精品解析：福建省福州市闽侯县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024—2025学年闽侯一中第一学期第一次月考 高中二年数学科试卷 命题教师：张平 审核教师：张丹红 考试日期：10月8日完卷时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 空间向量在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 6. 如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　） A. B. C. D. 7. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 平面内存在与平行的直线 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线的斜率，且过点，则直线经过点（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存点P，使平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D. 若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 11. 已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C. 已知，，则 D. 已知，，，则三棱锥表面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为_____________. 13. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为____________. 14. 已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点． （1）求点D到平面PEF的距离； （2）求直线AC到平面PEF的距离． 16. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面分别为的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图所示，三棱锥中，已知平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， （1）对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； （2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； （3）证明：对于中的任意两个元素，均有， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年闽侯一中第一学期第一次月考 高中二年数学科试卷 命题教师：张平 审核教师：张丹红 考试日期：10月8日完卷时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算即可. 【详解】由题意可得. 故选：D. 2. 已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答. 【详解】当直线的倾斜角时，直线的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线的斜率k的取值范围是. 故选：D 3. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 4. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得. 【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 5. 若向量，且与的夹角的余弦值为，则（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式的坐标形式，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 6. 如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 7. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 8. 如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 平面内存在与平行的直线 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若直线的斜率，且过点，则直线经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式一一验证各选项，可得答案. 【详解】直线的斜率，且过点， 对于A,计算，故A错误； 对于B,计算，故B正确； 对于C,计算，故C正确； 对于D,计算，故D错误； 故选：BC 10. 如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D. 若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积，可判断选项B，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据线面平行的向量表示和垂直得向量数量积为列式，从而判断选项B，C，利用线面垂直的判定定理得平面，再证明四点共面，从而得平面，再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断选项D. 【详解】对于B，由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，B正确； 对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 若平面，则， 所以，即表示线段， 则当点在线段时，平面， 所以存在点，使得平面，A正确； 对于C，，若， ，即， 所以点的轨迹就是线段， 轨迹长为，C正确； 对于D，如图取中点，连接， 由题可得，平面， 连接，因为，平面， 则，，又， 平面，则平面， 又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面， 又由两平面平行性质可知，，，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为，则， 故截面面积为，D错误. 故选：ABC 11. 已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C. 已知，，则 D. 已知，，，则三棱锥的表面积 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知，借组图形，利用向量的线性运算以及数量积运算进行求解. 详解】对于A，， 因为，且，所以，故A错误； 对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上， 由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确； 对于C，根据“仿射”坐标的定义可得， ，故C正确； 对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算即可. 【详解】，点到直线l的距离为. 故答案为：. 13. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由，平方转化为向量的数量积运算． 【详解】由已知，，,， 所以 ， 所以, 故答案为： 14. 已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是______________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】，故，， 不妨令，则，又，故点共面， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据，转化为，再根据四点共面的向量表示，从而确定的位置，进而求得体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点． （1）求点D到平面PEF的距离； （2）求直线AC到平面PEF的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可求解； （2）结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 小问1详解】 ，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设为面PEF的法向量，， 令，则，，，， 设点D到平面PEF的距离为d，则． 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 16. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】（1）斜率为1，倾斜角为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【小问1详解】 解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； 【小问2详解】 解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面分别为的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面平行； （2）利用向量法计算直线与平面所成角的正弦值； 【小问1详解】 证明：连接，设与相交于点，因为， ，所以为平行四边形，即为的中点． 连接，因为为中点，所以． 因为平面平面，所以平面． 【小问2详解】 因为，所以．因为平面平面，平面平面平面，所以平面． 取的中点，连接．因为是等腰梯形，所以． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则 令，则，可得． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在；是上靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置； 【小问1详解】 过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面． 【小问2详解】 假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为， 以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 即取，，， 所以为平面的一个法向量， 因为在线段上（不含端点），所以可设，， 所以， 设平面的一个法向量为， 即， 取，，， 所以为平面的一个法向量， ，又， 由已知可得 解得或（舍去）， 所以，存在点，使得二面角的余弦值为， 此时是上靠近的三等分点． 19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， （1）对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； （2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； （3）证明：对于中的任意两个元素，均有， 【答案】（1）①线性相关，②线性相关 （2）线性无关，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（2）利用维空间向量线性相关的定义进行列式判断即可得解； （3）利用维空间向量的数量积与模的公式，结合完全平方公式即可得证. 【小问1详解】 对于①，假设与线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，即， 可取，所以线性相关， 对于②，假设线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，得， 可取，所以线性相关. 【小问2详解】 假设线性相关， 则存在不全为零的实数， 使得， 则， 因为线性无关， 所以，得，矛盾， 所以向量线性无关. 【小问3详解】 设， 则， 所以， 又， 所以 ， 当且仅当同时成立时，等号成立， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用类比法，类比平面向量到维空间向量，利用平面向量的性质与结论列式推理，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $