精品解析：新疆兵团第三师图木舒克市鸿德实验学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

新疆鸿德实验学校2024-2025学年第一学期 高二年级第一次月考数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2．请将答案正确填写在相应的位置. 一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 经过点且斜率为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线经过点且斜率为， 所以直线方程为，即. 故选：D. 2. 已知向量，则的值为（ ） A. B. 14 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量数量积计算公式得到答案. 【详解】． 故选：B 3. 与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】与向量同向的单位向量为，求解即可． 【详解】因为，所以与向量同向的单位向量为． 故选：A. 4. 与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由题得所求直线的斜率为， ∴所求直线方程为， 整理为． 故选：A 【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）. 5. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可. 【详解】因为，点在平面内，点平面外， 所以点到平面的距离， 故选：B 6. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解. 【详解】关于平面的对称点为. 故选：B 7. 经过点的直线的两点式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【详解】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 8. 过两点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程运算求解. 【详解】由题意可知：直线在x，y轴上的截距分别为， 根据直线的截距式可知直线方程为：. 故选：C. 9. 已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为锐角 C. 边的中点坐标为 D. 边上的中线所在的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项． 【详解】对于A，直线AC的斜率为，故A错误； 对于B，直线AB的斜率为，所以直线AB的倾斜角为钝角，故B错误； 对于C，设BC边的中点为，则，即点，故C正确； 对于D，BC边上的中线AD所在的直线方程为，整理得，故D正确． 故选： CD． 10. 已知直线，则下列选项中不正确的有（    ） A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据直线方程写出倾斜角、斜率和轴上截距，即知所过象限，并确定一个方向向量，即可判断各项的正误． 【详解】由直线方程得，即斜率为，则倾斜角为，轴上截距为2，则直线不经过第三象限，故A、B错，C对； 显然是直线的一个方向向量，因为，所以也是直线一个方向向量，故D对， 故选：AB． 11. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【详解】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 12. （多选题）设向量，，不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】空间向量的一组基底，任意两个不共线，并且不为零向量，并且三个向量不共面，逐一分析选项即可. 【详解】选项：若共面， 则存在，使得， 则向量共面，与题意矛盾， 故不共面，因此可以作为空间的一个基底； 选项：，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底； 选项：若共面， 则存在，使得， 即， 则向量共面，与题意矛盾， 故不共面，因此可以作为空间的一个基底； 选项：，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底. 故选：. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 过点和点的直线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两点斜率公式即可得解. 【详解】因为直线过点和点， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 14. 已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，根据空间向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题可得，， 平面ABC， ， ， ， . 故答案为：. 15. 已知空间向量，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量减法和乘法法则计算出答案. 【详解】因为，所以． 故答案为： 16. 过两点的直线的倾斜角为，求的值为______． 【答案】． 【解析】 【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值． 【详解】解：因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：． 故答案为： 三、简答题（共70分） 17. 已知直线，求满足下列条件的直线的方程． （1）与直线关于轴对称； （2）过点，且与平行． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由对称方法求出直线方程作答. （2）利用平行关系设出直线方程，再求出待定系数作答. 【小问1详解】 设与直线关于轴对称的直线上任意点坐标为，则点在直线上，即有， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设与直线平行的直线的方程为， 于是，解得， 所以直线的方程为. 18. 设空间中两条直线，的方向向量分别为，，两个平面，的法向量分别为，.回答下列问题： （1）如何用，表示？ （2）如何用，表示？ 【答案】（1） （2）‖ 【解析】 【分析】（1）根据直线方向向量的定义结合直线垂直的定义求解即可； （2）根据平面法向量的定义结合平面平行的定义求解即可. 【小问1详解】 因为两条直线，的方向向量分别为，， 所以当时，； 【小问2详解】 因为两个平面，的法向量分别为，， 所以当‖时，. 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 连接，，则， 在中，因为，则， 因为，，所以，， 所以，则， 又，、平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可通过证明，，得平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，通过向量的夹角公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，为的中点，则，又平面， 以为原点，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，，， ，，， ， 设平面法向量为，则，令，即， 设平面法向量为，则令，即， 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 所以． 20. 如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且. （1）建立适当的坐标系并求点坐标； （2）求证：. 【答案】（1） 以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系， 点坐标为. （2）证明:因为， 所以，，则， 所以，. 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，由条件列式可求得点坐标； （2）利用空间向量的数量积的坐标运算证明即可． 【小问1详解】 因为平面，且平面， 所以，， 在正方形中，， 所以两两垂直， 如图，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系， 因为底面边长为1的正方形，2， 则，， 设， 由，可得， 解得，即. 【小问2详解】 略 21. 如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行关系找到异面直线与所成角，分别求出线段的长度，解三角形即可求得答案. 【详解】由题意得 ,故是与所成角或其补角， 连接 , 由于底面是直角梯形， 在中， 则 , 在中,, 在梯形ABCD中，过点C作 交AB于H， 则 ,则 , 故在中， , 所以在中， , 即异面直线与所成角的余弦值为. 22. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）连 ∵底面为菱形，∴ ∵，，∴ ∵平面，平面，∴ ∵，，，平面， ∴平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）在菱形中证明，再由已知的线面垂直得线线垂直，从而可证得线面垂直． （2）以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，又由， 可得，可得、、两两垂直 令，可得，， 以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系 可得点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，， 由（1）可知为平面的法向量 设平面的法向量为， 有，取，， 可得 由，，， 有 故平面与平面所成二面角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法求二面角．求二面角的方法： （1）几何法，通过作证算三个步骤求解，即作出二面角的平面角，并证明，然后计算出这个角． （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，即求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补得解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆鸿德实验学校2024-2025学年第一学期 高二年级第一次月考数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2．请将答案正确填写在相应的位置. 一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 经过点且斜率为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则的值为（ ） A. B. 14 C. D. 4 3. 与向量同向的单位向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 6. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 7. 经过点的直线的两点式方程为（ ） A. B. C. D. 8. 过两点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为锐角 C. 边的中点坐标为 D. 边上的中线所在的直线方程为 10. 已知直线，则下列选项中不正确的有（    ） A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为 11. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 12. （多选题）设向量，，不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 过点和点的直线的斜率为__________. 14. 已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为______． 15. 已知空间向量，则______. 16. 过两点的直线的倾斜角为，求的值为______． 三、简答题（共70分） 17. 已知直线，求满足下列条件的直线的方程． （1）与直线关于轴对称； （2）过点，且与平行． 18. 设空间中两条直线，的方向向量分别为，，两个平面，的法向量分别为，.回答下列问题： （1）如何用，表示？ （2）如何用，表示？ 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，. （1）证明: 平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 20. 如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且. （1）建立适当的坐标系并求点坐标； （2）求证：. 21. 如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 22. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $