内蒙古呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2023-2024学年八年级上学期10月月考试数学试题

内蒙古师范大学附属中学 2023-2024学年第一学期初二年级10月月考试题 数学 出题人：王智娟 审核人：张生 第I卷 (选择题共30分) 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案涂到答题纸上） 1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是() A.3,4,8B.5,6,11 C.1,3,5 D.5,6,10 2.如图，在四边形ABCD中，ADIIBC,AD=BC,连接AC,E为AC上一点，连接DE,过点B作BF//DE交AC于 点F,则图中的全等三角形共有() D B A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 3.若△ABC≌△DEF,且∠A=60°，∠E=70°，则∠C的度数为() A.50° B.60° C.709 D.50°或80 4.如图，已知4=20°，∠2=25°，∠4=55°，则∠B0C的度数是（) C A.100° B.120 C.80 D.90° 5.一块多边形木板截去一个三角形（截线不经过顶点），得到的新多边形内角和为2340°，则原多边形的边数为(） A.13 B.14 C.15 D.16 6.下列说法中，正确的结论有() ①在△ABC中，两个锐角互余：②在两个全等三角形中，对应边相等，对应角相等：③形状相同的两个三角形全等： ④三角形的重心是三条角平分线的交点 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试卷第1页，共6页 7.如图，在aABC中，画出AC边上的高() 8.如图，△AOB≌△ADC,∠O=∠D=90,记∠OAD=a,∠AB0=B,当AO∥BC时，a与B之间的数量关系 为() B D 0 A.a=B B.a=2B C.a+B=90 D.a+2B=180° 9.如图在△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于O,CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE 于点E,记∠BAC=∠A,∠BEC=∠2，则以下结论：①1=2∠2，②∠B0C=3∠2，③∠B0C=90°+1，④∠B0C=90°+∠2 正确的是() A.①②@ B.①③④ C.①④ D.①②④ 10.如图，己知△ABC≌△DEF,CD平分∠BCA,若∠A=30°，∠CGF=88°，则∠E的度数是() E A.30° B.50° C.44o D.34° 第II卷（共70分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案写到答题纸上） 11.九边形从一个顶点出发的对角线有条， 12.十边形的内角和是外角和的倍。 试卷第2页，共6页 13.如图，在5X5的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O、A、B在方格纸的交点（格 点)上，在第四象限内的格点上找点C,使△ABC的面积为3.则这样的点C共有个一个 14.葚△4BC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B,C均落于边BC上一点2处.线段MN、EF为折痕.若∠4=82， 则∠MQE= 15.如图，己知AE⊥BC,AD平分∠BAE,∠ADB=110°，则∠B的度数为 16.如图，在△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别 交AC,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画颈，两孤 交于点P,作射线CP交AB于点D.若BD=3,AC=10,则△ACD的面积是， 17.如图，aABC中，∠C=90°，AC=BC,AD是∠BAC的平分线，DE LAB于E,若AB=12cm,则aDBE的周 长等于】 18.如图，在aMBC中，BD平分∠ABC,CE平分∠ACB的邻补角∠ACM,交BA的延长线于E,若 ∠BDC=1279,∠E=44°，则∠BAC的度数为， E 试卷第3页，共6页 三、解答题（写出解题过程，本大题8小题，共46分） 19.(本您5分) 已知a4BC的三边是a,b,c,化简b+b-c小5c-小上-h+知的值 20.(本题第1问3分，第二问2分，共5分) 如图，在aMBC中，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,求证： (1)aCD.4≌aBEC: (2)BE=AD-DE. 21.1本题6分) 如图，在△ABC中，AD是高，AE,BF是角平分线，它们相交于点O, (1)若LABC=60°，∠C=70°，求∠DAE的度数. (2)若∠ABC=a,∠C=(a<),则∠DAE的值.（用含c、B的式子表示） 22.(本题6分) 如图.0为直线4B上一点，过点O作射线O℃，使∠BOC=120°，将一卓角三角尺的直角顶点放在O处. 图0 图@ (1)当三角尺一边OM在∠BOC的内都（图①），且恰好平分∠B)C,此时直线ON是否平分∠AOC?请说明理由： (2)当三角尺一边ON在∠AOC的内部（图②），求LAOM-∠CON的值， 试卷第4页，共6页 23.(本题6分) 如图，AC L BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,AE与BD交于点F, BE (1)求证：AE=BD: (2)求∠AFD的度数. 24.(本题6分)】 如图，在△ABC中，D为BC的中点. A (1)求证：AB4AC>2AD: (2)若B=5,AC=3,求AD的取值范围。 25.(本题6分) (1)如图1，在四边形ABCD中，DP,CP分别平分∠ADC和∠BCD,试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明 理由。 (2)如图2，在大边形ABCDEF中，DP,CP分别平分∠EDC和∠BCD,请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的 数量关系为 ☒1 图2 试卷第5页，共6页 26.(本题6分) 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角棋型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）.解 决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相答条件，利用全尊三角形解决问题。 (1)己知：如图，在aABC中，∠BAC=90,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求 证：DE=BD+CE. B D (2)如图，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, 其中。为任意锐角或钝角。那么结论DB=BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由. D A Em (3)如图，将(1)中的条件改为：AB=AC,A,E,D三点都在直线m上，且有∠BDF=∠DEC=∠BAC=B,其中B为 任意锐角.那么结论DE=BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由 B D Fm 试卷第6页，共6页 2023-2024学年内蒙古师大附中八年级（上）月考数学试卷（10月份） 参考答案与试题解析 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请将答案涂到答题纸上） 1．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．5，6，11 C．1，3，5 D．5，6，10 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得， A、3+4＜8，不能组成三角形，不符合题意； B、5+6＝11，不能够组成三角形，不符合题意； C、1+3＜5，不能组成三角形，不符合题意； D、5+6＞10，能够组成三角形，符合题意． 故选：D． 2．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，连接AC，E为AC上一点，连接DE，过点B作BF∥DE，交AC于点F，则图中的全等三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【分析】根据平行线性质得出∠DAC＝∠ACB，根据SAS推出△ADC≌△CBA，推出DC＝AB，∠DCE＝∠BAF，根据全等三角形的判定即可推出△ADE≌△CBF，△CDE≌△ABF． 【解答】解：图中全等三角形有△ADC≌△CBA，△ADE≌△CBF，△CDE≌△ABF，共3对． 故选：C． 3．（3分）若△ABC≌△DEF，且∠A＝60°，∠E＝70°，则∠C的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．50°或80° 【分析】根据全等三角形的性质可得∠B＝∠E＝70°，再根据三角形的内角和定理即可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠E＝70°， ∴∠B＝∠E＝70°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°． 故选：A． 4．（3分）如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝55°，则∠BOC的度数是（　　） A．100° B．120° C．80° D．90° 【分析】利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【解答】解：如图， 延长AO交BC于点D． 根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和知 ∠BOD＝∠1+∠BAO，∠DOC＝∠2+∠OAC， ∵∠BAO+∠CAO＝∠BAC，∠BOD+∠COD＝∠BOC， ∴∠BOC＝∠1+∠2+∠BAC＝20°+25°+55°＝100°． 故选：A． 5．（3分）一块多边形木板截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到的新多边形的内角和为2340°，则原多边形的边数为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】首先求得内角和是2340°的多边形的边数，原多边形比新的多边形的边数少1，据此即可求解． 【解答】解：设内角和是2340°的多边形的边数是x，则180（x﹣2）＝2340， 解得：x＝15， 则原多边形的边数是：15﹣1＝14． 故选：B． 6．（3分）下列说法中，正确的结论有（　　） ①在Rt△ABC中，两个锐角互余； ②在两个全等三角形中，对应边相等，对应角相等； ③形状相同的两个三角形全等； ④三角形的重心是三条角平分线的交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形的性质可得①正确； 根据全等三角形对应边相等、对应角相等可得②正确； 根据全等三角形的判定方法可得③错误； 根据三角形的重心的定义可得④错误． 【解答】解：①在Rt△ABC中，两个锐角互余是正确的； ②在两个全等三角形中，对应边相等，对应角相等是正确的； ③形状和大小相同的两个三角形全等，原来的说法错误； ④三角形的重心是三条中线的交点，原来的说法错误． 故选：B． 7．（3分）如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D， 纵观各图形，A、B、C都不符合高线的定义， D符合高线的定义． 故选：D． 8．（3分）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可． 【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠OAD＝α， 在△ABC中，， ∵BC∥OA， ∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°， ∴， 整理得，α＝2β． 故选：B． 9．（3分）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2． 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE， ＝（∠ACD﹣∠ABC） ＝∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠1） ＝90°+∠1，故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD， ∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确； 故选：C． 10．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（　　） A．30° B．50° C．44° D．34° 【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵CD平分∠BCA， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝30°， ∵∠CGF＝∠D+∠BCD， ∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°， ∴∠BCA＝116°， ∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠E＝∠B＝34°， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案写到答题纸上） 11．（3分）九边形从一个顶点出发的对角线有 　6　条． 【分析】从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，本题中n＝9． 【解答】解：从九边形的一个顶点出发的对角线有9﹣3＝6（条）． 故答案为：6． 12．（3分）十边形的内角和是外角和的 　4　倍． 【分析】根据内角和公式（n﹣2）•180°计算出十边形内角和再除360即可． 【解答】解：十边形内角和为：（10﹣2）×180＝1440°， 十边形的外角和为360°， 1440°÷360°＝4． 故答案为：4． 13．（3分）如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O、A、B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有个　3　个． 【分析】先找到一个使三角形面积为3的点，再过这个点作AB的平行线，可找到符合题意的格点． 【解答】解：AB＝3， 设C到AB的距离是a，则3a＝3， 解得a＝2， 则C在到AB的距离是2，且与AB平行是直线上， 如图，在第四象限满足条件的格点有3个． 故答案为：3． 14．（3分）在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°，则∠MGE＝　82　°． 【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解． 【解答】解：∵线段MN、EF为折痕， ∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC， ∵∠A＝82°， ∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°， ∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°， ∴∠MGE＝180°﹣98＝82°， 故答案为：82． 15．（3分）如图，已知AE⊥BC，AD平分∠BAE，∠ADB＝110°，则∠B的度数为 　50°　． 【分析】首先由邻补角得∠ADE＝180°﹣110°＝70°，再由三角形内角和定理可得∠DAE的值，进而由角平分线的性质得∠BAE的大小，即可得∠B的大小． 【解答】解：∵∠ADB＝110°， ∴∠ADE＝180°﹣110°＝70°， ∵AE⊥BC， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°， ∵AD平分∠BAE， ∴∠BAE＝2∠DAE＝40°， ∴∠B＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50°． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是　15　． 【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB＝DQ＝3，再根据三角形的面积公式计算可得． 【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q， 由作图知CP是∠ACB的平分线， ∵∠B＝90°，BD＝3， ∴DB＝DQ＝3， ∵AC＝10， ∴S△ACD＝•AC•DQ＝×10×3＝15， 故答案为：15． 17．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB＝12cm，则△DBE的周长等于　12cm　． 【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DC，AC＝AE，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC，AC＝AE， ∵AC＝BC， ∴BC＝AE， ∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝12cm， 故答案为：12cm． 18．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB的邻补角∠ACM，交BA的延长线于E，若∠BDC＝127°，∠E＝44°，则∠BAC的度数为 　114°　． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及CE是外角的平分线列式求出∠ABC的度数，再根据BD为内角平分线求出∠ABD的度数，然后利用三角形的外角性质即可求出∠BAC的度数． 【解答】解：根据三角形的外角性质，∠ACM＝∠DBC+∠BDC，∠ECM＝∠ABC+∠E， ∵CE平分∠ACB的邻补角∠ACM， ∴∠ACM＝2∠ECM， 即∠DBC+∠BDC＝2（∠ABC+∠E）， ∵BD为内角平分线， ∴∠DBC＝∠ABC， ∵∠BDC＝127°，∠E＝44°， ∴∠ABC+127°＝2（∠ABC+44°）， 解得：∠ABC＝26°， ∴∠ABD＝×26°＝13°， 在△ABD中，∠BDC＝∠ABD+∠BAC， 即127°＝13°+∠BAC， 解得∠BAC＝114°． 故答案为：114°． 三、解答题（写出解题过程，本大题8小题，共46分） 19．（5分）已知△ABC的三边是a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|c﹣b+2a|的值． 【分析】根据三角形的三边关系得到a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣b+2a＞0，再根据绝对值的性质、合并同类项计算即可． 【解答】解：∵△ABC的三边是a，b，c， ∴a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣b+2a＞0， 则|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|c﹣b+2a| ＝a+b﹣c+b﹣c﹣a+c﹣b+2a ＝2a+b﹣c． 20．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．求证： （1）△CDA≌△BEC； （2）BE＝AD﹣DE． 【分析】（1）根据等角的余角相等得出∠CAD＝∠BCE，结合已知条件，直接证明△CDA≌△BEC（AAS）； （2）根据全等三角形的性质得CD＝BE，CE＝AD，根据线段的和差关系即可求解． 【解答】（1）证明：∵BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△CDA和△BEC中， ∴△CDA≌△BEC（AAS）． （2）解：由（1）知，△CDA≌△BEC， ∴CD＝BE，CE＝AD， ∵DE＝CE﹣CD， ∴DE＝AD﹣BE， ∴BE＝AD﹣DE． 21．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O． （1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度数． （2）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），则∠DAE的值．（用含α、β的式子表示） 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由AE是角平分线，AD是高，求出∠EAC和∠CAD，最后根据∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD计算即可； （2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由AE是角平分线，AD是高，求出∠EAC和∠CAD，最后根据∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°， ∵AE是角平分线， ∴， ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°； （2）∵∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β）， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣α﹣β， ∵AE是角平分线， ∴， ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣β， ∴． 22．（6分）如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角尺的直角顶点放在O处． （1）当三角尺一边OM在∠BOC的内部（图①），且恰好平分∠BOC，此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由； （2）当三角尺一边ON在∠AOC的内部（图②），求∠AOM﹣∠CON的值． 【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）根据已知条件∠MON＝90°，∠AOC＝60°，即可得到∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可． 【解答】解：（1）直线ON平分∠AOC． 理由： 设ON的反向延长线为OD， ∵OM平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB， 又∵OM⊥ON， ∴∠MOD＝∠MON＝90°， ∴∠COD＝∠BON， 又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等）， ∴∠COD＝∠AOD， ∴OD平分∠AOC， 即直线ON平分∠AOC； （2）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON， ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°． 23．（6分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F． （1）求证：AE＝BD； （2）求∠AFD的度数． 【分析】（1）先证明∠ACE＝∠BCD，再证明△DCB≌△ECA便可得AE＝BD； （2）由全等三角形得∠A＝∠B，由∠ANC＝∠BNF，∠A+∠ANC＝90°推出∠B+∠BNF＝90°，可得∠AFD＝90°． 【解答】解：（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD； （2）设BC与AE交于点N， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ANC＝90°， ∵△ACE≌△BCD， ∴∠A＝∠B， ∵∠ANC＝∠BNF， ∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°， ∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°． 24．（6分）如图，△ABC中，D为BC的中点． （1）求证：AB+AC＞2AD； （2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 【分析】（1）再延长AD至E，使DE＝AD，构造△ADC≌△EDB，再根据三角形的三边关系可得AB+AC＞2AD； （2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得5﹣3＜2AD＜5+3，再计算即可． 【解答】（1）证明：由BD＝CD，再延长AD至E，使DE＝AD， ∵D为BC的中点， ∴DB＝CD， 在△ADC和△EDB中， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AC， 在△ABE中，∵AB+BE＞AE， ∴AB+AC＞2AD； （2）∵AB＝5，AC＝3， ∴5﹣3＜2AD＜5+3， ∴1＜AD＜4． 25．（6分）（1）如图1，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在六边形ABCDEF中，DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系为 　　． 【分析】（1）利用多边形的内角和定理可得∠BCD+∠ADC＝360°﹣（∠A+∠B），结合∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD），再结合角平分线的定义可得结论； （2）利用多边形的内角和定理可得∠BCD+∠EDC＝720°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F），结合∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD），再结合角平分线的定义可得结论； 【解答】解：（1）．理由如下： ∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD， ∴，． ∵∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°， ∴∠BCD+∠ADC＝360°﹣（∠A+∠B）． ∵∠P+∠PDC+∠PCD＝180°， ∴， ∴． （2），理由如下 ∵DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD， ∴，． ∵∠A+∠B+∠E+∠F+∠BCD+∠EDC＝720°， ∴∠BCD+∠EDC＝720°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）． ∵∠P+∠PDC+∠PCD＝180°， ∴， ∴＝． 故答案为：． 26．（6分）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．求证：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．那么结论DE＝BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，将（1）中的条件改为：AB＝AC，A，E，D三点都在直线m上，且有∠BDF＝∠DEC＝∠BAC＝β，其中β为任意锐角．那么结论DE＝BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）证明△ADB≌△CEA（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，即可得结论； （2）证明△ADB≌△CEA（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，即可得结论； （3）证明△ADB≌△CEA（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝CE，AE＝BD，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：成立． ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）解：DE＝BD+CE不成立，DE＝CE﹣BD成立，理由如下： ∵∠DEC＝∠EAC+∠C，∠BAC＝∠BAD+∠EAC，∠DEC＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠BDF＝∠DEC， ∴∠BDA＝∠AEC， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AD＝CE，AE＝BD， ∴CE＝AD＝AE+DE＝BD+DE， ∴DE＝CE﹣BD． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$