精品解析：湖北省黄冈市浠水县第二实验初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

浠水县第二实验初级中学第一次月考九年级数学试题 （考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1. 若是关于x的一元二次方程，则（　　） A. B. C. D. 且 2. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 3. 下列函数中是二次函数的有（ ） ①；②；③；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的两边的长是方程两个根，则此三角形的周长是（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 以上都不对 6. 要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象，需将y=-x2的图象（ ） A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 7. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 8. 已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、 B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是 A. ＞ B. C. ＜ D. 不能确定 9. 如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的八分之一，则路宽x应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值为_________． 12. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 13. 已知是一元二次方程的两根，则____________． 14. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________． 15. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数的图象的顶点坐标，且过点． （1）求二次函数解析式． （2）当x为何值时，函数值y随x的增大而增大？ 18. 如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D． （1）求此二次函数的解析式． （2）求点D的坐标及△ABD的面积． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程有一个根为，求a的值及该方程的另一个根； 20. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 21. 某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个：现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元．已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个． （1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率； （2）求3月份时该玩具每个的销售价格． 22. 某校团委开展校园防欺凌教育活动，开展活动前，全校七、八、九年级随机抽取了50名学生进行校园防欺凌的相关知识测试，测试题有10道，每题1分，测试成绩绘制成表1．在教育活动开展后，再次从全校七、八、九年级随机抽取若干名学生进行相关知识测试，测试题数和分值不变，测试成绩绘制成不完整的统计图如图1和图2．设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 表1 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数/人 6 8 10 10 12 4 表2 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 开展活动前 a 7 32% 开展活动后 9 b 根据统计图表中的数据，解答下列问题： （1）______，______，______，补全图2中的条形统计图； （2）若该学校七、八、九年级共有1500名学生，在开展校园防欺凌教育活动后，请你估算对防欺凌相关知识掌握合格的学生数； （3）请你从一个角度分析本次校园防欺凌教育活动的效果． 23. 如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连． （1）若点E为的中点，求证：F点为的中点； （2）若点E为的中点，，，求的长； （3）若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 24. 如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴． （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浠水县第二实验初级中学第一次月考九年级数学试题 （考试时间：120分钟，试卷满分：120分） 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1. 若是关于x的一元二次方程，则（　　） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数． 【详解】解答： 由题意得：a−1≠0， 解得a≠1. 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，特别要注意a−1≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 3. 下列函数中是二次函数的有（ ） ①；②；③；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答． 【详解】①，是二次函数； ②，分母中含有字母，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数. 则二次函数共2个， 故选：B 4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 5. 等腰三角形的两边的长是方程两个根，则此三角形的周长是（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，先求得方程的解，再根据等腰三角形的定义分两种情况分别求解即可．解答的关键是分类讨论，防止漏解． 【详解】解：解方程得，， 由题意，当等腰三角形的腰长为2时，则三边长为2，2，3，满足，能构成三角形， 故此三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长为3时，则三边长为2，3，3，满足，能构成三角形， 故此三角形的周长为， 综上，此三角形的周长是7或8， 故选：C． 6. 要得到二次函数y=-x2+2x-2的图象，需将y=-x2的图象（ ） A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点坐标的变化可以确定选项. 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为（0，0），y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1,所以新抛物线的顶点坐标为（1，-1）， ∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟记平移规律和顶点坐标是解题关键. 7. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：D． 8. 已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、 B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是 A. ＞ B. C. ＜ D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】∵抛物线与x轴交于A（-2，0）、O（0，0）两点， ∴抛物线对称轴为x==-1， ∵B（-3，y1）、C（3，y2），点B离对称轴较近，且抛物线开口向下， ∴y1＞y2． 故选A 9. 如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的八分之一，则路宽x应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和图形中的数据可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设路宽为xm， 由题意得，（40-2x）（70-3x）=40×70×（1-）． 即（40-2x）（70-3x）=2450． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 10. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】直接将代入方程中即可得出答案． 【详解】解：将代入方程中得，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程解的概念，熟知一元一次方程的解即为能使方程成立的一元一次方程的解是解本题的关键． 12. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据该方程是一元二次方程可知，根据方程有两个不相等的实数根可知，列出不等式，求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 即的取值范围为且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是牢记：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 13. 已知是一元二次方程的两根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再化简分式，原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是一元二次方程的两根 根据求根公式得，， 化简分式得： 原式， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，根据求根公式可得，，正确找到两根的关系是解题的关键． 14. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________． 【答案】3.75 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可． 【详解】解：∵的对称轴为（min）， 故：最佳加工时间为3.75min， 故答案为：3.75． 【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键． 15. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到AB=AC，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB的最小时，即AC的值最小． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=90° ∴AC= ∴AB=AC， ∵y=x2-4x+6 =（x-2）2+2， ∴当x=2时，AC有最小值2， 即正方形的边长AB的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先移项，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， ∴，， 解得：，． 17. 已知二次函数的图象的顶点坐标，且过点． （1）求二次函数解析式． （2）当x为何值时，函数值y随x的增大而增大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，正确求出函数解析式是解答的关键． （1）将顶点坐标和已知点的坐标代入求解即可； （2）求得该函数图象的开口方向和对称轴，利用二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象的顶点坐标，且过点， ∴，将点代入，得， 解得， ∴该二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由得，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值y随x的增大而增大． 18. 如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D． （1）求此二次函数的解析式． （2）求点D的坐标及△ABD的面积． 【答案】（1） ；（2） ，8 【解析】 【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点，代入y＝x2+bx+c，即可求解； （2）将二次函数的解析式化为顶点式，可得到点 ，然后利用三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴ ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为 ； （2）由（1），得：， ∴点 ， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和图象是解题的关键． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程有一个根为，求a的值及该方程的另一个根； 【答案】（1） 证明：， ∵， ∴， ∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）a的值为，该方程的另一个根为3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程的解、解一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）先求得，然后根据时，一元二次方程有两个不相等的实数根可得结论； （2）先将根据题意，将代入方程中求得，则方程为，然后解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，将代入方程中，得， 解得， ∴方程为，即， 解得，， 即a的值为，该方程的另一个根为3． 20. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； 【小问3详解】 ， 当时，有最大值． 21. 某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个：现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元．已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个． （1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率； （2）求3月份时该玩具每个的销售价格． 【答案】（1） （2）32元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据1月份销售额3月份销售额列方程求解即可； 【小问1详解】 解：设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：1月份到3月份销售额的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：3月份时该玩具每个的销售价格为y元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵出厂价为每个30元， ∴， 答：3月份时该玩具每个的销售价格为32元． 22. 某校团委开展校园防欺凌教育活动，开展活动前，全校七、八、九年级随机抽取了50名学生进行校园防欺凌的相关知识测试，测试题有10道，每题1分，测试成绩绘制成表1．在教育活动开展后，再次从全校七、八、九年级随机抽取若干名学生进行相关知识测试，测试题数和分值不变，测试成绩绘制成不完整的统计图如图1和图2．设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 表1 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数/人 6 8 10 10 12 4 表2 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 开展活动前 a 7 32% 开展活动后 9 b 根据统计图表中的数据，解答下列问题： （1）______，______，______，补全图2中的条形统计图； （2）若该学校七、八、九年级共有1500名学生，在开展校园防欺凌教育活动后，请你估算对防欺凌相关知识掌握合格的学生数； （3）请你从一个角度分析本次校园防欺凌教育活动的效果． 【答案】（1）8，，78， 补全的条形统计图如图所示： （2）1170名 （3） 本次校园防欺凌教育活动的效果良好，理由如下： 开展校园防欺凌教育活动后，学生测试成绩的平均数，中位数以及合格率比开展活动前高得多，所以本次校园防欺凌教育活动的效果良好． 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体，理解统计图的信息是解本题的关键； （1）由众数与中位数的含义求解众数与中位数，利用合格人数除以总人数可得合格率，再补全统计图即可； （2）由总人数乘以合格率即可； （3）比较活动后与活动前的平均数，中位数，合格率即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵开展活动前8 分的人数最多， ∴众数是分， ∵开展活动后，参加的人数为（人） ， ∴获得9分的人数有（人）， ∴获得分的有：（人）， ∴第25个，26个数据为分，分， ∴中位数为（分）， ∴合格率为：； 【小问2详解】 （名）． 答：在开展校园防欺凌教育活动后，对防欺凌相关知识掌握合格的学生约有1170名． 【小问3详解】 略 23. 如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连． （1）若点E为的中点，求证：F点为的中点； （2）若点E为的中点，，，求的长； （3）若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 【答案】（1） 证明：如图1中，     四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点为的中点； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，由，，推出，即可证明点为的中点； （2）延长到，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题． （3）取的中点，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当、、共线时，的值最小，则可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长到，使得，连接， ， ， 又，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【小问3详解】 取的中点，连接，， ， ， ， 、、共线时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 24. 如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴． （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）P（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式； （2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴； （3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可． 试题解析：（1）∵抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得：，即此抛物线的解析式是； （2）∵=，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1； （3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论： ①当PA=PD时=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）； ②当DA=DP时，=，解得，y=，即点P的坐标为（1，）或（1，）； ③当AD=AP时，=，解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意． 由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）． 考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $