第15讲 一元一次方程的应用（二类知识点+十四大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年六年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第15讲 一元一次方程的应用 （十四大题型） 学习目标 1、知道解一元一次方程的应用的一般步骤； 2、掌握常见列方程解应用题的几种类型。 一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 二、常见列方程解应用题的几种类型 1．和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第1， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第2， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 【即学即练1】某人骑自行车从地到地，若每小时骑16千米比每小时骑12千米要少用30分钟，若设两地相距千米，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设两地相距千米，根据时间=路程÷速度结合“若每小时骑16千米比每小时骑12千米要少用30分钟”，即可得出关于x的一元一次方程． 【解析】解：设两地相距千米， 依题意，得：． 故选：D． 【即学即练2】一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，可成为一个正方形，设长方形的长为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是根据长方形的周长表示出其宽及变化后正方形的边长．由长方形的周长为，长方形的长为知长方形的宽为，根据正方形的边长相等可列出方程． 【解析】解：长方形的周长为，长方形的长为， 则长方形的宽为， 根据题意，得， 故选：B． 【即学即练3】把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设这个班有学生人，图书本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可． 【解析】解：设这个班有学生人，图书本， 由题意得，， ， 故选：B． 【即学即练4】甲、乙两数的和是，甲数的小数点向左移动一位正好等于乙数，则甲数是 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲数为x，则乙数为，再根据甲数的小数点向左移动一位正好等于乙数列出方程求解即可． 【解析】解：设甲数为x，则乙数为， 由题意得，， 解得， 所以甲数是， 故答案为：． 【即学即练5】我国古代名著《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设快马天可以追上慢马，根据路程速度时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【解析】解：依题意，得：． 故选：A． 题型1：行程问题 【典例1】．一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用的时间通过了长的隧道，则这列火车的长度为 ． 【答案】 【分析】设这列火车的长度为x米，根据速度＝路程÷时间结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】解：设这列火车的长度为x米， 依题意得：， 解得x＝200． 答：这列火车的长度为200m， 故答案为：200m． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【典例2】．小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m．如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑， 秒后两人相遇． 【答案】10 【分析】根据他们相遇时，两人所跑的路程之和等于建立方程，解方程即可得． 【解析】解：设如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，秒后两人相遇， 则， 解得， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键． 【典例3】．一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需4小时，顺水航行需3小时，水速是5千米/时，则轮船在静水中的速度是 千米/时． 【答案】35 【分析】本题求的是速度，时间比较明确，那么一定是根据路程来列等量关系．本题的等量关系为：逆水速度×逆水时间=顺水速度×顺水时间． 【解析】解：设轮船在静水中的速度是x千米/时， 根据题意得：4（x-5）=3（x+5）， 解得：x=35， 答：轮船在静水中的速度是35千米/时． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，逆水速度=静水速度-水流速度；顺水速度=静水速度+水流速度是船航行之类的题中的必备内容． 【典例4】．船在静水中的速度为50千米/时，水流速度为10千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了12小时（中途不停留），则甲、乙两码头的距离为 千米． 【答案】288 【分析】设甲、乙两码头的距离为x千米，根据顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度，由时间的等量关系列出方程，求出方程的解即可． 【解析】解：设甲、乙两码头的距离为x千米， 依题意：， 解得：x＝288， 故答案为：288． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程求解． 题型2：配套问题 【典例5】．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则有 名工人生产螺钉． 【答案】10 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产螺母，则人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【解析】解：设分配x名工人生产螺母，则人生产螺钉， 由题意得：， 解得：， 则， 故答案为：10． 【典例6】．如图，学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则需要安排生产桌面的人数为 人． 【答案】20 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可． 【解析】解：设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿， 由题意得， 解得， 答：需要安排20名工人生产桌面， 故答案为：20． 【典例7】．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，设分配x名工人生产螺母，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，根据一个螺钉要配两个螺母建立方程，正确分析题意是解题关键． 【解析】解：设分配x名工人生产螺母，则名工人生产螺钉， 根据题意得：， 故答案为：． 题型3：工程问题 【典例8】．某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，明确题意，准确找出等量关系是解题的关键．设甲、乙一共用x天完成，则剩下的甲单独干天，然后根据题意，列出方程即可． 【解析】解：设甲、乙一共用x天完成，则剩下的甲单独干天， 甲的工作效率为：，乙的工作效率为：， 根据题意得， 故选：C． 【典例9】．一项工作，甲单独做8小时完成，乙单独做6小时完成，现在由甲单独做2小时，剩下的由甲、乙合作，还需几小时完成？若设剩下的工作还需小时完成，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把总的工作量看作“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据“甲做2小时，剩余部分甲乙合作”列出方程并解答．本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【解析】 解：由甲做2小时，剩余部分甲乙合作， 设剩下的工作还需小时完成，则 ， 即， 故选：A． 【典例10】．某工厂生产某种零件，原计划每天生产个，则刚好能在规定时间完成任务，但实际每天比原计划多生产个零件，结果提前天完成任务，并多生产了个零件．设该工厂的任务是生产个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据工作时间工作总量工作效率，结合提前天完成任务，并多生产了个零件，列出方程即可． 【解析】解：设该工厂的任务是生产个零件， 根据题意得：， 故选：C． 题型4：销售盈亏问题 【典例11】．超市以390元卖出两台进价不同的复读机，一台盈利，另一台亏本，在这次买卖中超市（   ） A．不亏不盈 B．亏了元 C．盈了38元 D．盈了15元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 盈利的一台的进价为元，利用利润率的意义列出方程，解得；再设亏本的一台的进价为元，同样列出方程，解得，即可求解． 【解析】解：设盈利的一台的进价为元， 根据题意得， 解得； 设亏本的一台的进价为元， 根据题意得， 解得； 因为（元）， 所以在这次买卖中超市亏了元． 故选：B． 【典例12】．商场销售某品牌冰箱，若按标价的8折销售，每台仍获利200元，其利润率为，则每台的标价为（    ） A．275元 B．1100元 C．2750元 D．11000元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设该品牌冰箱的标价为元，利用“进价利润利润率”可求得该品牌冰箱的进价为2000元，根据题意“若按标价的八折销售，每件可获利200元”可列出关于x的一元一次方程，求解 【解析】解：设该品牌冰箱的标价为x元， 根据题意，该品牌冰箱的进价元， 则， 解得：， ∴该品牌冰箱的标价为2750元． 故选：C 【典例13】．一双鞋子，如果卖169元可赚；如果卖104元，就要亏（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该鞋子的成本为x元，利用利润=售价-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解析】解：设该鞋子的成本为x元， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴如果卖104元，就要亏． 故选：A． 题型5：比赛积分问题 【典例14】．在一次猜谜比赛上，每人答30道题，答对1题得20分，答错一题扣10分，小聪共得了120分，则小聪答对了 道题，答错了 道题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题题，列出方程求解即可，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 【解析】解：设小聪答对了道题，则答错了道题，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴小聪答对了道题，则答错了道题， 故答案为：，． 【典例15】．小明和甲、乙、丙、丁四个同学一起参加象棋比赛，每两人都要比赛一场．到现在为止，小明已经比赛了4场，甲赛了3场，乙赛了2场，丁赛了1场，那么丙赛了( )场． 【答案】2 【分析】本题考查数据分析推理，每两人要比赛一场，每个人最多比赛4场，据此分析推断即可． 【解析】小明赛了4场，则小雨分别跟甲、乙、丙、丁各赛一场 所以丁赛了1场就是跟小明比赛的， 从而甲赛了3场是跟小明、乙、丙比赛的 又因为乙赛了2场： 综上所述，丙赛了2场，分别是跟小明和甲比赛的 答：丙赛了2场 故答案为：2． 【典例16】．某磁性飞镖游戏的靶盘，珍珍玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如右表：若珍珍投中区次，区3次，其余全部脱靶，本局得分19分，则的值为 ． 投中位置 区 区 脱靶 一次计分（分） 3 1 【答案】6 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可列出方程，然后进行求解即可． 【解析】解：由题意得： 解得：； 故答案为6． 题型6：数字问题 【典例17】．若一个两位数，个位与十位上的数字之和是7，其中十位上的数字比个位上的数字的3倍少1，则这个两位数是 ． 【答案】52 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意等量关系的确定，这是解题的关键． 【解析】解：设个位数字为x，则十位数字为， 根据题意，得， 解得， 则， 这个两位数是52， 故答案为：52． 【典例18】．若三个数之比为，且这三个数之和为90，则这三个数分别是 ． 【答案】10、20、60 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； 设最小的数为，则另外两个数为，根据这三个数之和为90列方程求出x即可． 【解析】解：设最小的数为，则另外两个数为， 由题意得：， 解得：， 则， 所以这三个数分别是10、20、60， 故答案为：10、20、60． 【典例19】．一个两位数，十位上数字是个位上数字的2倍，交换个位数字与十位数字后所得的新两位数比原两位数小18，求原来的这个两位数． 【答案】42 【分析】设个位数字为x，则十位数字为，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意等量关系的确定，这是解题的关键． 【解析】解：设个位数字为x，则十位数字为， 根据题意，得， 解得， 则， 这个两位数是42， 答：这个两位数是42． 题型7：几何问题 【典例20】．一个长方形的周长是84厘米，长与宽的比是4:3，这个长方形的面积是多少？ 【答案】这个长方形的面积是432平方厘米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设长方形的长为厘米，宽为厘米，根据题意列出方程，求出长方形的长和宽，即可求解． 【解析】解：设长方形的长为厘米，宽为厘米， 由题意可得：， ， 厘米，厘米， 这个长方形的面积（平方厘米）， 答：这个长方形的面积是432平方厘米． 【典例21】．如图，小10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长为x厘米，则依题意列方程是 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设长方形的墙砖长为x厘米，则长方形的墙砖宽为厘米，根据拼成长方形的宽为75厘米，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解析】解：设长方形的墙砖长为x厘米，则长方形的墙砖宽为厘米， 依题意，得：． 故答案为：． 【典例22】．如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 【答案】(1)P，Q出发4秒相遇 (2)P，Q两点之间的距离为 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据追及问题列方程求解即可； （2）先求得动点P到达点C时所用的时间，据此计算即可求解． 【解析】（1）解：由题意得， 解得， 答：P，Q出发4秒相遇； （2）解：动点P到达点C时用时：， ， ， 答：P，Q两点之间的距离为． 题型8：和差倍分问题 【典例23】．甲、乙两人身上带的钱数之比是，甲给乙5元后，变成．那么，甲、乙两人共有 钱元． 【答案】100 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲有元，乙有元，根据甲给乙5元后，变成列出方程求解即可． 【解析】解：设甲有元，乙有元， 由题意得，， 解得， 所以， 所以甲、乙两人共有100元， 故答案为：100． 【典例24】．小明和爸爸、妈妈的年龄加起来是79岁，已知爸爸的年龄是小明的4倍，妈妈的年龄比爸爸小2岁，那么小明今年 岁． 【答案】9 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．先设出小明今年的年龄，即可表示出爸爸和妈妈今年的年龄，然后根据小明和爸爸、妈妈的年龄加起来是79岁，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【解析】解：设小明今年的年龄是岁，则爸爸今年的年龄是岁，妈妈今年的年龄是岁， 由题意可得：， 解得， 即小明今年9岁， 故答案为：9． 【典例25】．某班数学兴趣小组的女生人数是全组人数的一半，如果增加2名女生，那么女生人数是全组人数的，设该小组原来女生人数是x人，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先根据题意得到该组原来人数为人，然后根据“增加2名女生后，女生人数是全组人数的，”列方程求解即可． 【解析】解：设该小组原来女生人数是x人，则该组原来人数为人， 根据题意，得， 故答案为：． 题型9：比例问题 【典例26】．张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 【答案】28 【分析】本题考查了方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设一支钢笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【解析】解：设一支钢笔的价格为元， 则， 解得， 所以张自己的钱数为（元），李自己的钱数为（元）， 所以张和李剩下的钱共有（元）， 故答案为：28． 【典例27】．甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，根据甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍列方程即可． 【解析】解：设调配到甲煤厂x吨，则调配到乙煤厂吨， 依题意，得， 故答案为：． 【典例28】．为控制“新冠”疫情，绵阳东辰学校准备配制某种消毒液，现有浓度为，，的甲、乙、丙三种消毒液分别为，，，现要配制浓度为的消毒液，设甲种消毒液用千克，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】用浓度为5%的消毒液和浓度为8%、9%的消毒液配置浓度为7%的消毒液，要进行分类讨论：①余下全用浓度为9% 的消毒液；②余下全用浓度为 8% 的消毒液．并结合三种浓度消毒液的重量，对条件限制，进而求解符合题意的即可． 【解析】解：由题意可知甲种消毒液中物质为： ①若余下全用浓度为9% 的消毒液， 则：， ∴（kg）． 此时所用9%的消毒液：（kg）（kg）， 当使用47kg 浓度9%的消毒液时：， ∴kg， 使用浓度 8% 的消毒液 ， ∴kg. ②若余下全用浓度为 8% 的消毒液， 则：， ∴． 此时所用8% 的消毒液： (kg)， 得 ， 综上所述：． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，其一般解题步骤为：审题、找等量关系、设未知数、列出方程、求解，写出答案． 题型10：日历问题 【典例29】．如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了日历有关的一元一次方程的应用，结合日历特征，得出五个数的和的平均值恰好是中间的那个数，设中间的数为，进行列式计算，即可作答． 【解析】解：观察像这种形式五个数的和的平均值恰好是中间的那个数， ∴ ∴ 故答案为：21 【典例30】．你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是2023年3月的月历． (1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 【答案】(1)横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7 (2)这三天分别是17号、24号、31号 【分析】本题考查数字类规律探究，一元一次方程的应用： （1）直接观察，即可得出结果； （2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，根据题意，列出方程进行求解即可． 【解析】（1）解：由图可知：月历中，横行上相邻的两个数之差为1，竖列上相邻的两数之差为7． （2）设一竖列上连续三个数的中间的一个数为x，则上面的一个数为，下面的一个数为． 依题意得，， 解得： 所以； 答：这三天分别是17号、24号、31号． 【典例31】．如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据X框最中间的数，表示出其余4个数是解决问题的关键． （1）根据X框最中间的数，表示出其余4个数，再列出5个数之和，计算后即可得出答案； （2）当时，a不是整数，即可得出这5个数的和不能等于68． 【解析】（1）解：∵X框最中间的数为a，则其余4个数分别为， ∴这5个数之和为：， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 当时，， ∵a必须为整数， ∴这5个数的和不能等于68． 题型11：古代问题 【典例32】．我国民间流传着这样的一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两多7两；每人半斤少半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：古代1斤=16两） 【答案】15人分112两银 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理清数量关系、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设有x人，然后根据题意列出方程求得x的值，进而求得银的两数． 【解析】解：设有x人， 由题意可得：，解得： 则银两． 答：15人分112两银． 【典例33】．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【答案】21人，150元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设合伙人数为x,根据“若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱”， 即可得出关于x的一元一次方程求解可得合伙人数，再将其代入计算即可求出羊价． 【解析】解：设合伙人数为x, 依题意得：，解得：， 则． 答：合伙人数为21，羊价为150钱． 【典例34】．我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【答案】6.5尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头长x尺，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺”列方程即可作答． 【解析】设木头长x尺，由题意可知：， 解得 答：木头的长度是6.5尺． 题型12：电费、水费问题 【典例35】．自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过，按元收费，超过的部分按元收费，王老师家月份平均水费为元，王老师家月份用水多少立方米？ 【答案】王老师家三月份用水20吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设王老师家三月份用水x吨，根据水费超出10吨的部分及水费=每吨均价×用水数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】解：设王老师家三月份用水x吨， 依题意，得：， 解得：． 答：王老师家三月份用水20吨． 【典例36】．国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的纳税；超过4000元的按全部稿费的纳税．现某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？ 【答案】3800元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出正确的数量关系是解题的关键． 设这个人的稿费是x元，由共纳税420元，列出方程可求解． 【解析】解：设这个人的稿费是x元， 当时，可得， 解得元， 当时，可得：， 解得（舍去）， 答：这个人的稿费是3800元． 【典例37】．某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 【答案】(1)； (2)当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及列代数式，理解题意，列出代数式是解题关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意建立方程求解即可． 【解析】（1）解：根据题意得用“亲情卡”要收费元；用“校园卡”要收费元， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样． 题型13：方案选择问题 【典例38】．某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12元：设共印刷调查问卷x份． (1)按甲种方式应收费 元，按乙种方式应收费 元；（用含x的代数式表示） (2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？ 【答案】(1)； (2)印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时，甲种收费方式较少 【分析】此题考查的是列代数式表示实际问题和一元一次方程的应用，掌握实际问题中各个量之间的关系是解决此题的关键． （1）根据题意，分别写出甲、乙两种收费方式即可； （2）根据收费方式列出方程解答即可． 【解析】（1）由题意可知：甲种收费方式应收费元； 乙种收费方式应收费元 故答案为：；． （2）根据题意可得：， 解得：． 故印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时，甲种收费方式较少． 【典例39】．2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【答案】(1)A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛， (2)两个团队一起买91套时最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛，先计算出，，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）分别计算：①两个团队单独买、②两个团队一起买82套、③两个团体一起买91套的总花费，即可得到答案． 【解析】（1）解：设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛， ∵A队人数多于B队人数且A队人数不够90人， ∴， 解得，，即甲队的人数范围是， ∴乙队人数范围是：， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛； （2）解：由题意得，A团队参加比赛的人数为人， 当两个团队单独买时的费用为元， 当两个团队一起买82套时的费用为元， 当两个团队一起买91套时的费用为元， ∵， ∴两个团队一起买91套时最省钱． 【典例40】．为庆祝“六一”儿前节，某片区甲、乙两所中学组织文艺汇演，甲、乙两所学校共102人参加演出（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够100人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至50套 51套至100套 100套以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 如果两校分别单独购买服装，一共应付元． (1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？ (3)如果甲校有12名同学因参加数学竞赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱且合理的购买服装方案． 【答案】(1)甲、乙两校联合起来购买服装，比各自购买服装共可以节省元． (2)甲、乙两校分别有60人、42人准备参加演出． (3)最省钱的购买服装方案是两校联合购买101套服装（即比实际人数多购买11套）． 【分析】本题主要考查了一元一次方程解决销售方案问题： （1）计算出联合起来购买需付的钱数，然后即可得出节省的钱数． （2）根据题意判断出甲校的学生大于51，乙校的学生小于51，从而根据两所学校分别单独购买服装，一共应付元，可得出方程，解出即可； （3）根据实际人数乘以单价得购买费用，再计算两校联合购买101套服装的费用，两者比较可得省钱的购买方案． 【解析】（1）解：由题意得：（元）． 答：甲、乙两校联合起来购买服装，比各自购买服装共可以节省元． （2）解：因为甲校人数多于乙校人数， ∴甲校的学生大于51，乙校的学生小于51， 设甲校有x人准备参加演出，则乙校有人准备参加演出． 由题意，得． 解得， 则． 答：甲、乙两校分别有60人、42人准备参加演出． （3）解：因为甲校有12名同学因参加数学竞赛不能参加演出， 所以甲校有（人）参加演出， 所以两校参加演出的人数为．（人）． 若两校联合购买90套服装，则需要（元）． 但如果两校联合购买101套服装，只需（元）． ． 因此，最省钱的购买服装方案是两校联合购买101套服装（即比实际人数多购买11套）． 题型14：数轴问题、其他问题 【典例41】．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据如图所示的程序进行计算，若输出的值为5，求输入x的值． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，关键是能准确理解并运用程序规定计算方法进行运算．根据题意，得，再求解即可得出答案． 【解析】解：根据题意，得 ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 即输入x的值为2． 【典例42】．如图，数轴上有，两条线段（在右侧），点到点的距离与点到点的距离之差为3，，数轴上点，表示的数分别是，12．    (1)________，______． (2)点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴一直向右运动，同时点从点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，运动时间为秒．（运动过程中点始终在点右侧，点在点右侧，线段，长度不变） ①当点运动到原点的左侧，且到原点的距离为2时，求线段的长度． ②当线段与重合部分的线段长为1时，求的值． 【答案】(1)2，3 (2)①，②或或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示各个点运动后表示的数． （1）根据点到点的距离与点到点的距离之差为3，即可得出， 根据即可得出； （2）①根据题意得出点A表示的数为，则，进而推出点D表示的数为7，即可解答；②根据题意可得点A表示的数为，点B表示的数为则，点C从点N运动到点M所需时间为，然后进行分类讨论：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，（Ⅲ）当时，列出方程求解即可． 【解析】（1）解：∵点到点的距离与点到点的距离之差为3， ∴， ∴． 故答案为：2，3． （2）解：①∵点运动到原点的左侧，且到原点的距离为2时， ∴点A表示的数为， ∵点表示的数为， ∴， ∴， ∴点C表示的数为， ∵，点在点右侧， ∴点D表示的数为， ∴； ②根据题意可得点A表示的数为， ∵，点始终在点右侧， ∴点B表示的数为， ∵点，表示的数分别是，12， ∴， ∴点C从点N运动到点M所需时间为， （Ⅰ）当时， ∵点N表示的数为12， ∴此时点C表示的数为， ∵，点在点右侧， ∴点D表示的数为， 当时，， 解得：，    当时，， 解得：，    （Ⅱ）当时， 点C表示的数为，点D表示的数为， 当时，， 解得：，    当时，， 解得：（舍去），    （Ⅲ）当时， 点C表示的数为，点D表示的数为， 当时，， 解得：，    综上：或或或． 【典例43】．阅读理解： 若为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离倍，我们就称点是【，】的妙点． 例如，如图，点所表示的数为，点所表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的妙点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的妙点，但点是【，】的妙点． 知识运用： (1)如图，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． ①在点和点中间，数______所表示的点是【】的妙点； ②在数轴上，数_______和数______所表示的点都是【】的妙点； (2)如图，、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为，现有一点从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止运动．当为何值时，、和中恰有一个点为其余两点的妙点？ 【答案】(1)①；②； (2)或或 【分析】本题考查了数轴和一元一次方程的应用的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①设所求数为，且所求在点和点中间，列式，求解即可得出答案； ②设所求数为，列式或，求解即可得出答案． （2）根据题意分成四种情况，当是【】的妙点时，当是【】的妙点时，当是【】的妙点时，当为【】的妙点时，分别讨论列式即可． 【解析】（1）①解：根据所求数在点和点中间，设所求数为， 由题意得， 解得， 故数所表示的点是【】的妙点， 故答案为； ②解：设所求数为， 由题意得或， 解得或， 综上可得数，数所表示的点是【】的妙点， 故答案为，； （2）解：设点P表示的数为，分四种情况： ①当是【】的妙点时． 由题意，得， 解得， ∴； ②当是【】的妙点时．由题意，得， 解得， ∴； ③当是【】的妙点时．由题意，得， 解得， ∴； ④当为【】的妙点时， 由题意得， 解得， ∴． 综上可知，当为或或时，、和中恰有一个点为其余两点的妙点． 一、单选题 1．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原计划每小时生产 x 个零件，根据“每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．”列出方程，解出即可求解． 【解析】解：实际生产12小时的零件数量是12（x+10）件， 原计划13小时生产的零件数量是13x件， 由此得到方程 ， 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 2．甲车队有汽车56辆，乙车队有汽车32辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出x辆汽车给乙队，则可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示出抽调后两车队的汽车辆数然后根据两车队汽车一样多列出方程即可． 【解析】解：设由甲队调出x辆汽车给乙队，则甲车队有汽车（56-x）辆，乙车队有汽车（32+x）辆， 由题意得，56-x=32+x． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，表示出抽调后两车队的汽车辆数是解题的关键． 3．某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产螺栓才能让螺栓和螺母正好配套？设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设有x名工人生产螺栓，则人生产螺母，根据一个螺栓需要两个螺母与之配套，列出一元一次方程解决问题． 【解析】设有x名工人生产螺栓，则人生产螺母，依题意得, , 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 4．某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再参加合做，直至工程竣工，若设完成此项工程甲用了x天，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得：甲完成此项工程一共用天，则乙完成此项工程共用（）天，根据甲完成的部分+乙完成的部分=整个工作量，即可列出关于的一元一次方程． 【解析】设甲完成此项工程一共用天，则乙完成此项工程共用（）天， 根据题意列方程得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键． 5．一货轮往返于上、下游两个码头，逆流而上38个小时，顺流而下需用32个小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离x的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别表示出顺流和逆流时船的速度，然后列方程即可． 【解析】解：∵逆流而上38个小时， ∴逆流时船本身的速度可以表示为千米/时， ∵顺流而下需用32个小时， ∴顺流时船本身的速度可以表示为千米/时， ∵静水的速度是不变的， ∴可列方程为． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次方程中的航行问题，解题的关键是根据题意分析出顺流和逆流时船的速度． 6．小明每天早晨在8时前赶到离家的学校上学．一天，小明以的速度从家出发去学校，后，小明爸爸发现小明的语文书落在家里，于是，立即以的速度去追赶．则小明爸爸追上小明所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】小明走的总路程与爸爸走的路程相同，根据题意列出方程即可． 【解析】解：设小明爸爸追上小明所用的时间为，则小明走的路程为，小明的爸爸走的路程为， 由题意列式得：， 解得：． 即小明爸爸追上小明所用的时间为4分钟． 故选：C 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键． 7．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安，几何日相逢? 译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲乙经过多少日相逢?设甲乙经过x日相逢，可列 方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲经过x日与乙相逢，则乙已出发（x+2）日，根据甲行驶的路程+乙行驶的路程=齐国到长安的距离（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解析】根据题意设甲乙经过x日相逢，则甲､乙分别所走路程占总路程的和，可列方程． 故选B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．某市举行的青年歌手大赛今年共有a人参加，比赛的人数比去年增加20%还多3人，设去年参赛的人数为x人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去年参赛的人数为x人，根据题意列出方程即可； 【解析】设去年参赛的人数为x人，根据 题意可列方程为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列式是解题的关键． 9．初一（1）班有学生60名，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多2人．则同时参加这两个小组的人数是（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】设同时参加这两个小组的人数为x人，根据参加这两个小组的人数与不参加这两个小组的人数之和等于60列方程即可求解，注意不能重复加同时参加这两个小组的人数． 【解析】解：设同时参加这两个小组的人数为x人， 则这两个小组都不参加的人数为人， 由题意得：， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意准确列出一元一次方程． 10．如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（    ） A．AD B．DC C．BC D．AB 【答案】C 【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，第二次相遇地点，第三次相遇地点，第四册相遇地点，找出规律，发现四次一循环即可解答． 【解析】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇； ②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在CD边的中点相遇； ③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在BC边的中点相遇； ④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AB边的中点相遇； ⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇； …… 四次一个循环，因为，所以它们第2019次相遇在边BC中点上． 故选择C． 【点睛】本题主要考查图形行程中的相遇问题应用题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 二、填空题 11．某商品标价1650元，打八折售出，仍可获利，则该商品的成本是 元． 【答案】1200 【分析】设该商品的成本是元，根据题意列出方程并求解即可． 【解析】解：设该商品的成本是元， 根据题意，可得， 解得（元）， 即该商品的成本是1200元． 故答案为：1200． 【点睛】本题主要考查了折扣问题以及一元一次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题关键． 12．为响应国家号召，某单位组织所有员工分x组去接种新冠疫苗加强针．若每组50人，则只有一组缺15人；若每组45人，则余下10人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据人数不变即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【解析】解：根据题意，可列方程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次方程． 13．已知，a和b是两个相邻的自然数，则a是 ，b是 ． 【答案】 【分析】根据得到，即可得到，求解联立求解即可得到答案； 【解析】解：∵， ∴， ∵a和b是两个相邻的自然数， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答空1答案为：，答空2答案为：； 【点睛】本题考查一元一次方程组解决实际用用问题，解题的关键是根据题意得到等量关系式． 14．一个长方体水池，从里面测得其长、宽、高分别为，和，池中水面高为，若放入一个棱长为的正方体铁块，则此时池中水面的高为 m． 【答案】 【分析】由题意可知：设放入正方体铁块后水面高为h米，水的体积与正方体铁块在水中的体积之和等于，据此列方程解答即可． 【解析】解：设放入正方体铁块后水面高为h米， 由题意得：， 解得：， 则此时池中水面的高为米， 故答案为：． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键． 15．仓库里有大小箱子共150个，小箱子6个一吨，大箱子4个一吨，现在要用一辆卡车运走这些箱子，如果先装大箱子，大箱子装完后恰好可装60个小箱子，如果先装小箱子，小箱子装完后恰好可以装60个大箱子，那么有大箱子 个，小箱子 个． 【答案】 72 78 【分析】设大箱子x个，小箱子个，根据题意列出方程求解即可． 【解析】设大箱子x个，小箱子个， ∴大箱子的重量为吨，小箱子的重量为吨， 根据题意可得， 解得 ∴大箱子72个，小箱子78个． 故答案为：72，78． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 16．甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线前往相距的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快，甲先到达地后，立即沿相同路线从B地返回地，在途中遇到乙，这时距他们出发已过了，则甲、乙两人的速度分别为 ． 【答案】 【分析】设乙的速度为，则甲的速度为，根据题意，列出一元一次方程，求解即可． 【解析】解：设乙的速度为，则甲的速度为． 根据题意，得， 解得． 则． 即甲的速度为，乙的速度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意的能力，关键是知道到相遇时他们共走了米，然后根据路程＝速度×时间，以路程作为等量关系列方程求解． 17．某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则安排 名工人加工大齿轮，才能刚好配套． 【答案】18 【分析】首先设每天加工大齿轮的有x人，则每天加工小齿轮的有人，再利用3个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套得出等式求出答案． 【解析】解：设每天加工的大齿轮的有x人，则每天加工小齿轮的有人， 根据题意可得；， 解得：， 故答案为：18． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用3个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套进而得出等式是解题关键． 18．幻方是一个古老的数学问题，在下图所示的幻方中，每一横行、每一竖列及每条对角线上的数字之和都相等，则的值为 ． 1 9 【答案】4 【分析】根据题意，可得，求出的值，再代入代数式求值即可． 【解析】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是根据题意，列出方程，求出的值． 三、解答题 19．修路队修一条路，第一天修了全长的，如果再修米就完成了总工程的一半，这条路一共长多少米？ 【答案】 【分析】设这条路一共长为，题目中存在等量关系：路长的路长的一半，据此可得到关于的一元一次方程，求解即可得到答案． 【解析】设这条路一共长为． 根据题意，得 ． 解得 ． 答：这条路一共长为． 【点睛】本题主要考查实际问题与一元一次方程，能用含有未知数的式子表示出题目中的等量关系是解题的关键． 20．一桶油，第一次倒出这桶油的，第二次倒出这桶油的，还剩下35千克，这桶油重多少千克？ 【答案】56千克 【分析】设这桶油重x千克，根据题干条件列出方程，解之即可． 【解析】解：设这桶油重x千克， 根据题意得， ∴， ∴， ∴， 答：这桶油重56千克． 【点睛】此题考查列一元一次方程解应用题、解一元一次方程等知识，理解两次倒出油的重量与剩余油的重量之和等于这桶油的重量是解题的关键． 21．列方程解应用题． 某家具厂有名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？ 【答案】有名工人加工桌面，名工人加工桌腿 【分析】设有名工人加工桌面，根据题意可得加工桌腿的有名，再根据工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿，可列方程求解． 【解析】解：设有名工人加工桌面，则加工桌腿的有名，根据题意得， ， 解得：，， 答：有名工人加工桌面，名工人加工桌腿． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系列出方程是本题的关键． 22．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多首，总字数却反而少了个字．问两种诗各多少首？ 【答案】五言绝句有首，七言绝句有首 【分析】设七言绝句首，则五言绝句为首，根据五言绝句的字数比七言绝句的字数少20个字列出方程求解即可． 【解析】解：设七言绝句首，则五言绝句为首， 根据题意可列方程：， 解得，则 答：五言绝句有首，七言绝句有首． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 23．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米． (1)求甲工程队每天掘进多少米 (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天． 【答案】(1)7米 (2)10天 【分析】（1）设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米，利用甲、乙两工程队3天共掘进26米列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量； （2）根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间即可． 【解析】（1）解：设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米， 由题意得，， 解得， 所以甲工程队每天掘进7米． （2）解：（天）； ∴甲乙两个工程队还需联合工作10天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题关键． 24．如图为年月的日历：    (1)在日历上任意框出一个竖列上相邻的3个数： ①若框出的3个数中最小的数是9，则这3个数中最大的数是______； ②若框出的3个数的和为，则这3个数在星期几？ (2)在日历上用一个“十”字（如图中阴影部分）任意框出其中的5个数，设框出的5个数最中间的数为b，若这5个数的和为，求的值． 【答案】(1)①；②星期六 (2) 【分析】（1）①根据同列数字间差值为7，即可作答； ②列一元一次方程计算即可； （2）根据（1）方法，找到数据间关系列一元一次方程即可求解； 【解析】（1）解：①因为日历上任意框出一个竖列上相邻的3个数，且框出的3个数中最小的数是9， 那么这3个数中最大的数是； ②设框出的3个数中最小的数是， 依题意得：， 解得， 由日历可知，则这3个数在星期六； （2）解：因为框出的5个数最中间的数为b，若这5个数的和为， 那么， 解得， 则． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，涉及日历问题，解题的关键是找出日历里数据间关系列出等价式子． 25．某超市购进甲、乙两种型号的节能灯共700只，购进700只节能灯的进货款恰好为20000元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型号 20 25 乙型号 35 40 (1)求该超市购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)若按预售价将甲、乙两种型号的节能灯全部售完，该超市可获得多少元的利润？ (3)在实际销售过程中，超市按预售价将购进的甲型号节能灯全部售出，购进的乙型号节能灯部分售出后，决定将乙型号节能灯打九折销售，全部售完后，两种节能灯共获得利润3100元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？ 【答案】(1)购进甲型号的节能灯300只，购进乙型号的节能灯400只 (2)3500元 (3)300只 【分析】（1）设该超市购进甲型号的节能灯x只，则购进乙型号的节能灯只，根据购进700只节能灯的进货款恰好为20000元，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可； （3）设乙型号节能灯按预售价售出了y只，根据购进的乙型号节能灯部分售出后，决定将乙型号节能灯打九折销售，全部售完后，两种节能灯共获得利润3100元，列出方程，解方程即可． 【解析】（1）解：设该超市购进甲型号的节能灯x只，则购进乙型号的节能灯只， 由题意，得， 解得， 所以（只）． 答：该超市购进甲型号的节能灯300只，购进乙型号的节能灯400只． （2）解：（元）． 答：若按预售价将甲、乙两种型号的节能灯全部售完，该超市可获得3500元的利润． （3）解：设乙型号节能灯按预售价售出了y只， 由题意，得，解得． 答：乙型号节能灯按预售价售出了300只． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． 26．请阅读下列材料，并解答相应的问题：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． 4 9 2 6 7 2 6 1 8 3 5 7 1 5 9 7 5 3 8 1 6 8 3 4 2 9 4 图1 图2 图3 图4 2 a b c y 8 10 5 x d e f 2 4 g h i (1)请你将下列九个数：、、、、、0、2、4、6，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，的值为 ； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用表示为 ；进而可得该幻方中9个数的和可用表示为 ；之间的数量关系为 ； (4)图4的三阶幻方中，的值为 ． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)，， (4)21 【分析】（1）根据题意，由幻方规则求解即可得到答案； （2）根据幻方规则列方程求解即可得到答案； （3）根据幻方规则列方程组求解即可得到答案； （4）根据幻方规则列方程求解即可得到答案． 【解析】（1）解：根据题意，三阶幻方如图所示：（答案不唯一） 2 0 6 4 （2）解：设表格第一列中间数为，如下表格： 2 5 4 ，即，解得， 故答案为：1； （3）解：如下表格： a b c d e f g h i 设该幻方的幻和为， ，则 ， ； ； ， ，则， ， ， ； 故答案为：，，； （4）解：如下表格： 8 10 2 根据幻方规则，该幻方幻和为，则第一列第三个数为，第二列中间的数为， 由（3）中可知幻和为中间数的3倍，即，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查幻方，涉及列方程与解方程，读懂题意，明白幻和定义及求法是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 一元一次方程的应用 （十四大题型） 学习目标 1、知道解一元一次方程的应用的一般步骤； 2、掌握常见列方程解应用题的几种类型。 一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 二、常见列方程解应用题的几种类型 1．和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第1， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第2， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 【即学即练1】某人骑自行车从地到地，若每小时骑16千米比每小时骑12千米要少用30分钟，若设两地相距千米，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，可成为一个正方形，设长方形的长为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【即学即练3】把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】甲、乙两数的和是，甲数的小数点向左移动一位正好等于乙数，则甲数是 【即学即练5】我国古代名著《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 题型1：行程问题 【典例1】．一列火车正在匀速行驶，它先用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用的时间通过了长的隧道，则这列火车的长度为 ． 【典例2】．小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m．如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑， 秒后两人相遇． 【典例3】．一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需4小时，顺水航行需3小时，水速是5千米/时，则轮船在静水中的速度是 千米/时． 【典例4】．船在静水中的速度为50千米/时，水流速度为10千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了12小时（中途不停留），则甲、乙两码头的距离为 千米． 题型2：配套问题 【典例5】．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则有 名工人生产螺钉． 【典例6】．如图，学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则需要安排生产桌面的人数为 人． 【典例7】．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，设分配x名工人生产螺母，根据题意可列方程 ． 题型3：工程问题 【典例8】．某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【典例9】．一项工作，甲单独做8小时完成，乙单独做6小时完成，现在由甲单独做2小时，剩下的由甲、乙合作，还需几小时完成？若设剩下的工作还需小时完成，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例10】．某工厂生产某种零件，原计划每天生产个，则刚好能在规定时间完成任务，但实际每天比原计划多生产个零件，结果提前天完成任务，并多生产了个零件．设该工厂的任务是生产个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型4：销售盈亏问题 【典例11】．超市以390元卖出两台进价不同的复读机，一台盈利，另一台亏本，在这次买卖中超市（   ） A．不亏不盈 B．亏了元 C．盈了38元 D．盈了15元 【典例12】．商场销售某品牌冰箱，若按标价的8折销售，每台仍获利200元，其利润率为，则每台的标价为（    ） A．275元 B．1100元 C．2750元 D．11000元 【典例13】．一双鞋子，如果卖169元可赚；如果卖104元，就要亏（　　） A． B． C． D． 题型5：比赛积分问题 【典例14】．在一次猜谜比赛上，每人答30道题，答对1题得20分，答错一题扣10分，小聪共得了120分，则小聪答对了 道题，答错了 道题． 【典例15】．小明和甲、乙、丙、丁四个同学一起参加象棋比赛，每两人都要比赛一场．到现在为止，小明已经比赛了4场，甲赛了3场，乙赛了2场，丁赛了1场，那么丙赛了( )场． 【典例16】．某磁性飞镖游戏的靶盘，珍珍玩了一局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如右表：若珍珍投中区次，区3次，其余全部脱靶，本局得分19分，则的值为 ． 投中位置 区 区 脱靶 一次计分（分） 3 1 题型6：数字问题 【典例17】．若一个两位数，个位与十位上的数字之和是7，其中十位上的数字比个位上的数字的3倍少1，则这个两位数是 ． 【典例18】．若三个数之比为，且这三个数之和为90，则这三个数分别是 ． 【典例19】．一个两位数，十位上数字是个位上数字的2倍，交换个位数字与十位数字后所得的新两位数比原两位数小18，求原来的这个两位数． 题型7：几何问题 【典例20】．一个长方形的周长是84厘米，长与宽的比是4:3，这个长方形的面积是多少？ 【典例21】．如图，小10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长为x厘米，则依题意列方程是 【典例22】．如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 题型8：和差倍分问题 【典例23】．甲、乙两人身上带的钱数之比是，甲给乙5元后，变成．那么，甲、乙两人共有 钱元． 【典例24】．小明和爸爸、妈妈的年龄加起来是79岁，已知爸爸的年龄是小明的4倍，妈妈的年龄比爸爸小2岁，那么小明今年 岁． 【典例25】．某班数学兴趣小组的女生人数是全组人数的一半，如果增加2名女生，那么女生人数是全组人数的，设该小组原来女生人数是x人，则可列方程 ． 题型9：比例问题 【典例26】．张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 【典例27】．甲煤场有煤432吨，乙煤场有煤96吨，现从别的煤场调煤240吨，要使甲煤场的存煤数是乙煤场的存煤数的2倍，设调配到甲煤厂x吨，依题意，列出的方程是 【典例28】．为控制“新冠”疫情，绵阳东辰学校准备配制某种消毒液，现有浓度为，，的甲、乙、丙三种消毒液分别为，，，现要配制浓度为的消毒液，设甲种消毒液用千克，则的取值范围是 ． 题型10：日历问题 【典例29】．如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 【典例30】．你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是2023年3月的月历． (1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 【典例31】．如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． 题型11：古代问题 【典例32】．我国民间流传着这样的一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两多7两；每人半斤少半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：古代1斤=16两） 【典例33】．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？ 【典例34】．我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 题型12：电费、水费问题 【典例35】．自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过，按元收费，超过的部分按元收费，王老师家月份平均水费为元，王老师家月份用水多少立方米？ 【典例36】．国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的部分的纳税；超过4000元的按全部稿费的纳税．现某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？ 【典例37】．某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 题型13：方案选择问题 【典例38】．某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12元：设共印刷调查问卷x份． (1)按甲种方式应收费 元，按乙种方式应收费 元；（用含x的代数式表示） (2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？ 【典例39】．2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【典例40】．为庆祝“六一”儿前节，某片区甲、乙两所中学组织文艺汇演，甲、乙两所学校共102人参加演出（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够100人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至50套 51套至100套 100套以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 如果两校分别单独购买服装，一共应付元． (1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？ (3)如果甲校有12名同学因参加数学竞赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱且合理的购买服装方案． 题型14：数轴问题、其他问题 【典例41】．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据如图所示的程序进行计算，若输出的值为5，求输入x的值． 【典例42】．如图，数轴上有，两条线段（在右侧），点到点的距离与点到点的距离之差为3，，数轴上点，表示的数分别是，12．    (1)________，______． (2)点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴一直向右运动，同时点从点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，运动时间为秒．（运动过程中点始终在点右侧，点在点右侧，线段，长度不变） ①当点运动到原点的左侧，且到原点的距离为2时，求线段的长度． ②当线段与重合部分的线段长为1时，求的值． 【典例43】．阅读理解： 若为数轴上三点，若点到的距离是点到的距离倍，我们就称点是【，】的妙点． 例如，如图，点所表示的数为，点所表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的妙点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的妙点，但点是【，】的妙点． 知识运用： (1)如图，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． ①在点和点中间，数______所表示的点是【】的妙点； ②在数轴上，数_______和数______所表示的点都是【】的妙点； (2)如图，、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为，现有一点从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止运动．当为何值时，、和中恰有一个点为其余两点的妙点？ 一、单选题 1．某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产60件．设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程（ ） A． B． C． D． 2．甲车队有汽车56辆，乙车队有汽车32辆，要使两车队汽车一样多，设由甲队调出x辆汽车给乙队，则可得方程（    ） A． B． C． D． 3．某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产螺栓才能让螺栓和螺母正好配套？设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程应为（    ） A． B． C． D． 4．某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再参加合做，直至工程竣工，若设完成此项工程甲用了x天，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．一货轮往返于上、下游两个码头，逆流而上38个小时，顺流而下需用32个小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离x的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．小明每天早晨在8时前赶到离家的学校上学．一天，小明以的速度从家出发去学校，后，小明爸爸发现小明的语文书落在家里，于是，立即以的速度去追赶．则小明爸爸追上小明所用的时间为（    ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安，几何日相逢? 译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲乙经过多少日相逢?设甲乙经过x日相逢，可列 方程（    ） A． B． C． D． 8．某市举行的青年歌手大赛今年共有a人参加，比赛的人数比去年增加20%还多3人，设去年参赛的人数为x人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．初一（1）班有学生60名，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多2人．则同时参加这两个小组的人数是（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 10．如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（    ） A．AD B．DC C．BC D．AB 二、填空题 11．某商品标价1650元，打八折售出，仍可获利，则该商品的成本是 元． 12．为响应国家号召，某单位组织所有员工分x组去接种新冠疫苗加强针．若每组50人，则只有一组缺15人；若每组45人，则余下10人，根据题意，可列方程为 ． 13．已知，a和b是两个相邻的自然数，则a是 ，b是 ． 14．一个长方体水池，从里面测得其长、宽、高分别为，和，池中水面高为，若放入一个棱长为的正方体铁块，则此时池中水面的高为 m． 15．仓库里有大小箱子共150个，小箱子6个一吨，大箱子4个一吨，现在要用一辆卡车运走这些箱子，如果先装大箱子，大箱子装完后恰好可装60个小箱子，如果先装小箱子，小箱子装完后恰好可以装60个大箱子，那么有大箱子 个，小箱子 个． 16．甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线前往相距的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快，甲先到达地后，立即沿相同路线从B地返回地，在途中遇到乙，这时距他们出发已过了，则甲、乙两人的速度分别为 ． 17．某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则安排 名工人加工大齿轮，才能刚好配套． 18．幻方是一个古老的数学问题，在下图所示的幻方中，每一横行、每一竖列及每条对角线上的数字之和都相等，则的值为 ． 1 9 三、解答题 19．修路队修一条路，第一天修了全长的，如果再修米就完成了总工程的一半，这条路一共长多少米？ 20．一桶油，第一次倒出这桶油的，第二次倒出这桶油的，还剩下35千克，这桶油重多少千克？ 21．列方程解应用题． 某家具厂有名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？ 22．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多首，总字数却反而少了个字．问两种诗各多少首？ 23．为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米． (1)求甲工程队每天掘进多少米 (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天． 24．如图为年月的日历：    (1)在日历上任意框出一个竖列上相邻的3个数： ①若框出的3个数中最小的数是9，则这3个数中最大的数是______； ②若框出的3个数的和为，则这3个数在星期几？ (2)在日历上用一个“十”字（如图中阴影部分）任意框出其中的5个数，设框出的5个数最中间的数为b，若这5个数的和为，求的值． 25．某超市购进甲、乙两种型号的节能灯共700只，购进700只节能灯的进货款恰好为20000元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型号 20 25 乙型号 35 40 (1)求该超市购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)若按预售价将甲、乙两种型号的节能灯全部售完，该超市可获得多少元的利润？ (3)在实际销售过程中，超市按预售价将购进的甲型号节能灯全部售出，购进的乙型号节能灯部分售出后，决定将乙型号节能灯打九折销售，全部售完后，两种节能灯共获得利润3100元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？ 26．请阅读下列材料，并解答相应的问题：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． 4 9 2 6 7 2 6 1 8 3 5 7 1 5 9 7 5 3 8 1 6 8 3 4 2 9 4 图1 图2 图3 图4 2 a b c y 8 10 5 x d e f 2 4 g h i (1)请你将下列九个数：、、、、、0、2、4、6，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，的值为 ； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用表示为 ；进而可得该幻方中9个数的和可用表示为 ；之间的数量关系为 ； (4)图4的三阶幻方中，的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$