精品解析：福建省三明市永安一中、沙县一中两校协作2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

福建省三明市永安一中、沙县一中两校协作2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题 命题人：永安一中 付瑶 沙县一中 肖自萌 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（ ） A. 或 B. C. D. 7. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 命题“”的否定是“” C. “”的充要条件是“” D. “”是“”的必要不充分条件 10. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为2 D. 若，且，那么的最小值为 11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 13. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________ 14. 已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设，已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 17. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. （1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 18. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值. （2）求关于x的不等式（其中）的解集． 19. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． （1）老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； （2）研究的最小值； （3）当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省三明市永安一中、沙县一中两校协作2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题 命题人：永安一中 付瑶 沙县一中 肖自萌 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得. 【详解】对于①，显然正确； 对于②，是无理数，故②正确； 对于③，是自然数，故③正确； 对于④，是无理数，故④错误. 故正确个数为3. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出不等式的解，在判断是什么条件即可. 【详解】由得， 由得， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 3. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可. 【详解】当时，不成立，故A错误； 当时，不成立，故B错误； 当时，不成立，故C错误； ，由不等式性质知，故D正确. 故选：D 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将集合的描述化为相同的形式，即可判断它们的关系. 【详解】由， 由，， 所以或， 而， 当时，；当时，, 其中元素表达式中分子都表示奇数，所以. 故选：A 5. 已知x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定目标式与已知代数式的线性关系，再应用不等式性质确定范围即可. 【详解】令， 则， 由，， 所以，即. 故选：B 6. 若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：C. 7. 已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合之间的包含关系求解即可. 【详解】， ∵，∴， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，方程组无解， 当时，有，方程组无解， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：C. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入后利用基本不等式可求的得最大值． 【详解】令，则， 代入得， 由基本不等式：所以，可得， 当且仅当时取等号， 所以时，面积取得最大值． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 命题“”的否定是“” C. “”的充要条件是“” D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等式性质判断A，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断CD. 【详解】对于A，，解得， 即，正确； 对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题“”的否定为：，错误； 对于C，若，则，反之若，则， 所以“”的充要条件是“”，正确； 对于D，若，则不一定成立，如，但， 反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，正确. 故选：ACD 10. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为2 D. 若，且，那么的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A利用二次函数性质判断；对于B、C应用基本不等式判断即可；对于D应用基本不等式“1”的代换判断. 【详解】对于A：，显然时取到最大值，故A正确； 对于B：由，则， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C：， 当且仅当时等号成立，而，取不到最小值2，故C错误； 对于D：因为，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BC. 11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意根据的定义可知，可先求出，再求出其以为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论. 【详解】根据差集定义即为且， 由，可得，所以A错误； 由定义可得即为且， 由或，可知或，即B正确； 若，那么对于任意，都满足，所以且，因此，所以C正确； 易知且在图中表示的区域可表示为，也即，可得，所以D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 【答案】－3 【解析】 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 13. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可. 【详解】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式并对参数的取值进行分类讨论，再由解集中存在整数解且只有一个整数解即可求得的取值范围为. 【详解】由，得或， 所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解. 当时，的解集为，此时，即，满足要求； 当时，的解集为，此时不满足题设； 当时，的解集为，此时，即，满足要求. 综上，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用并集、补集的定义求解即得. （2）利用给定交集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得. 【小问1详解】 当时，，而，因此， 所以或. 【小问2详解】 由，得， 当时，则，解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 设，已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别解不等式求出集合A，B，然后由并集运算可得； （2）根据集合包含关系，对m分类讨论即可. 【小问1详解】 ，解得， 当时，得， 所以. 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，所以AB， 解方程得或， 当时，，不满足题意； 当，即时，， 因为AB，所以，解得； 当，即时，，显然不满足题意. 综上，的取值范围为. 17. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶. （1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价元，并投万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 【答案】（1） （2）当每瓶售价元时，下月的月总利润最大为万元 【解析】 【分析】（1）设提价元，则每瓶饮料利润为元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于的不等式，即可求出的范围，进而求解； （2）由题意可得每瓶利润为元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解. 【小问1详解】 设提价元，由题意知每瓶饮料利润为元， 则月销量为万瓶， 所以提价后月总销售利润为万元， 因为原来月销售总利润为万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润， 所以，即，解得， 所以售价最多为元， 故该饮料每瓶售价最多为元； 【小问2详解】 由题意，每瓶利润为元， 月销售量为万瓶， 设下月总利润为，， 整理得：， ， ， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当时取等号， 故当售价元时，下月的月总利润最大为万元. 18. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值. （2）求关于x的不等式（其中）的解集． 【答案】（1）； （2）时，不等式解集为；时，不等式解集为； 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，结合对应方程根与系数关系列方程组求参数； （2）分类讨论参数a，求对应不等式解集即可. 【小问1详解】 由题设，易知且是方程的两个不同根， 则，经验证满足题设， 所以. 【小问2详解】 由题设，且，所以， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 19. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值． 解：利用基本不等式 (，，)，得到， 于是， 当且仅当时，取到最小值． （1）老师请你模仿例题，研究的最小值， [提示：(，，，)]； （2）研究的最小值； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）模仿例题，结合提示证明，由此可求结论； （2）先证明，由此可求的最小值； （3）先证明，由此可求的最小值. 【小问1详解】 由，结合提示可得，当且仅当时取等号， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为； 【小问2详解】 由，， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为． 【小问3详解】 由，知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取到最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $