形，甲一个顶点在乙中心，乙一个顶点在丙中心，甲边长，丙面积，此3图形面积为，则乙边长为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据正方形的对称性可知，甲与乙重合的部分的面积为乙面积的四分之一，乙与丙重合部分的面积为丙面积的四分之一，求出甲的面积为，再根据总面积为建立方程求解即可． 【详解】解：根据正方形的对称性可知，甲与乙重合的部分的面积为乙面积的四分之一，乙与丙重合部分的面积为丙面积的四分之一， ∵甲边长， ∴甲的面积为， ∵此3图形面积为， ∴， ∵丙面积， ∴， ∴， ∴乙边长为， 故答案为：20． 37．如图：数轴上A、B、C三点分别表示的数为，点P表示的数为x 【阅读材料】：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记（或），数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之和记为． 【初步运用】：（1）填空：若，则______；若，则______； 【拓展探究】：（2）若点Q表示的数为y，则的最小值______，此时y的取值范围是______ 【延伸探究】：（3）若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点P到点B、点C的距离之和为10； 【答案】（1）或3，；（2）6；；（3）秒或秒 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据题意可得表示的是数轴上表示x的数与表示2的数的距离为1，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可；表示的是数轴上表示x的数到表示1和的数的距离相等，据此根据两点中点计算公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义可得当时，能取值最小值，最小值为； （3）设运动时间为t秒，则点表示的数为，根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，表示的是数轴上表示x的数与表示2的数的距离为1， 或； 由题意得表示的是数轴上表示x的数到表示1和的数的距离相等， ， 故答案为：或3，； （2）由题意得，表示的是数轴上表示y的数到表示和4的数的距离之和， ∴当时，能取值最小值，最小值为， 故答案为：6；； （3）设运动时间为t秒，则点表示的数为， 依题意，得， 当时，， 解得：； 当时，， 故此情况不成立，舍去； 当时，， 解得：； 故当经过秒或秒时，动点到点、点的距离之和为10； 38．如图，点A、B为数轴上的两点，点A表示，点B表示4，点P为数轴上一动点． (1)若点P在A、B之间，满足时，求点P表示的数； (2)若点P以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍时，求点P运动的时间． 【答案】(1) (2)点P运动的时间为1秒或10秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴上点的坐标、距离表示方法等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设点P表示的数为x，先表示出和，再根据建立方程求解即可解答； （2）设点P运动的时间为t秒，分当点P在点B左侧时，当点P在点B右侧时，两种情况结合“点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍时”建立方程求解即可解答． 【详解】（1）解：设点P表示的数为x， ∵点A表示，点B表示4，点P在A、B之间， ， ∵， ，解得： 点P表示的数为； （2）解：设点P运动的时间为t秒， 当点P在点B左侧时，，， ∵， ∴，解得：； 当点P在点B右侧时，，， ∵， ∴，解得：． 综上，点P运动的时间为1秒或10秒． 39．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示4和8的两点之间的距离是______；数轴上表示3和的两点之间的距离是______．（直接写出最终结果） (2)若数轴上表示的数和的两点之间的距离是12，则的值为______． (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)4；9 (2)10或 (3)有最小值，最小值为4 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，绝对值方程，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键． （1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可； （3）由于所给式子表示到和3的距离之和，当在和3之间时和最小，故只需求出和3的距离即可． 【详解】（1）解：数轴上表示4和8的两点之间的距离是，数轴上表示3和的两点之间的距离是， 故答案为：4；9； （2）解：根据题意，得：， ， 或， 解得：或， 故答案为：10或； （3）解：表示到和3的距离之和， 当在和3之间时距离和最小，最小值为， 故有最小值，最小值为4． 40．背景知识 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离． 问题情境 如图，数轴上有三点A，B，C所对应的数分别是a，b，c，且满足是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，点C在点A的左侧，到点A的距离是2个单位长度．若M，N为数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒2个单位长度的速度向左移动，同时，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右移动，设运动时间为t秒．    综合运用 (1)________，________，________； (2)当t为何值时，点M与点N之间的距离是4个单位长度？ (3)在点M，N运动的过程中，且点N在线段上，当t为何值时，使得点N到点A，点B，点C的距离之和为18？并求出此时点M在数轴上所表示的数． 【答案】(1) (2)当t为秒或秒时，点M与点N之间的距离是4个单位长度 (3)；点M在数轴上表示的数为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，解一元一次方程． （1）根据题意即可求解； （2）由点M、N运动速度可得到两点t秒后表示的数，根据两点为距离为4即可求解； （3）点N在线段上时，则；而，则点N在点C的左侧，且，，由此可求得点N表示的数，从而求得时间t，最后求得点M表示的数． 【详解】（1）解：因为是最大的负整数，是绝对值最小的有理数， 所以，， 故； 因为点C在点A的左侧，到点A的距离是2个单位长度， 所以； 故答案为：； （2）解：点M运动t秒后的数为、点N运动t秒后的数为， 由题意得：， 解得：或； 故当t为秒或秒时，点M与点N之间的距离是4个单位长度； （3）解：因为点N在线段上， 则； 因为，， 所以点N在点C的左侧，且，， 所以点N运动时间为，即， 所以M点运动距离为， 故点M表示的数为． 所以当时，得点N到点A，点B，点C的距离之和为18；此时点M在数轴上所表示的数为． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$