专题强化04：一元二次不等式方程、恒成立问题归纳【7大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

专题强化04：一元二次不等式方程、恒成立问题归纳 【题型归纳】 · 题型一：由一元二次方程的解确定参数 · 题型二：一元二次方程根的分布问题 · 题型三：解含有参数的一元二次不等式 · 题型四：一元二次不等式在实数集的恒成立问题 · 题型五：一元二次不等式在某个区间上恒成立问题 · 题型六：一元二次不等式在某个区间有解问题 · 题型七：含参和恒成立问题的综合 【题型探究】 题型一：由一元二次方程的解确定参数 1．（23-24高一上·江苏苏州）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型二：一元二次方程根的分布问题 4．（24-25高一上·江苏南京）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 5．（23-24高一上·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则可能为（    ） A． B． C．0 D．1 题型三：解含有参数的一元二次不等式 7．（22-23高一上·内蒙古乌兰察布·期中）若，则关于的不等式的解集为 ． 8．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习） （1）解关于的不等式； （2）当时，若对于不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 题型四：一元二次不等式在实数集的恒成立问题 10．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 12．（23-24高一上·广东江门·期中）关于的不等式对于任意恒成立，则的取值范围是 . 题型五：一元二次不等式在某个区间上恒成立问题 13．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 14．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 15．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（    ） A． B． C．4 D．5 题型六：一元二次不等式在某个区间有解问题 16．（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（21-22高一下·陕西西安·期末）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 题型七：含参和恒成立问题的综合 19．（23-24高二下·江苏常州）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 20．（23-24高一上·江苏镇江·期中）设 (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 21．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数，其中. (1)若，解关于的不等式； (2)若且不等式对一切实数恒成立，求的最小值. 【专题突破】 一、单选题 22．（24-25高一上·江苏南京）已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集是 23．（23-24高一下·江苏镇江·期中）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 24．（23-24高二下·福建·期末）命题p：，，则“”是“p为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 27．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·江苏·期中）已知命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）关于的不等式的解集为，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 30．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数．甲同学：的解集为；乙同学：的解集为，丙同学：的对称轴在y轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 31．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 32．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列说法不正确的是（   ） A．已知，，若，则组成集合为 B．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C．命题为真命题的充要条件是 D．不等式解集为，则 33．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列四个命题中，是真命题的是（    ） A．，且， B．，使得 C．若，则函数的最小值为 D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 34．（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 35．（23-24高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 三、填空题 36．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知命题p:“，一元二次不等式”是真命题，则实数的取值范围是 . 37．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 38．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 39．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 40．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 四、解答题 41．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或． (1)求，的值； (2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； (3)关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围． 42．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数，． (1)若，试求函数（）的最小值； (2)对于任意的，不等式成立，试求实数a的取值范围． 43．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)若在区间上最大值为2，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 44．（23-24高一上·四川资阳·阶段练习）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 45．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化04：一元二次不等式方程、恒成立问题归纳 【题型归纳】 题型一：由一元二次方程的解确定参数 题型二：一元二次方程根的分布问题 题型三：解含有参数的一元二次不等式 题型四：一元二次不等式在实数集的恒成立问题 题型五：一元二次不等式在某个区间上恒成立问题 题型六：一元二次不等式在某个区间有解问题 题型七：含参和恒成立问题的综合 【题型探究】 题型一：由一元二次方程的解确定参数 1．（23-24高一上·江苏苏州）不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式解集求参数，代入目标不等式，应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】由题设是的两个根，则， 所以，即， 故不等式解集为. 故选：B 3．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且， 则，解得， 则不等式可化为， 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 题型二：一元二次方程根的分布问题 4．（24-25高一上·江苏南京）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 5．（23-24高一上·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故选：B． 6．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布情况，结合一元二次不等式的求解，列式计算即可. 【详解】令 ， 则， 由题可知，，且， 即，解得， 故所有选项中满足题意的的值是：. 故选：B. 题型三：解含有参数的一元二次不等式 7．（22-23高一上·内蒙古乌兰察布·期中）若，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由可得，则可求出一元二次不等式的解． 【详解】，，则， ， 或． 故答案为：． 8．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）解关于的不等式； （2）当时，若对于不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）对原不等式因式分解为，即可对讨论，结合一元二次不等式的性质即可求解， （2）对的范围进行正负讨论，结合分离参数以及对勾函数的单调性，求解最值即可. 【详解】（1）函数，不等式， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 若，则； 若，则或； 若，则或， 所以， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； （2）当时，函数，不等式， 依题意，，不等式恒成立， 当时，成立，； 当时，恒成立，而函数在上单调递减， 因此，则； 当时，恒成立，而函数在上单调递减， 因此，则，所以实数的取值范围是. 9．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型四：一元二次不等式在实数集的恒成立问题 10．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为不等式的解集为，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值. 【详解】因为命题为真命题，所以不等式的解集为. 所以：若，则不等式可化为 ，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知： . 综上可知： 故选：D 11．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意可得不等式对任意实数均成立，分和，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】因为不等式对任意实数均成立， 即不等式对任意实数均成立， 当，即时，有恒成立，满足题意； 当，即时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为． 故选：B． 12．（23-24高一上·广东江门·期中）关于的不等式对于任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论结合判别式计算即可. 【详解】显然当时不等式恒成立； 当时，要满足题意则需； 综上 故答案为： 题型五：一元二次不等式在某个区间上恒成立问题 13．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】法一：由题意，可以采用分离参数法．，分，，，结合进行讨论并求解不等即可得． 法二：构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒成立，从而求解不等式组即可得． 【详解】法一：由题意，恒成立， 等价于， 当时，即，，则恒成立， ，，解得：， 当时，即时，不等式不成立， 当时，即，，则， ，，解得：， 综上所述：的取值范围是或； 法二：由，即， 令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有且，即，解得或， 所以的取值范围是或. 故选：D． 14．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 15．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题意得到，成立是真命题，转化为在上恒成立，由基本不等式得到，从而得到，从而求出答案． 【详解】由题意得：，成立是真命题， 故在上恒成立， 由基本不等式得：，当且仅当， 即时，等号成立， 故， 故选：A． 题型六：一元二次不等式在某个区间有解问题 16．（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【详解】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C 17．（21-22高一下·陕西西安·期末）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合基本不等式求得的最小值为，把不等式有解，转化为，即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意，正实数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为， 又由不等式有解，可得，即， 解得或，即实数的取值范围为. 故选：C. 18．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 题型七：含参和恒成立问题的综合 19．（23-24高二下·江苏常州）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 20．（23-24高一上·江苏镇江·期中）设 (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集结合韦达定理求参； （2）不等式恒成立，分和两种情况求解即可. 【详解】（1）由题意，不等式的解集是， ∴，1是关于x的方程的两实数根，且， 则，解得； （2）由对一切实数x恒成立， 即对一切实数x恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，则满足，解得 综上所述，实数m的取值范围是． 21．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数，其中. (1)若，解关于的不等式； (2)若且不等式对一切实数恒成立，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （2）利用判别式消元，放缩目标式，然后分子分母同时除以a，再换元，由基本不等式可解. 【详解】（1）因为，则，又， 所以不等式，即，即， 当时原不等式即，解得， 当时原不等式即， 若，即时解得； 若，即时解得或； 若，即时解得或； 当时原不等式即，解得， 综上可得当时原不等式的解集为， 当时原不等式的解集为， 当时原不等式的解集为， 当时原不等式的解集为， 当时原不等式的解集为. （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，所以， 所以（当判别式等于0时等号成立） 令，则，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当且时，有最小值. 【专题突破】 一、单选题 22．（24-25高一上·江苏南京）已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】根据给定的解集可得且，再代入各个选项即可判断正误. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则，且1，3是方程的两个根， 于是得，解得， 对于A，由，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，不等式化为， 即，解得或，故D正确. 故选：C. 23．（23-24高一下·江苏镇江·期中）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可得命题的否定为真命题，进而可得出答案. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“，”是真命题， 则，解得， 所以实数的最小值为. 故选：D. 24．（23-24高二下·福建·期末）命题p：，，则“”是“p为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由，求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，， 所以，得， 因为当时，不一定成立，而当时，一定成立， 所以“”是“p为真命题”的必要不充分条件. 故选：B 25．（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 26．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案. 【详解】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 27．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】当时，原不等式为：，对恒成立； 当时，原不等式恒成立，需，解得， 综上得． 故选：C． 28．（23-24高一上·江苏·期中）已知命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次函数的性质求得命题中的的范围，再由p是q是成立的必要不充分条件，判断求解即可. 【详解】对于，即， 所以，解得或， 因为p是q成立的必要不充分条件， 所以， 所以区间D可以为. 故选：B. 29．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）关于的不等式的解集为，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根之间的关系，由韦达定理可得，进而，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由题意知，是方程的两根， 则，得且，即，得， 由得， 所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立； 综上，的最小值为4. 故选：B. 30．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数．甲同学：的解集为；乙同学：的解集为，丙同学：的对称轴在y轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数a，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为，则； 若的解集为，则； 若的对称轴在y轴右侧，则； 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假， 综上，. 故选：C 二、多选题 31．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．不等式的解集为 B．的解集为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】先解出方程的根，然后由题意可得，，然后根据，的值以及基本不等式，一元二次不等式的解法对各个选项逐个化简即可判断求解． 【详解】不等式的解集为， 根据根与系数的关系，可得且，. 可化为，解得，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，方程的解为，且， 不等式的解集为，A错误； ，而，当且仅当，即时取等号， 的最大值为，D错误. 故选：BC. 32．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列说法不正确的是（   ） A．已知，，若，则组成集合为 B．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 C．命题为真命题的充要条件是 D．不等式解集为，则 【答案】ABD 【分析】A选项，考虑时，，满足要求，A错误；B选项，考虑时，满足要求，B错误；C选项，转化为在上有解，求出的最小值，得到答案；D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，得到答案. 【详解】A选项，，又， 当时，，满足， 当时，， 当时，，满足，当时，，满足， 综上，组成集合为，A说法不正确； B选项，中，当时，满足要求，B说法不正确； C选项，在上有解， 其中在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，最小值为， 故，C说法正确； D选项，不等式解集为， 则且为方程的两个根，故，， 则，，故，D说法不正确. 故选：ABD 33．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列四个命题中，是真命题的是（    ） A．，且， B．，使得 C．若，则函数的最小值为 D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】对A，当时显然不满足；对B，当时显然成立；对C，构造函数，结合单调性与函数定义域即可得；对D，离参数转化为求函数最值求解即可得. 【详解】对选项A，当时，，不满足，故A错误； 对选项B，当时，成立， 即，使得成立，故B正确； 对选项C，对于C，显然，而函数在上单调递增， 则当，即时，，故C错误； 对选项D，因为，由得， 设，， 则，当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为，则，故D正确. 故选：BD. 34．（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 35．（23-24高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据二次函数零点分布即可求解D. 【详解】不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故A正确， 对于B，可变为，解得或，故B错误， 对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，C正确， 对于D，的不等式可变为， 记由于，故0是的一个整数解， 由于对称轴，要使不等式解集中仅有两个整数，则，故，故D正确， 故选：ACD 三、填空题 36．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知命题p:“，一元二次不等式”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，结合二次函数性质可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】已知命题，一元二次不等式是真命题. 则，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 37．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式转化为对恒成立，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】，不等式恒成立，即， 由于函数，当且仅当，即时等号成立， 故，即，则， 故答案为： 38．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由韦达定理得到，再代入不等式中，消去，最后解分式不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是的两个根，且 所以，即， 所以变为， 所以， 解得， 故答案为：. 39．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设，结合题意，得到，即可求解. 【详解】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 40．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件知命题“，”为真命题，再分类讨论，即可求解. 【详解】由题意可知，命题“，”为真命题. 当时，可得. 若，则有，符合题意； 若，则有，解得，不符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 41．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或． (1)求，的值； (2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； (3)关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据不等式的解集和对应方程的关系，即可求解； （2）利用基本不等式求的最小值，不等式转化为，即可求解； （3）首先求解不等式的解集，再根据集合中恰有5个正整数，即可求解得到取值范围. 【详解】（1）由题意可知，，且方程有两个实数根，分别为和， 则，得，则，得， 所以，； （2），，所以，， ， 当，即时，等号成立， 所以的最小值为8， 不等式恒成立，即， 即，解得：； （3），， 不等式的解集中恰有5个正整数， 即的解集中恰有5个正整数， 即集合中恰有5个正整数， 所以，解得：. 42．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数，． (1)若，试求函数（）的最小值； (2)对于任意的，不等式成立，试求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时，利用基本不等式求函数（）的最小值； （2）任意的不等式成立，问题等价于在上恒成立，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1），时，函数， 当且仅当，即时等号成立， 所以时函数（）的最小值为. （2），任意的，不等式成立， 即在上恒成立， 设，在上恒成立， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 43．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)若在区间上最大值为2，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得. （2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得. 【详解】（1）函数图象的对称轴为， 当，即时，，解得，则； 当，即时，，解得，矛盾， 所以. （2）显然，而， 因此不等式为， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为， 所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 44．（23-24高一上·四川资阳·阶段练习）已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在上恒成立可得即可. （2）由在上有解可得，即可得为真时的范围，再结合一真一假求解即可. 【详解】（1）根据题意，命题，不等式恒成立， 若命题为真命题，则，解得， 故实数的取值范围为. （2）根据题意，命题，使成立， 则，即， 或， 又命题中恰有一个为真命题，则命题一真一假， ①当真假时，，解得； ②当假真时，，解得. 综上，实数的取值范围为. 45．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1)不等式的解集为. (2)的最小值为； (3)的最小值为. 【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集； （2）由已知可得，结合基本不等式求结论； （3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值. 【详解】（1）由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. （2）因为， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； （3）因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$