精品解析：辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 命题人：康平县高级中学 何庆超 评审题人：沈阳市第八十三中学 于洋 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义，将中的元素依次代入中判断即可. 【详解】，，， ，所以. 故选：C. 2. 终边上一点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，利用两角和与差的余弦公式求解值，判断选项. 【详解】由终边上一点坐标为，则， 则. 故选：D. 3. 已知等比数列满足：首项，公比为q，前n项和为，则“对任意的恒成立”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项特征可判断必要性，举反例即可说明不充分性. 【详解】若，且公比，则，所以对于任意，成立，故必要性成立； 若，且，则 所以由对于任意的，，推不出，故充分性不成立； 则“对任意的恒成立”是“”的必要不充分条件， 故选:C． 4. 在中，，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 由余弦定理可知 即， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以是等腰或直角三角形. 5. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，...，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得，再利用累加法求得，再利用裂项相消法求解. 【详解】解：由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，，，…，， 将以上个式子相加得， 所以， 所以， . 故选：D 6. 在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意由结合余弦定理可得，从而求得，再利用等面积法即可求解. 【详解】由可知，，所以，所以． 在中，由等面积法得， 即， 即，解得，故正确. 故选:A. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的奇偶性，由奇偶性得，接着利用导数工具二次求导研究函数在上单调性，由单调性即可判断的大小关系. 【详解】因为， 所以函数定义域为，， 所以函数为偶函数，故， 当时，， 所以， 因为，所以， 所以在单调递增，故即， 所以在单调递增，又， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】思路点睛：比较函数值大小问题通常通过研究函数的奇偶性和单调性来分析，故本题先求出函数的奇偶性，接着利用导数工具研究函数在上单调性，进而由函数奇偶性和单调性即可判断的大小关系. 8. 函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把问题转化为，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数范围即可. 【详解】由题知， 的实数解可转化为或的实数解，即， 当时， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 如图所示：    所以时有最大值： 所以时，由图可知， 当时，因为，， 所以， 令，则 则有且，如图所示：    因为时，已有两个交点， 所以只需保证与及与有四个交点即可， 所以只需，解得． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列式子中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ABD，利用基本不等式运算求解；对于C，运用对数运算及二次函数的最值可判断． 【详解】对于选项A：， 当且仅当，即当且仅当时等号成立， 但不成立，所以的最小值不为4，故A错误； 对于选项B：因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于选项C： ， 当时，取得最小值4，故C成立； 对于选项D：由题意， 则， ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确． 故选：BCD． 10. 在中，下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据及角A、B的范围，可判断A的正误；对B，根据大边对大角原则，可判断B的正误；对C，根据条件及余弦定理，可判断C的正误；对D，利用三角形个数的情况，可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，且，且， 所以，所以是等腰三角形，所以选项A正确； 对于B，由，则，可得，所以选项B正确； 对于C，由，以及余弦定理可得， 又，所以，但不知角的值， 不一定为锐角三角形，所以C错误； 对于D，由，若三角形有两解，则， 所以长的取值范围是，所以D错误. 故选：AB. 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项， 由A知，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简___________. 【答案】1 【解析】 【分析】化切为弦，通分变形即可求解. 【详解】 . 故答案为：1 13. 函数与函数公切线的斜率为__________. 【答案】1或 【解析】 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率. 【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为； 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即 又易知，整理可得， 即，即，解得或； 因此可得斜率为或. 故答案为：1或 14. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是______.（把正确的序号写到横线上） ①的最小正周期为 ② ③当时，的值域为 ④若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数的取值范围为 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由积化和差公式可得.① 由奇函数过点可得，后可得周期；② 由①结合诱导公式可直接验证是否等于；③ ④由三角函数单调性，图象等知识可解决问题. 【详解】由积化和差公式， 则. ①设的图象向右平移个单位长度后所对应解析式为， 则，因其为奇函数，且定义域为R， 则，又，则. 得的最小正周期为，故①错误； ②由①，， 由诱导公式，故②正确； ③当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，. 即当时，的值域为，故③正确； ④ 当时，，. 则或，其中. 则的值从小到大排列前6个是，第7个是. 则，故④正确. 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为内角的对边，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式得到，从而得到的两种关系，再根据，舍去，进而求解出；（2）利用面积公式，求出，再用余弦定理求出，进而求出的周长. 【小问1详解】 ∵ ∴ 即 ∴ ∴或 ∵在中， ∴ 故 ∴，即， ∴ 【小问2详解】 ∵的面积为，且由第一问可知： 由面积公式得： ∴ ∵ 由余弦定理得： 解得： ∴的周长为 16. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，求解通项公式； （2）利用分组求和，裂项相消，分类讨论求解前项和. 【小问1详解】 根据题意可得，是正项数列，， 当时，，解得（舍去）， 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得 所以①当为偶数时, , ②当n为奇数时, 所以. 17. 已知函数 (为实常数). （1）若,求曲线在处的切线方程; （2）讨论函数在上的单调性; （3）若存在,使得成立,求实数的取值范围. 【答案】（1）y=1 （2）当时，在[1,e]上单调增； 当时，在上单调减；在上单调增; 当时，在上单调减； （3） 【解析】 【分析】(1)求出切线的斜率，，即可得出切线方程； (2)[1,e]，分、三种情况讨论导数的符号，即可得出结论； (3)分、三种情况讨论函数的单调性并求出最值,则易得结论. 【小问1详解】 时,,所求切线方程为y=1. 【小问2详解】 [1,e]. 当即时，[1,e],,此时,在[1,e]上单调增； 当即时，时,上单调减； 时,在上单调增; 当即时，,此时,在上单调减； 综上：当时，在[1,e]上单调增； 当时，在上单调减；在上单调增; 当时，在上单调减； 【小问3详解】 当时,在上单调增,的最小值为 当时,在上单调减,在上单调增, 的最小值为. 因为 . 当时,在上单调减, 的最小值为, ，综上, 18. 已知函数． （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）时，对称中心为；时，对称中心为; （2）; （3） 【解析】 【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心； （2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值； （3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围． 【小问1详解】 ∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，时，图像的对称中心为， 时，图像的对称中心为. 【小问2详解】 ∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. 【小问3详解】 由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 19. 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设且．若，则称a与b关于模m同余，记作（“|”为整除符号，即为能整除m）． （1）解同余方程：； （2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若，数列的前n项和为，求； ②若，求数列的前n项和． 【答案】（1）或 （2）①6072；② 【解析】 【分析】（1）根据同除的定义求解，（mod3），即能被3整除，从而得出x或能被3整除； （2）①首先求出（分奇偶项），确定出，用并项求和法求和；②求出，利用两角差的正切公式变形通项，结合裂项相消法求和． 【小问1详解】 由题意（mod3），所以或（）， 即或（）． 【小问2详解】 由（1）可得为，所以． ①因为（），所以． 则． ②（）． 因为， 所以 ． 【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差的正切公式等等知识才能顺利求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 命题人：康平县高级中学 何庆超 评审题人：沈阳市第八十三中学 于洋 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 终边上一点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列满足：首项，公比为q，前n项和为，则“对任意的恒成立”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 5. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，...，设第层有个球，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列式子中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简___________. 13. 函数与函数公切线的斜率为__________. 14. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是______.（把正确的序号写到横线上） ①的最小正周期为 ② ③当时，的值域为 ④若方程在区间上恰有六个不等实根，则实数的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为内角的对边，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数 (为实常数). （1）若,求曲线在处的切线方程; （2）讨论函数在上的单调性; （3）若存在,使得成立,求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 19. 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设且．若，则称a与b关于模m同余，记作（“|”为整除符号，即为能整除m）． （1）解同余方程：； （2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中． ①若，数列的前n项和为，求； ②若，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $