精品解析：湖北省新八校协作体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题

2024年湖北省新八校协作体高三10月联考 高三数学试卷 命题学校：黄石二中 命题教师：戴丽娟 王珊 彭方芳 程欢 审题学校：武汉三中 恩施高中 考试时间：2024年10月8日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定判断即得. 【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 因此为，. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶次根下大于等于零，结合对数函数的单调性，可得集合；根据三角函数的性质可得集合，结合交集的运算可得答案. 【详解】由题意且，故，解得，故； 由得，故； 综上. 故选：D. 3. 在中，已知，是关于的方程的两个实根，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理结合两角和的正切公式求出的值，根据诱导公式得出，即可求得角的值． 【详解】由题可知，，，解得或， 由韦达定理得，，， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 故选：B． 4. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】若函数的值域为，则函数与轴有交点，列出不等式求解出的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解． 【详解】若函数的值域为，则函数与轴有交点， 所以，则或， “”是或的既不充分也不必要条件， 故选：D． 5. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的最大值为1 C. 图象的对称轴为 D. 的增区间为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出的解析式，作出的图象，结合图象逐一判断四个选项的正误即可得正确选项． 【详解】由题可知，即为和中较小者， 所以， 作出的图象，如图所示， 由图可知，是以为最小正周期的周期函数，故选项A错误； 当时，取得最大值，故B错误； 的对称轴为，故C正确； 的增区间为，故D错误； 故选：C． 6. 已知，若正实数、满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】探讨函数的奇偶性及单调性，结合已知可得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，因此在R上单调递增， 由，得，则，即， 而，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：B 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值． 【详解】因为是偶函数，所以，即①， 又因为是奇函数，所以，即②， 联立①②可得， 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：C． 8. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为当时，和当时，的解的个数问题，作出函数和的图象，结合图象和导数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意知， 要使得恰有2个零点，即有两个实数根， 当时，， 当时，， 令，当时，可得，即； 当时，，即， 在同一坐标系下，作出函数和的图象，如图所示， 由函数，可得，可得且， 所以函数在的切线方程为， 又由函数，可得，可得且， 所以函数在的切线方程为， 所以函数与只有一个公共点， 结合图象得：当时，恰有3个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，恰有1个零点， 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足，所以实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1. 直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2. 分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3. 数形结合法，利用函数与方程思想先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列不等式中，一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性及不等式的性质即可判断A；首先说明当，时，，再根据换底公式及不等式的性质即可判断B；举反例即可判断C；利用做差法即可判断D． 【详解】对于A，， 若，则无意义，故A错误； 对于B，当，时，， 所以，下面应用该性质； 当时，， ，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，即，故D正确； 故选：BD． 10. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数．当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义分析、探讨函数的性质，并判断选项ABC；作出函数的部分图象，数形结合即可判断D． 【详解】因为为奇函数，所以，即， 因为为偶函数，所以， 所以，即，则周期为， 由得，的一条对称轴为直线， 因为当时，，所以当时，， 对于A，上单调递增，所以在上单调递增，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由得，点是函数的一个对称中心，故C正确； 对于D，在同一直角坐标系中作出的图象，如图所示， 因为与有5个交点，所以方程有5个实数解，故D正确； 故选：BCD． 11. 表示不超过的最大整数，例如，，，已知函数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 设，则 D. 所有满足点组成的区域的面积和为 【答案】AD 【解析】 【分析】A，由题目信息计算，即可得答案； B，通过举特例可判断选项正误； C，利用结合题目信息可判断选项正误； D，由信息画出所在坐标系区域即可判断选项正误. 【详解】A选项，由题时，，， 则，故A正确； B选项，取，则， 故B错误； C选项，，则当时，， 则， 又，则，故C错误； D选项，由题要使，则，或，或， 或，或，所表示区域如下图阴影部分所示： 则区域面积为： ，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上单调递减，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得，求得的值，结合幂函数的单调性即可求解． 【详解】由题可知，，解得或， 当时，幂函数在上单调递增，不合题意， 当时，幂函数在上单调递减，符合题意， 故答案为：5． 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式得，通分后根据辅助角公式及二倍角公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 14. 任意一个三次多项式函数的图象都有且仅有一个中心对称点为，其中是的根，是的导数.若函数图象的中心对称点为，存在，使得成立，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知由对称中心求出解析式，化简不等式为，利用导数证明不等式（当且仅当时等号成立），然后利用不等式的性质得，即可得最小值，从而得参数范围． 【详解】，，， 又的图象的对称中心点， 所以，解得，所以， 不等式为， 因为，所以， 令，则， 当时，，递减，时，，递增， 所以，所以， 从而，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以的最小值是， 所以． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：由已知求得函数式，化简不等式为，然后利用导数求出的最小值，为此先利用导数证明不等式，然后利用不等式的性质可求得最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 （1）求并写出的表达式； （2）记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导法则以及运算，结合方程思想，可得答案； （2）根据导数求切线的方法，求得切线的斜率和方程，利用导数与切线斜率的关系，求得切点，可得答案. 【小问1详解】 由，求导可得， 由，解得，则. 【小问2详解】 ，求导可得， 由得，故在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为，化简可得， 令，解得，将其代入切线方程可得，代入得， 所以得，解得. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式，两角和与差的正弦公式，辅助角公式化简，再根据正弦函数的最小正周期公式即可求解； （2）令求得的单调增区间，结合即可求解． 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为． 【小问2详解】 令，则， 又因为，所以的单调递增区间为． 17. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将条件中的边化角，再利用三角恒等变换化简，即可求出角的大小； （2）将消元后化简为，在锐角中确定，进而求出的取值范围即可. 【小问1详解】 由得，， 由得， 即， 又，所以， 所以即， 又，所以即 【小问2详解】 由（1）知，故， 所以 ， 因为在锐角中，所以，即， 所以，所以，所以， 即的取值范围为. 18. 将一个边长为3的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒． （1）试把方盒的容积表示为的函数，多大时，方盒的容积最大? （2）若，证明：当时，． 【答案】（1），当时，方盒的容积最大为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，再根据导数求解方盒的容积的最大值即可； （2）由题得，，变换主元，由导数得出，设，根据导数求出即可证明． 【小问1详解】 由题可知，无盖方盒的棱长分别为：， 所以方盒的容积， 令， 解得或， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，有最大值． 【小问2详解】 证明：， 设，，， 则， 所以在上单调递减，所以， 设， 则，则在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增，， 所以，即． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理， 19. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. （1）讨论函数，的凹凸性； （2）在中，求证：； （3）若个正实数满足，求证：. 【答案】（1）凹函数； （2）证明见解析； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）对再求导得，由的正负得凹凸性； （2）利用凹凸性的性质证明； （3）构造新函数，确定凹凸性后，利用凹凸性证明． 【小问1详解】 ，则，， 当时，， 所以是凹函数； 【小问2详解】 由（1）知，当且仅当时等号成立； 【小问3详解】 设，则，在上恒成立，所以在上是凹函数， 个正实数满足，则， 所以， 即 ， 所以． 【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新应用能力，由题意考察函数的凹凸性，只要对函数的导函数再一次求导，然后判断这个导数的正负，得了结论.第（3）小题我们必须从要证明的不等式出发取对数后，引入新函数，然后利用它们凹凸性证明不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年湖北省新八校协作体高三10月联考 高三数学试卷 命题学校：黄石二中 命题教师：戴丽娟 王珊 彭方芳 程欢 审题学校：武汉三中 恩施高中 考试时间：2024年10月8日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，，则为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，是关于的方程的两个实根，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的最大值为1 C. 图象的对称轴为 D. 的增区间为 6. 已知，若正实数、满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列不等式中，一定成立的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数．当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 11. 表示不超过的最大整数，例如，，，已知函数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 设，则 D. 所有满足的点组成的区域的面积和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上单调递减，则的值为______． 13. 计算：________． 14. 任意一个三次多项式函数的图象都有且仅有一个中心对称点为，其中是的根，是的导数.若函数图象的中心对称点为，存在，使得成立，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知 （1）求并写出的表达式； （2）记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求的单调递增区间． 17. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角大小； （2）求的取值范围. 18. 将一个边长为3的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒． （1）试把方盒的容积表示为的函数，多大时，方盒的容积最大? （2）若，证明：当时，． 19. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. （1）讨论函数，的凹凸性； （2）在中，求证：； （3）若个正实数满足，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$