精品解析：山西省晋中市榆次区山西现代双语学校南校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级十月月考试题 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分试题个数：共19题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若向量则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 3 D. 或3 6. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是空间一点，直线过点且一个方向向量为，则到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. l的倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l与直线平行 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数______． 13. 已知，，则在上的投影向量的坐标为______. 14. 动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在正方体中，设，，，，分别是，的中点． （1）用向量，，表示，； （2）若，求实数，，的值． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求： （1）的长； （2）直线与AC所成角的余弦值． 18. 设直线l的方程为 （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 19. 如图，三棱柱中，四边形为菱形，，，侧面侧面，在线段上移动（不含端点），为棱的中点. （1）若为线段的中点，为的中点，连接并延长交于，求证：∥平面； （2）若二面角的平面角的余弦值为，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级十月月考试题 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分试题个数：共19题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， ∵，∴，． 故选：D． 2. 若向量则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得 【详解】由于向量，，所以. 故 故选：D 3. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：C. 4. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于z轴的对称点为B， 所以. 故选：A. 5. 已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 3 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】由直线平面，所以求解. 【详解】因为直线平面，所以或， 故选：A. 6. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 7. 已知是空间一点，直线过点且一个方向向量为，则到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】运用空间点到线的距离公式计算即可. 【详解】由题知，，， 则到直线的距离为． 故选：C. 8. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解，由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，； 设，，， ，，， ，即， 关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为， ，解得：，， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 轴平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， ， 由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得，从而利用勾股定理构造关于的一元二次方程，根据其根的分布可求得和的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. l的倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l与直线平行 【答案】CD 【解析】 【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，依次判断即可 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误； 因为经过点，所以直线的方程为，令，则，所以在轴上的截距为，所以B错误； 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以与直线垂直，所以C正确； 因为直线的斜率为，直线的斜率也为，且两直线截距不等，故两直线平行，所以D正确. 故选：CD 10. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由空间向量的基本定理和空间基底逐一判断即可； 【详解】对于A，设， 则，此方程无解，所以，，不共面，故A正确； 对于B，设， 则，此方程无解，所以，，不共面，故B正确； 对于C，，所以，，共面，故C错误； 对于D，设， 则，此方程无解，所以，，不共面，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解. 【详解】对于A，正方体中，，， ，所以，故A错误； 对于B，，， ，故B正确； 对于C，设，则，，而， 所以平面的一个法向量是，故C正确； 对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由结合根与系数的关系可得，从而可求得的值. 【详解】因为，而且斜率存在， 所以， 又，是关于的方程的两根， 所以，解得． 故答案为： 13. 已知，，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的计算求解即可； 【详解】, , 所以在上的投影向量的坐标为， 故答案为：. 14. 动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】因为平面 平面 ，所以可知 的移动轨迹，进而可以通过建立空间直角坐标系求解直线与平面所成角正弦值的取值范围. 【详解】如图，连接 ， 易知 ， 所以平面 平面 . 因为点 与平面 的距离保持不变， 所以点 的移动轨迹为三角形 的三条边， 建立如图所示的空间直角坐标系，假设正方体的边长为2 则 所以 设平面的一个法向量为 则，令则，所以 当点在线段时，设， 所以 设直线与平面所成角为 则 令，则 所以 所以当，即时， 此时点为线段的中点. 当在线段时，同理可求得 此时点与点重合. 综上所述，直线与平面所成角正弦值的取值范围为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在正方体中，设，，，，分别是，的中点． （1）用向量，，表示，； （2）若，求实数，，的值． 【答案】（1）， （2），，． 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可． 【小问1详解】 连接，则交于点， ， ． 【小问2详解】 连接， ， 又，所以，，． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间中直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明即可； （2）利用计算可得. 【小问1详解】 直三棱柱中平面，又，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以，即， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求： （1）的长； （2）直线与AC所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值． 【小问1详解】 ， 所以 ； 【小问2详解】 ， 所以 ， ，， ， ， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为． 18. 设直线l的方程为 （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】（1）或. （2）6， 【解析】 【分析】（1）分截距是否为0两种情况，求得参数a，即可得答案. （2）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 当直线过原点时满足条件，此时，解得，此时直线方程为. 当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为， 故，解得， 可得直线l的方程为:. 综上所述，直线l的方程为或. 【小问2详解】 由题意知， 令，解得，解得； 令，解得，解得或. 综上有. ∴ ， 当且仅当，即时取等号. ∴（为坐标原点）面积的最小值是6， 此时直线方程，即. 19. 如图，三棱柱中，四边形为菱形，，，侧面侧面，在线段上移动（不含端点），为棱的中点. （1）若为线段的中点，为的中点，连接并延长交于，求证：∥平面； （2）若二面角的平面角的余弦值为，且，求的值. 【答案】（1）见解析； （2）的值为. 【解析】 【分析】（1）构造平面∥平面，再利用面面平行的性质得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设点坐标，利用向量的方法求出二面角的余弦值，列方程求即可. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，在中，为中点，∴∥， ∵为三棱柱，∴四边形为平行四边形， 又分别为的中点， ∴∥，又且，且， ∴平面∥平面，又平面，∴∥平面. 【小问2详解】 连接，∵四边形为菱形，∴又，∴为正三角形. ∵为的中点，∴， 又∵侧面侧面，且平面平面，平面， ∴平面，在平面内过点作交于点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，. 又，∴点的坐标为， ∴. ∵，∴，∴， 设平面的法向量为， 由，得， 令，得，所以平面的一个法向量为. 由题意可知平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为，则， ∴，故的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $