精品解析：福建省厦门双十中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题

2024级高一上学期第一次月考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，再求， 【详解】因为，且， 所以， 因为，，所以， 所以． 故选：B． 2. 在下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只需判断各函数与题述函数对应法则以及定义域是否相同即可求解. 【详解】解：对于A，（），与（）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B，（），与（）的对应关系不同，不是同一函数； 对于C，（），与（）的定义域不同，不是同一函数； 对于D，（），与（）定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D． 3. 用表示不大于实数最大整数，例如，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如不能得到， 由，又，所以一定能得到. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知函数，令，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，的图像是与在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出的图像，结合图像，即可求得的解集. 【详解】由可知，的图像是与在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出的图像， 联立，解得或，故，， 所以， 又由可知，其解集为的函数值比大的那部图像的所在区间，结合图像易得，的解集为或 联立，解得或，故，， 联立，解得，故， 所以的解集为或. 故选：C. 5. 已知，，则p的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程有解的条件及其必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】，，则，解得， 选项,,则是的充要条件， 选项B,,则是的充分不必要条件， 选项C,，则是的必要不充分条件， 选项D,,则是的充分不必要条件. 故选：C 6. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 7. 若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案. 【详解】由，，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 因为不等式有解, 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 8. 用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案. 【详解】因为，，所以或， 由，得， 关于x的方程， 当时，即时，易知，符合题意； 当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意； 当时，即时，方程 无实根， 若a=0，则B={0}，，符合题意， 若或，则，不符合题意. 所以，故. 故选：B. 【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合不等式的性质及作差法判断各选项即可． 【详解】对于A，由，则，两边同时除以， 可得，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由于， 因为，所以， 则，即，故C正确； 对于D，由，得，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. C. 在区间上单调递增 D. 的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数解析式求出定义域判断A，根据解析式计算可判断B，化简解析式，由反比例函数单调性可判断C，取特值可判断D. 【详解】由函数，可知，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； ，故B正确； 因为，所以当时，单调递增，故C正确； 由可知，，故函数值域不为，故D错误. 故选：ABC 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得. 【详解】令，则， 于是有，所以. 故答案为： 13. 已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将的定义域为R转化为的解集为R.分和两种情况进行讨论，从而得到结果. 【详解】的定义域为R， 的解集为R. 即的解集为R. ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，，解得：. 实数m的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知，则的最小值为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】由题得，利用基本不等式得到，解不等式即得解. 【详解】由题得， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以或（舍去） 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为9. 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R． （1）当a＝2时，求A∪B和(∁RA)∩B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|－2≤x≤7}；(∁RA)∩B＝{x|－2≤x<1}；（2）或． 【解析】 【分析】（1）由a＝2，得到A＝{x|1≤x≤7}，然后利用集合的基本运算求解. （2）由A∩B＝A，得到A⊆B．然后分A＝∅，A≠∅两种情况讨论求解. 【详解】（1）当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}， 则A∪B＝{x|－2≤x≤7}，∁RA＝{x|x<1或x>7}，(∁RA)∩B＝{x|－2≤x<1}． （2）∵A∩B＝A， ∴A⊆B． 若A＝∅，则a－1>2a＋3，解得a<－4； 若A≠∅，由A⊆B，得， 解得－1≤a≤ 综上，a的取值范围是或 ． 【点睛】本题主要考查集合的基本要和基本运算，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 16. 已知函数． （1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）任取，作差，分析每一个因式的正负，进而得到，可判断单调性； （2）根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式，解不等式即可得到答案. 【小问1详解】 任取， 则， 因为，则，，， 则，故在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）得，在上单调递减， 所以，，解得， 所以，即所求范围是. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1），； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得和是方程的两个根，且，根据韦达定理即可求解； （2）等式即，对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根，且， 可得，解得，． 【小问2详解】 当时，不等式即，即， ①当时，，解得； ②当时，不等式可化为，解得或； ③当时，不等式化为， 若，则； 若，则； 若，则， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 18. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米． （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 【答案】（1） （2）米时，用料最省． 【解析】 【分析】（1）由，取得，得到AMPN面积等于，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）求得到扩建部分面积，令，可得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得，则，则， 花坛AMPN面积等于， 由题意，可得，即， 解得或，所以AN的长应在范围内. 小问2详解】 解：根据题以，可得扩建部分面积， 令，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省． 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），集合A是的恰当子集； （2），或，. （3）10 【解析】 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【小问1详解】 若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 【小问3详解】 若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一上学期第一次月考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知全集，且，则（ ） A B. C. D. 2. 在下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 用表示不大于实数最大整数，例如，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要 4. 已知函数，令，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 已知，，则p的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. C. 在区间上单调递增 D. 的值域为 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______. 13. 已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为______． 14. 已知，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R． （1）当a＝2时，求A∪B和(∁RA)∩B； （2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若，求实数取值范围． 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，求不等式解集． 18. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米． （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $