精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题

2024—2025学年度第一学期高三第二次月考试题 数学 时量：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ） A. B. 1 C. D. 5 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正数x，y满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是1 C. 的最小值是1 D. 的最大值是 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数图象向右平移个单位后得到函数的图像 D. 函数在区间上是减函数 11. 对于已知函数，下列论述正确的有（ ） A. 若，则函数的单调递减区间为 B. 若函数在区间上是增函数，则 C. 当，时，函数的图像的对称轴为 D. 当，时，函数的图像的对称中心为 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分） 12. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则__________． 13. 如图是某个函数的图象在的一段图像．写出函数在时满足图象的一个解析式__________（写出一个即可）． 14. 设（其中，为任意角），则求下列： （1）当时，且时，的取值范围为__________； （2）当时，且时，的取值范围为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．） 15. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 （1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? （2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若把的图像先向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，则当时，求使得时所有x的取值． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C； （2）若，边上的中线长为，求的面积S． 18. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 19. 已知函数， （1）若，时，求的极值； （2）若时， ①证明：有唯一零点a，且； ②若我们任取开始，实施如下步骤：在处作曲线的切线，交x轴于点；在处作曲线的切线，交x轴于点；……．在处作曲线的切线，交x轴于点；可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值．设，求的解析式（用表示）；并证明：当，总有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高三第二次月考试题 数学 时量：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用并集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得或，则或，而， 所以. 故选：D 2. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可. 【详解】由， 得， 所以. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合余弦函数的性质，以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，故充分性成立， 当时，，，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将代入分段函数的解析式计算即可. 【详解】， 又， 所以. 故选：C. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数，对数函数、余弦函数的性质比较大小即可. 【详解】由， ， ，由于， 所以， 所以. 故选：D. 6. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化问题为函数与有3个交点，进而结合图象求解即可. 【详解】由题意，函数有三个不同的零点， 即方程有3个解， 即函数与有3个交点， 画出函数的大致图象： 由图可知，要使函数与有3个交点， 则， 所以实数b的取值范围为. 故选：D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 8. 挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据分针与时针的特点求解即可. 【详解】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时， 根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内， 因此从1时开始，1时到2时之间重合一次，2时到3时之间重合一次 10时到11时之间重合一次，11时到13时之间重合一次（12时），13时到14时之间重合一次. 每个小时分针与时针会重合1次， 所以一共会重合12次. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正数x，y满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是1 C. 的最小值是1 D. 的最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】由题知，，， 对于A，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是2，故A错误； 对于B，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是1，故B正确； 对于C，由，得，即， 所以， 所以当时，取得最小值是2，故C错误； 对于D，由C知，，， 所以， 所以当时，取得最大值是，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数图象向右平移个单位后得到函数的图像 D. 函数在区间上是减函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数性质及图象变换判断各选项． 【详解】由图可知，，且， 则，即，故A错误， 此时， 由五点作图法可知，，所以， 所以， 由， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确. 函数图象向右平移个单位后， 得 ，故C正确. 当时，， 由正弦函数的图象与性质可知，函数在上单调递减， 因此函数在区间上是减函数，故D正确. 故选：BCD. 11. 对于已知函数，下列论述正确的有（ ） A. 若，则函数的单调递减区间为 B. 若函数在区间上是增函数，则 C. 当，时，函数的图像的对称轴为 D. 当，时，函数的图像的对称中心为 【答案】AD 【解析】 【分析】先求导函数再根据单调性分别判断A，B，再应用单调递增不能有对称轴判断C，根据得出对称中心判断D. 【详解】函数，， 对于A：， 令，可得，所以的单调递减区间为，A选项正确； 对于B：若函数在区间上是增函数， 所以恒成立， 当，所以，B选项错误； 对于C：当，时，函数， 所以单调递增，不可能有对称轴，C选项错误； 对于D：当，时，， 又因为 ， 所以函数的图像关于对称，D正确. 故选：AD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分） 12. 函数是定义在R上的奇函数，当时，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 当时，，则， 所以. 故答案为：. 13. 如图是某个函数的图象在的一段图像．写出函数在时满足图象的一个解析式__________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】结合图象的大致特征求解即可. 【详解】结合图象，函数的图象符合题意， 由图象可知函数经过， 因此，即， 此时函数的解析式为. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 设（其中，为任意角），则求下列： （1）当时，且时，的取值范围为__________； （2）当时，且时，的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据三角恒等变换公式化简，再结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）当时，， 由，则，所以， 即的取值范围为； 当时， ， 令，由（1）知，当时，， 所以，， 因为函数和都为增函数， 所以在上为增函数，且，， 所以， 即的取值范围为. 故答案为：（1）；（2）. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．） 15. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 （1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? （2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） 满意 不满意 总计 男游客 35 5 40 女游客 45 15 60 合计 80 20 100 （2） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据男游客与女游客的人数的比值,结合卡方计算公式进行计算求解即可； （2）根据超几何分布的性质，结合数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为调查的男游客人数为：，所以，调查的女游客人数为，于是可完成列联表如下： 满意 不满意 总计 男游客 35 5 40 女游客 45 15 60 合计 80 20 100 零假设为：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得： ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关； 【小问2详解】 由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知的可能取值为0，1，2，并且服从超几何分布，即，，. 所以的分布列为： 0 1 2 . 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若把的图像先向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，则当时，求使得时所有x的取值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）先根据平移的规则求得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期为. 令，， 即，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由题意，， 因为，所以， 由，即， 所以或或或， 即或或或， 所以. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C； （2）若，边上的中线长为，求的面积S． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先结合正弦定理和两角和的正弦公式化简题干条件得，进而求解； （2）根据余弦定理，再结合中线的向量表示，平方后，根据两等式，即可求解，并求三角形的面积. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得， 即，即， 又，即， 所以，即，即. 【小问2详解】 由余弦定理得，，即， 设的中点为，则， 两边同时平方得，， 即， 即，结合， 可得， 所以的面积为. 18. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】（1） （2） （3）证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. 【小问1详解】 由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，， 则，， 所以弦长. 【小问3详解】 略 19. 已知函数， （1）若，时，求的极值； （2）若时， ①证明：有唯一零点a，且； ②若我们任取开始，实施如下步骤：在处作曲线的切线，交x轴于点；在处作曲线的切线，交x轴于点；……．在处作曲线的切线，交x轴于点；可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值．设，求的解析式（用表示）；并证明：当，总有． 【答案】（1）的极大值为，无极小值 （2）①证明:当时，，， ，则函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的实数，使得， 即有唯一零点a，且. ②，证明如下： 由①知， 所以曲线在处的切线斜率为， 则曲线在处的切线方程为， 即， 令，则， 即切线与轴的交点坐标为， 所以， 即. 对于任意的，由于曲线在处的切线方程为， 令， 令， 所以， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即恒成立，当且仅当时等号成立， 又，且当时，， （若，则，则，显然矛盾） 因为为函数的零点， 所以， 又函数在上单调递增， 所以对于任意的时，， 又，所以对于任意的，都有， 所以，， 则， 综上所述，当，总有. 【解析】 【分析】（1）根据导数得到函数的单调性，进而根据极值的定义求解即可； （2）①根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；②由导数的几何意义即可求得，令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据，，证明，即可得证. 【小问1详解】 当，时，，， 则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 ①略； ②，证明略. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于结合切线方程，构造函数，进而结合函数的单调性证明不等式即可求证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $