精品解析：辽宁省鞍山市岫岩县2024～2025学年 上学期10月月考九年级数学试卷

2024~2025上学期第五周周检测 九年级数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（　　） A. 圆的周长与圆的半径之间的关系 B. 三角形的高一定时，面积与底边长的关系 C. 在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系 D. 正方体的表面积与棱长的关系 4. 若，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不对 5. 对于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. y随x的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 对称轴为y轴 6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 10. 如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（ ） A. （0.0） B. （0，） C. （0，2） D. （0，） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是__________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 13. 如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①；②；③；④，则，，，的大小关系为__________．（用“”连接） 14. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过__________s落回地面．（结果保留小数后两位） 15. 抛物线与直线围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是___________． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程： （2）解方程： 17. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有一个根是，求方程的另一个根和m的值． 18. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个根为0，求实数a的值； （2）当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 20. 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程， 解：原方程可变形，得：． 直接开平方并整理，得：，， 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：． 直接开平方并整理，得：．上述过程中的表示的数分别为_____，_____，_____，_____； （2）请用“平均数法”解方程：． 21. 【实践活动】学校课外兴趣活动小组准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围起一个矩形苗圃园，设平行于墙的一边的长为． （1）如图①，矩形苗圃园的一边靠墙，另三边均由篱笆围成．当苗圃园的面积为时，用含的代数式表示的长，并求的值． （2）如图②，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边均由篱笆围成．当苗圃园的面积为时，求的值． 22. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； （2）若是“倍根方程”，求m与n的关系； （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 23. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 该零件月销售利润能达到40000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025上学期第五周周检测 九年级数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数求解可得． 【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，不符合题意； B、中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； C、y=3x2+x-1是二次函数，符合题意； D、中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把方程左边用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，， 故选：C． 3. 下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（　　） A. 圆的周长与圆的半径之间的关系 B. 三角形的高一定时，面积与底边长的关系 C. 在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系 D. 正方体的表面积与棱长的关系 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数，反比例函数、正比例函数的定义一一判断即可． 【详解】解：A．圆的周长c与圆的半径r之间的关系是：，故他们之间的关系是正比例函数关系； B．三角形的高h一定时，故他们之间的关系是正比例函数关系； C．在一定距离s内，故他们之间的关系是反比例函数关系； D．正方体的表面积S与棱长a的关系：，S和a是二次函数关系，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4. 若，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】令m=x2+y2，则原方程可化为（m-5）2=64，利用直接开平方法求出m的值，再根据非负数的性质求解即可． 【详解】解：令m=x2+y2，则原方程可化为（m-5）2=64， 两边开平方，得m-5=±8， 所以m=13或-3， ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2=13． 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，非负数的性质．难度适中，注意利用非负数的性质舍去不合题意的答案． 5. 对于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. y随x的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 对称轴为y轴 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C、D正确，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意； 故选：B． 6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤：一除二移三配方，进行配方即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 7. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 8. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式，等式的性质是解决本题的关键． 根据一元二次方程的根的含义可判断②③，一元二次方程的根的判别式可判断①，从而可得答案． 【详解】解：①当时，， 那么一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根， 此时成立，①正确． ②若c是方程的一个根，则． 当，则； 当，则不一定等于0，②不一定正确． ③由是一元二次方程的根，得， ∴，即， ∴，则③正确． 故选：C． 10. 如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（ ） A. （0.0） B. （0，） C. （0，2） D. （0，） 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1， 连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点， 当x＝﹣1时，y＝﹣1， 当x＝2时，y＝﹣4， 所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， 设直线A′B为 当x=0时，y=-2 即C（0，-2） 故选D 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项； 由题意可得二次项系数是2，常数项是，再求和即可． 【详解】解：在二次函数中， 二次项系数为2， 一次项次数为， ∴二次项系数与一次项系数的和是：， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】k＞且k≠1. 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故答案为k＞且k≠1． 考点：根的判别式；一元二次方程的定义. 13. 如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①；②；③；④，则，，，的大小关系为__________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小. 【详解】解：如图，因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次， 所以. 14. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过__________s落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】2.04 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 根据物体回落到地面，即，求解即可． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍），， 因此物体经过2.04s落回地面． 故答案为：2.04． 15. 抛物线与直线围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形找出范围，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：由图可知：，， 再根据抛物线的性质，越大开口越小， 把点代入得， 把点代入得， 则的范围介于这两点之间，故． 故答案为：． 【点睛】此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）先整理原方程，然后利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 17. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有一个根是，求方程的另一个根和m的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）方程的另一个根为，． 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式即可得证； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可得． 【详解】（1）∵一元二次方程中的， ∴其根的判别式为， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为， 由一元二次方程根与系数的关系得：， 解得， 即方程的另一个根为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键． 18. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． 【小问2详解】 一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个根为0，求实数a的值； （2）当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 【答案】（1）或，详见解析 （2）13或11，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的性质以及三角形三边关系等知识点， （1）将代入原方程可得出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值； （2）结合（1）以及等腰三角形的性质和三角形的三边关系，即可找出三角形的腰长，再根据三角形的周长公式即可得出结论，将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键． 【小问1详解】 ∵方程有一个根为0， ∴把代入方程得， ∴或； 【小问2详解】 当时，方程为， 整理得， 配方得， 直接开平方得或， 解得， 当的底为3时，则该三角形的三边长为3，5，5，其周长为13， 当的底为5时，则该三角形的三边长为5，3，3，其周长为11， 纵上所述，的周长为13或11． 20. 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程， 解：原方程可变形，得：． 直接开平方并整理，得：，， 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：． 直接开平方并整理，得：．上述过程中的表示的数分别为_____，_____，_____，_____； （2）请用“平均数法”解方程：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：原方程可变形，得：． ， ． 直接开平方并整理，得． 上述过程中的表示的数分别为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原方程可变形为． ， ， ． 直接开平方并整理，得． 21. 【实践活动】学校课外兴趣活动小组准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围起一个矩形苗圃园，设平行于墙的一边的长为． （1）如图①，矩形苗圃园的一边靠墙，另三边均由篱笆围成．当苗圃园的面积为时，用含的代数式表示的长，并求的值． （2）如图②，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边均由篱笆围成．当苗圃园的面积为时，求的值． 【答案】（1），6 （2）当苗圃园的面积为时，x的值为12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式是解题的关键． （1）根据“一段长为的篱笆”可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解； （2）先表示，再根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴， 当苗圃园的面积为时，， 整理得：， 解得：， ∵矩形苗圃园的一边靠墙， ∴， ∴． ∴当苗圃园的面积为时，x的值为6． 故答案为：，6． 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， 当苗圃园的面积为时，， 整理得：， 解得：， 由题意可得： 解得：， ∴． 答：当苗圃园的面积为时，x的值为12． 22. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； （2）若是“倍根方程”，求m与n的关系； （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明， 【答案】（1） （2）或 （3） 设与是方程的解， ，， 消去得：． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”的意义，理解“倍根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． （1）设方程的两个根为，，由倍根方程的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （2）根据倍根方程的定义即可找出，之间的关系； （3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案． 【小问1详解】 解：设方程的两个根为，， ∵一元二次方程是“倍根方程”， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵方程的一个根为2， 则另一个根为1或4， 当另一个根为1时，则， ∴，即：， 当另一个根为4时，则， ∴，即：； 【小问3详解】 略 23. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 该零件月销售利润能达到40000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】任务一：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；任务二：该零件的实际售价应定为50元；任务三：月销售利润不能达到40000元，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 任务二：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论； 任务三：设该零件的实际售价n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【详解】解：任务一：设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务二：设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； 任务三：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到40000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到40000元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $