第三章《不等式》同步单元必刷卷（培优卷）-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

第三章《不等式》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 2．设，且，则必有 A． B． C． D． 3．已知，，若，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 4．我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（    ） A． B． C．7 D． 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 8．对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．如果，那么 D．若，则 10．已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 11．若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．1 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数满足，，则的取值范围为 ． 13．已知正数、满足，则的最大值是 ． 14．若关于x的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 16．设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 17．已知，，，且. (1)求证：； (2)求证：. 18．设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 19．已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章《不等式》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 2．设，且，则必有 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 且可得； 由且可得 【详解】（1） （当且仅当时等号成立） 又且 则得 （2） （当且仅当时等号成立） 又且 则得 综上 故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式的变形比较不等式大小. 熟记几个重要的不等式，可快速判断. , , , ,(以上不等式当且仅当 时等号成立) 3．已知，，若，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C 4．我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据题意得，则得到，解出即可. 【详解】由题意,令,则, 整理得，解得，，， 故选：B. 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以，解得， 又由，可得，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理得出，由已知变形可得，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，，则，因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 7．设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 【答案】B 【分析】对于选项A、B，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；对于选项C，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；举出反例可判断选项D. 【详解】因为，，， 设，则，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 所以，即，解得（舍）或， 所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确； 设，则，所以，则 . 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 所以，即 解得或（舍）， 所以，即时等号成立，故选项C错误; 对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误. 故选：B 8．对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．如果，那么 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立. 【详解】对于A，令，，则，故A错误. 对于B，因为，所以，故B正确. 对于C，由于 ，同乘以， 得，又，所以，故C正确. 对于D，若，则，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．已知正数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 11．若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】BC 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以，故的值可以是和， 故选：BC 【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知实数满足，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解. 【详解】设， 解得： 因为所以， 因为，所以 所以 故答案为：. 13．已知正数、满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值. 【详解】、为正数，则， 当且仅当时，等号成立， 在等式两边同时乘以， 可得， 即，解得. 当且仅当时，即当时，取得最大值. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 14．若关于x的不等式恰好有4个整数解，则实数的范围为 ． 【答案】 【分析】由题意不等式恰好有4个整数解，且，从而首先得出，进一步化简得不等式的解集为，由此即可列出不等式组求解. 【详解】因为， 所以由题意当且仅当不等式恰好有4个整数解，且， 所以首先，解得， 又方程的根为，即或， 所以不等式的解集为， 因为，所以， 所以不等式的4个整数解只能是2，3，4，5， 所以， 又因为， 所以解得，即实数的范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是首先得出，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 16．设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． （2），， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． （3）由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 17．已知，，，且. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用基本不等式或权方和不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】（1）方法一：∵，，∴， ∴，即， 同理可的，， 将以上各式相加得：，即. 当且仅当时，取等号. 方法二：，，， 由权方和不等式可得：， 当且仅当，即时，取等号. 方法三：，，， 由柯西不等式可得： ， ∴ ， 当且仅当时，取等号. （2）方法一：∵，，， ∴， ∴，即， ∴， 当且仅当时，取等号. 方法二：∵，，， 由权方和不等式可得：， ∴ 当且仅当时，取等号. 方法三：∵，，， 由柯西不等式可得： ，整理得， 当且仅当时，取等号. 18．设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析. 【分析】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可； (2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答； (3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答. 【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则， 当时，取，则成立，即有实数解，于是得， 当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得， 综上，， 所以实数的取值范围是； (2)不等式对于实数时恒成立，即， 显然，函数在上递增，从而得，即，解得， 所以实数的取值范围是； (3) 不等式， 当时，， 当时，不等式可化为，而，解得， 当时，不等式可化为， 当，即时，， 当，即时，或， 当，即时，或， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 19．已知函数． (1)当时，解关于x的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集； （2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值. 【详解】（1）由 . 若即，上式可化为： ； 若即，上式可化为： ； 若即，上式可化为：， 因为 ，所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. （2）不等式即 ， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以 ， 设， 当时，； 当时，，因为（当且仅当时取等号），所以. 所以 综上可知：的取值范围是 【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$