专题05 抛物线（考题猜想，易错必刷30题14种题型）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题05 抛物线（易错必刷25题4种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 抛物线的定义 · 抛物线的方程 · 抛物线的焦半径 · 直线与抛物线的位置关系 一．抛物线的定义（共5小题） 1．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 2.（多选）已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】依题意，设所求抛物线方程为，则焦点为， 因为在抛物线上，且， 所以，解得 所以. 故选：CD. 3. 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【详解】设抛物线的焦点为，无论在何处，的最小值都是到轴的距离， 所以的最小值和到轴的距离之和的最小值和到准线的距离之和减去最小， 根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为. 故选：D   4．已知点是抛物线上一点，且点P到C的焦点距离为2，则 ． 【答案】2 【详解】抛物线准线方程为，则点P到C的焦点距离为，所以． 故答案为：2. 5．已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 【答案】5 【详解】抛物线的准线方程为， 设点的坐标为，则， 因为点到直线的距离为， 所以点到准线的距离为， 由抛物线定义可得. 故答案为：. 二．抛物线的方程（共3小题） 6.已知曲线过抛物线的焦点，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数过轴上定点，即为的焦点， 故的准线方程为. 故选：C. 7.过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【详解】过点向轴作垂线，垂足记为, 由题意可知，所以点坐标为， 代入抛物线方程得，所以 故答案为： 8.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则抛物线方程是 ． 【答案】 【详解】由题意得，准线方程为， 的渐近线方程为， 中，令得， 故，由勾股定理得， 故的周长为，解得， 故抛物线方程为.    故答案为： 三．抛物线的焦半径（共8小题） 9．设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的焦点的坐标为， 由抛物线定义可知2， 又，所以，解得，故， 所以为原点， 从而. 故选：D. 10.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 . 【答案】5 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程，， 由消去得，则，由，得， 联立解得或，因此，所以. 故答案为：5 11.已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为 . 【答案】8 【详解】如图所示： 设，易求，作轴于点E， 因为 ，所以 ， 所以在，， 所以 ， 又因为M是抛物线 上一点，所以 ，即 ， 解得 或 舍去 所以线段MF的长为8. 故答案为：8 12.已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 【答案】8 【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当垂直于抛物线的准线时，最小， 此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，， 半径为，所以的最小值为. 故答案为：8. 13.已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 【答案】6 【详解】设，由A，B中点的横坐标为2，可得， 所以． 故答案为：6. 14.直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，    设，则， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 15．（多选）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．焦点到准线的距离为4 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【详解】A：抛物线的准线为，故A正确； B：焦点到准线距离为，故B错误； C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的上面，故A在抛物线内部， 当直线垂直准线时 取最小值，即为，故C正确； D：根据题意，可得抛物线的焦点为， 设的中点为，可得， 由抛物线的定义，得，则，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径， 因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒ 故选：ACD 16．（多选）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是．（    ） A．若为线段中点，则的斜率为±2 B．若，则 C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2 【答案】ABD 【详解】抛物线的准线为，焦点. A项， 如图，过点作轴，垂足为，设轴与准线交点为. 若O为中点，则与全等，则， 即与焦点重合，所以， 代入方程，得. 所以直线的斜率为，故A正确； B项，若，则，解得， 所以，故B正确； C项，不妨设，则直线方程为， 令，可得，所以，， 所以，不可能， 所以FP与FQ不垂直，故C错误； D项，由C项可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时点坐标为， 所以面积的最小值为2，故D正确. 故选：ABD. 四．直线与抛物线的位置关系（共9小题） 17．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线：的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与准线交于点，则 B．对任意的直线， C．的最小值为 D．以为直径的圆与轴的公共点个数为偶数 【答案】ABC 【详解】对于A，点，在抛物线：上， 则，，而直线：，且直线与准线交于点， 则，由，得，， 设直线的方程为，由消去y整理得， 于是，，，， 即，所以，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，， ，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，，以为直径的圆的半径为 ，线段的中点坐标为，因此以为直径的圆与轴相切， 所以以为直径的圆与轴的公共点个数为1，D错误. 故选：ABC 18．已知抛物线的焦点为为上的两点．若直线的斜率为，且，延长分别交于两点，则四边形的面积为 ． 【答案】50 【详解】由题可知，抛物线的焦点坐标为． 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 与抛物线的方程联立，得，所以． 设，则，， 故． 因为，所以， 所以直线的斜率为，直线的方程为， 与抛物线的方程联立，得．所以． 设，则，， 故． 所以四边形的面积为． 故答案为：50. 19.斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B两点的中点为，则的值是 【答案】4 【详解】设，由点A、B都在抛物线上得：， 两式相减得：，等价变形为 即，又A、B两点的中点为， 所以，又 所以， 故答案为：4 20.已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，轴被以为直径的圆所截得的弦长为6，则 ． 【答案】10 【详解】 抛物线C：的焦点，易知当斜率不存在时不符合题意， 故设直线的方程为，， 设，． 则即， 恒成立， 故， AB中点的横坐标为， 即以为直径的圆的圆心到轴的距离 又，即以为直径的圆的半径， 由图知，，即， 解得，故． 故答案为：10. 21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A，若，求l的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由抛物线方程知，所以， 设，则， 又点在抛物线上，所以， 解得，即， 根据椭圆定义， 解得，，所以，所以椭圆C的方程为. （2）因为，所以，又， 直线，联立， 消去y得，，解得或， 当时，， 当时，， 所以或， 又因为直线l过点， 所以或， 可求得直线l的方程为或， 即或. 22．已知椭圆的离心率为，抛物线的焦点为点F，过点F作y轴的垂线交椭圆于P，Q两点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)过抛物线上一点A作抛物线的切线l交椭圆于B，C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x轴于点G，若，的面积分别记为，，且，点A在第一象限，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可知焦点． 不妨设点P在第一象限，由题意可知点．由点P在椭圆上，得． 又因为，即，则，可得，解得． 所以，，椭圆的标准方程为． （2）设点，由得，，所以切线l的方程为 ，即． 代入椭圆方程，得． 由，得． 设点，，，则． ， 则GE的方程为，即， 令，得． 在直线l的方程中令，得． ，， ，，可得．于是， 可得． 化简得，解得， 符合． 所以（舍去），进而，可得点A的坐标为． 23．已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 24．已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为. (1)求的方程； (2)若，求直线与轴的交点的坐标； (3)是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）依题意可得，设，，则，， 设直线的方程为，由，得， 显然，所以，， 因为，所以， 即，所以，解得或（舍去）， 所以的方程为； （2）由（1）可得，因为过点，由条件可得的斜率不为， 设直线的方程为，，， 由，得，所以，所以， 设，，同理可得， 因为直线过点， 所以，由，，即，所以， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 令，得，即， 即，解得， 所以直线与轴的交点为. （3）由（2）可得，， 若，，，四点共圆，则有， 即， 即，所以，整理得， 因为，所以，由，即， 即，解得. 25．已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）设，由可得，， ∴， ∴， 即，∵， 解得：； （2） ∵，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，， ∴，， ∵，∴， 即， 亦即， 将代入得， ，， ∴，且，解得或， 设点到直线的距离为， ∴， ， ∴的面积， 而或， ∴当时，的面积． $$专题05 抛物线（易错必刷25题4种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 抛物线的定义 · 抛物线的方程 · 抛物线的焦半径 · 直线与抛物线的位置关系 一．抛物线的定义（共5小题） 1．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 2.（多选）已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3. 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 4．已知点是抛物线上一点，且点P到C的焦点距离为2，则 ． 5．已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 . 二．抛物线的方程（共3小题） 6.已知曲线过抛物线的焦点，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7.过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 8.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则抛物线方程是 ． 三．抛物线的焦半径（共8小题） 9．设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 10.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 . 11.已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为 . 12.已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 13.已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 14.直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 15．（多选）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．焦点到准线的距离为4 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 16．（多选）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是．（    ） A．若为线段中点，则的斜率为±2 B．若，则 C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2 四．直线与抛物线的位置关系（共9小题） 17．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线：的焦点作一条与坐标轴不平行的直线，与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与准线交于点，则 B．对任意的直线， C．的最小值为 D．以为直径的圆与轴的公共点个数为偶数 18．已知抛物线的焦点为为上的两点．若直线的斜率为，且，延长分别交于两点，则四边形的面积为 ． 19.斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B两点的中点为，则的值是 20.已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，轴被以为直径的圆所截得的弦长为6，则 ． 21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A，若，求l的方程. 22．已知椭圆的离心率为，抛物线的焦点为点F，过点F作y轴的垂线交椭圆于P，Q两点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)过抛物线上一点A作抛物线的切线l交椭圆于B，C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x轴于点G，若，的面积分别记为，，且，点A在第一象限，求点A的坐标． 23．已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 24．已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为. (1)求的方程； (2)若，求直线与轴的交点的坐标； (3)是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 25．已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值． $$