精品解析：浙江省嘉兴高级中学2026-2027学年高二第一学期第一次教学调研数学试卷

嘉兴高级中学2026学年第一学期第一次教学调研答案 高二年级 数学试卷 命题人：褚晓萍 审卷人：韩仑 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 3. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得关于的方程，解方程即可得解. 【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得． 故选：A． 4. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先求出向量与的坐标，由向量与的夹角为锐角， 可以得到且与不平行，再计算求解即可. 【详解】，， ，向量与的夹角为锐角， 且向量与不平行， ，， 向量与不平行，， 的取值范围为且，选项B正确. 故选：B. 5. 如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得，线段的中点， 则， 所以点到直线的距离. 故选：D 6. 如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则 ，， ， ， 所以 ， 故直线与所成的角余弦值为0. 故选： D. 7. 已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析得到动直线经过定点Q（1,3），从而得到点M的轨迹，再利用数形结合分析得到|MN|的最大值. 【详解】解：由动直线方程得，所以该直线过定点Q（1,3）， 所以动点M在以PQ为直径的圆上，所以圆的半径为 圆心的坐标为，所以点N到圆心的距离为， 所以的最大值为. 故选：D. 8. 已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】合理利用平面向量的线性运算对目标式进行转化，再利用圆的性质求出，，求解即可. 【详解】 如图，连接，作，， 易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，， 故， 故，当反向时等号成立，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查圆，解题关键是找到对目标式进行合理转化，然后求出，，最后得到所要求的最值即可． 二、多选题 （本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 B. 过两点的直线方程为 C. 过点且与直线相互平行的直线方程是 D. 经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】对A，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确； 对B，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确； 对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确； 对D，经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误， 故选：AC． 10. 如图，在边长为的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，则正确的是（  ） A. B. 直线与平面所成角最大值为 C. 面积的最小值是 D. 当时，平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接建立空间直角坐标系，设，对A直接用向量的垂直判断线线垂直可得；对B用向量法计算线面角的正弦值，并判断正弦值范围可得；对C用向量的方法计算点到的距离，并求的最小值，从而可得面积最小值；对D用向量方法求平面的法向量，并判断向量也是平面的法向量，进而可得两个平面平行. 【详解】以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系， 由正方体边长为，得各点坐标：，, 动点在对角线​上，设，其中，逐一分析选项： 选项A：向量，， ， 所以， 因此，A正确； 选项B：， 取平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 若，则； 若，令，则 ， 当时，，即 综上，，即， 又因为，且，所以. 因此直线与平面所成角最大值为，B正确； 选项C：，， ，， 则点到直线的距离 ， 所以三角形的面积，C错误； 选项D：若，且，， 所以， 设平面的法向量为， 则，，取，则. 又，所以，， 因此向量也是平面的法向量，且平面与平面不重合， 所以平面平面，D正确. 11. 已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ） A. 切线长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为 C. 若是圆的一条直径，则的最小值为 D. 直线恒过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用勾股定理可求得切线长的最小值，可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质以及的最小值，可判断C选项；设点，求出直线的方程，可求得直线恒过定点的坐标，可判断D选项. 【详解】圆心为，圆的半径为，由圆的几何性质可知，，. 对于A选项，， 当时，取最小值，且， 所以，，A对； 对于B选项，由切线长定理可知，，，， 所以，，所以，，B对； 对于C选项，易知为的中点， ，C错； 对于D选项，设点，则， 线段的中点为，， 所以，以为直径的圆的方程为， 即圆的方程为， 将圆的方程与圆的方程作差可得， 即，故直线的方程为， 变形可得. 由可得，所以，直线恒过定点，D对. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 直线与直线之间的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式求解. 【详解】直线，直线， 因为，，，所以， 所以两直线间距离为：. 13. 若点在圆外，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解. 【详解】圆的标准方程为， 由于点在圆外， 所以，解得， 故答案为： 14. 在四棱锥中，，、分别为、的中点，经过、、三点的平面交于点，为上一点，且平面，为等边三角形，，，则经过、、、四点的球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过三角形中位线定理得点是三角形的重心，进而可得三棱锥是底边为，高为的正三棱锥，从而在正三棱锥中计算外接球的半径及表面积. 【详解】因为平面，平面，所以. 由，得为等腰直角三角形，。 又是边长为的等边三角形，因此，即. 取中点，连接， 因为分别是的中点，由三角形中位线定理得， 又因为，所以，所以四点共面， 因此点就是的交点，且是的中线， 因此点是的重心，即. 设等边三角形中心为，则点在中线上，且， 因此，由平行线分线段成比例得且. 又因为平面，所以平面，即平面， 因此三棱锥是底边为，高为的正三棱锥，所以三棱锥的外接球球心在高线上， 设球心到平面的距离为， 在等边三角形中，三角形的外接圆半径. 由勾股定理得，， 若球心在平面的上方，则， 由，得，方程无解； 若球心在平面的下方，则， 由，得，解得， 因此球半径，球的表面积. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）. 15. 已知直线：. （1）求经过点且与直线平行的直线方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意设所求直线的方程为，然后把点代入方程中求出的值即可； （2）由题意设所求直线的方程为，然后分别求出直线在两坐标轴上的截距，再由直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，列方程可求出的值 【详解】解：（1）由题意，可设所求直线的方程为.把点代入，得 ，即. 故所求直线的方程为. （2）由题意，可设所求直线的方程为. 令，则；令，则. 由题意知，.解得. 故所直线的方程为或. 16. 已知圆经过点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程． （2）设点，为圆上的动点，点满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）判断点的轨迹与圆的位置关系． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）外离 【解析】 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）（i）设出，则可得关系，再借助点在圆上代入计算即可得；（ii）计算两圆圆心距离与半径之和即可得. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由题可知，解得， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）设点， 因为，所以， 即，所以， 又因为点在圆上，所以， 化简得， 即点的轨迹方程为； （ii）点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 圆的圆心为，半径为2， 因为， 所以两个圆外离． 17. 已知圆和定点，动点在圆上． （1）过点作圆的切线，求切线方程； （2）若满足，求证：直线过定点． 【答案】（1）或 （2） 若直线斜率不存在，由对称性得， 又，所以，故直线为， 联立，解得或（舍去）， 故，则，直线方程为， 若直线斜率存在，设直线方程为， 联立，消去，得， 所以，，， 而， 化简得，解得或， 当时，直线为，显然过点，不符合题意，舍去， 故，直线为，显然过定点，而直线也过， 综上：直线过定点. 【解析】 【分析】（1）设直线方程后由点到直线的距离公式列式求解即可； （2）分类讨论直线斜率存在与否的情况，联立直线与圆的方程，直接求得或由韦达定理化简，从而证得直线过定点. 【小问1详解】 因为圆，所以圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心与的距离为，则直线与相离，不满足题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得或， 所以切线方程为或，即或. 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． （1）求证：． （2）求线段的中点到平面的距离． （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则,，，，， 则，， 有，故； （2） （3）存在，，理由如下： 令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，再计算出，后相乘即可得； （2）求出平面的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，则，又， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求到平面的距离； （3）若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解； 方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可； （3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解. 【小问1详解】 设，连接． 因为四边形为菱形，所以 为的中点． 在中，因为 为的中点，所以 OM为的中位线，故， 又因为平面，平面， 所以 平面； 【小问2详解】 方法一：向量法 以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 在平面内过作，交的延长线于，连接. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 因为，，所以， 所以，，即，所以. 在中，，所以，， 则，因为为中点，所以， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，则. 设点D到平面的距离为， 则． 由（1）知平面， 所以到平面的距离即为点D到平面的距离， 所以到平面的距离为； 方法二：等体积法 由（1）知平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离，设为． 因为为中点，所以点到平面的距离等于点B到平面的距离， 即， 在平面内作交直线的延长线于，取中点， 连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，， 所以到平面的距离为. 因为，所以． 在中，， 由余弦定理可得， 在中，． 在中，，为中点，则， 由余弦定理可得， 所以，所以． 在中，，底边上的高为， 所以. 又因为. 由可得，解得， 所以到平面的距离为； 【小问3详解】 在（2）所建的坐标系中，设，则， 因为，所以． 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径． 设三棱锥外接球的半径为，球心为． 由球的性质可得，解得，则， 所以，因为点在外接球上，则， 所以， 即，即． 解得，所以， 所以，. 设平面的法向量为． 则，即. 令，则，即． 设直线和平面所成角为， 则 因为，所以． 所以直线和平面所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴高级中学2026学年第一学期第一次教学调研答案 高二年级 数学试卷 命题人：褚晓萍 审卷人：韩仑 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（    ） A. B. C. D. 7. 已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 16 二、多选题 （本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8 B. 过两点的直线方程为 C. 过点且与直线相互平行的直线方程是 D. 经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 10. 如图，在边长为的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，则正确的是（  ） A. B. 直线与平面所成角最大值为 C. 面积的最小值是 D. 当时，平面平面 11. 已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（ ） A. 切线长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为 C. 若是圆的一条直径，则的最小值为 D. 直线恒过定点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 直线与直线之间的距离为_____． 13. 若点在圆外，则实数的取值范围为__________. 14. 在四棱锥中，，、分别为、的中点，经过、、三点的平面交于点，为上一点，且平面，为等边三角形，，，则经过、、、四点的球的表面积为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）. 15. 已知直线：. （1）求经过点且与直线平行的直线方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程. 16. 已知圆经过点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程． （2）设点，为圆上的动点，点满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）判断点的轨迹与圆的位置关系． 17. 已知圆和定点，动点在圆上． （1）过点作圆的切线，求切线方程； （2）若满足，求证：直线过定点． 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． （1）求证：． （2）求线段的中点到平面的距离． （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求到平面的距离； （3）若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $