专题04 双曲线（考题猜想，易错必刷32题6种题型）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题04 双曲线（易错必刷32题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 双曲线定义 · 双曲线的方程 · 双曲线的性质 · 双曲线的离心率 · 直线与双曲线的位置关系 一．双曲线的定义（共5小题） 1.（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设动点， 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：B 2.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ． 【答案】12 【详解】方程化为，则，根据题意知 又， 所以，则的周长为． 故答案为：12    3.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为且在轴上，且双曲线上存在一点使得，若轴，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】设双曲线的方程为，，由轴，得直线， 于是，解得，，， 而，因此，整理得， 而，则， 所以该双曲线离心率. 故答案为：   4.（23-24高三上·广东广州·期中）已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，的内切圆与x轴相切于点N，若，则双曲线C的离心率为 . 【答案】2 【详解】直线分别与内切圆的切点为，如图所示： 由切线的性质可得， 由双曲线的定义可得，即， 所以，即， 又，因此. 设，则， 又，因此.于是，即， 所以由，可得，即. 故答案为：2. 5.（2025·安徽·一模）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为与轴的交点为，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（    ） A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或 B．若，且，则双曲线的离心率为 C．若，则的取值范围是 D．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为 【答案】ABD 【详解】对于A，双曲线渐近线的夹角为，则或者故或． 对于B，设，则． 故，解得．又，故． 对于C， 令圆切分别为点，则， ，令点，而， 因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为， 即直线的方程为， 设直线的倾斜角为 ，那么 ， 在中， 在中， ，渐近线的斜率为． 因为均在右支上，故． 如图所求，． 对于D，，故，而． 故， 由余弦定理可知，故． 故选：ABD. 二．双曲线的方程（共4小题） 6.（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】若方程表示双曲线， 则，得. 故选：B 7.（山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 ． 【答案】 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 8.（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 9．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为. (1)分别求和的方程； (2)已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系. 【答案】(1)双曲线的方程分别为，； (2)相切或相交. 【详解】（1）依题意，双曲线N的焦距为，解得， 所以双曲线的方程为； 由双曲线与双曲线的离心率相同，得，又，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 依题意，直线的斜率，设，直线交轴于点， 直线的方程为，由消去得， ，， 由消去得， ，， ， 整理得，因此，即点在圆上或内， 而直线为时，，，满足， 所以直线与圆相切或相交. 三．双曲线的性质（共9小题） 10.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知双曲线 与 有共同的渐近线，则它们一定有相等的（    ） A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为 ， 的渐近线方程为， 由题意可得， 又 ，，所以 ， 又推不出，所以推不出 故选：D 11.（2024·河南新乡·模拟预测）（多选）已知，则双曲线与有相同的（    ） A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线 【答案】CD 【详解】对于选项A、B：设，易知的左、右焦点坐标分别为和， 而的标准方程为，故其左、右焦点坐标分别为和， 显然和的焦点和焦距均不相同，故A，B错误； 对于选项C、D：和的离心率均为，渐近线方程均为，故C，D正确． 故选：CD. 12.（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）（多选）已知双曲线，则的（    ） A．焦点在轴上 B．焦距为3 C．离心率为 D．渐近线为 【答案】AC 【详解】因为双曲线， 所以的标准方程为， 故焦点在轴上，， 故焦距为，离心率为，渐近线为， 故A，C正确，B，D错误. 故选：AC 13.（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】双曲线C：，即，为等轴双曲线，渐近线的夹角为， 则四边形为矩形， 设点，且， 点到渐近线的距离为， 点到渐近线的距离为， 则四边形的面积为. 故选：B.    14.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，过作垂直于一条渐近线，垂足为，若点关于原点对称，则 ． 【答案】 【详解】由题可得，渐近线方程为， 不妨取，即， 所以， 所以， 故答案为：． 15.（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】双曲线的右焦点为，连接， 由关于原点对称，也关于原点对称，可知四边形是平行四边形， 又，，则有，， 又由双曲线的定义得，解得， 再由余弦定理：， 即，得， 再由， 故渐近线方程为：，    故答案为：. 16.（24-25高三上·湖北·开学考试）过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是 . 【答案】 【详解】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为的直线过右焦点，    由双曲线可得渐近线方程为， 双曲线的半焦距为，故右焦点坐标为， 过倾斜角为的直线方程为， 由可得交点坐标为， 由可得交点坐标为， 倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为， 故答案为：. 17.（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，因为轴， 所以令，可得，解得：，设， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 直线的斜率为： 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 由可得，解得：, 所以，解得：，即 所以的渐近线方程为， 故选：C. 18.（23-24高二下·四川德阳·期末）（多选）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【答案】BCD 【详解】对于A，C的焦点和顶点分别为， 从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误； 对于B，双曲线C的离心率为，故B正确； 对于C，显然异于，不妨设， 注意到都在双曲线上面，且， 所以直线与的斜率之积为，故C正确； 对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，， 而点到直线的距离是，故D正确. 故选：BCD. 四．双曲线的离心率（共8小题） 19.（江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷）已知双曲线方程为，，是双曲线的两个焦点，点A是双曲线上任意一点，若A点关于的对称点为点，点关于的对称点为点，线段的长度是8，则双曲线的离心率是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意可知：、分别为、的中点， 则，即半焦距， 由方程可知：，则， 所以离心率. 故选：B. 20.（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以． 故选：B． 21.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设为双曲线的右焦点，由余弦定理可得，所以， 由双曲线的定义可得，即，故双曲线的离心率. 故选：D. 22.（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设，因为为等边三角形，则，， 又， 所以双曲线的离心率. 故选：A 24.（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线是圆的切线，所以， 由双曲线定义可得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 25.（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【详解】设，由余弦定理得，即； 在椭圆中，等于椭圆的长轴长，因此， 在双曲线中，等于双曲线的实轴长，因此， 则． 所以， 当且仅当时等号成立 故选：A 26.（24-25高三上·陕西安康·开学考试）在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】    设，则，， ，则，① 则， 所以， ， 所以，② 将①代入②得， ， 因为， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故选：A. 五．直线与双曲线的位置关系（共5小题） 27.（2023·河南周口·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】依题意，由， 得，即的平分线与直线PQ垂直， 设的平分线与直线PQ交于点D，如图， 则，，又， 所以，所以，． 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 故选：A 28.（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线：的一条渐近线与圆O：交于两点，设圆O在两点处的切线与轴分别交于两点、若双曲线的焦距为，则四边形周长的最大值为 ． 【答案】4 【详解】由题意可知渐近线方程为，， 故，故， 又, 由于焦距为，故，则， 由对称性可知四边形为平行四边形，故周长为， 设，由可得，当且仅当，即时等号成立， 故， 故最小值为4 故答案为：4 29.（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线右支上两点，若，则中点横坐标的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线右支上的点到右焦点的距离与到准线的距离之比等于离心率.（双曲线的第二定义） 由双曲线为等轴双曲线，故离心率为， 双曲线右焦点为,连接，取中点为， 过，分别作准线的垂线，垂足分别为, 设，则， 故根据双曲线的第二定义可得： ， 则，当且仅当三点共线时，取最小值， 故此时中点的横坐标最小为， 故选：A    30.（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与交于两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】    由题意，，所以，， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，且面， 所以平面，又平面，所以， 所以， ， 因为， 所以由余弦定理有， 即， 所以，即， 所以或，又离心率， 所以， 故答案为：. 31.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为 (1)求的标准方程； (2)若过的直线与的左、右支分别交于点，与圆交于与不重合的两点. ①求直线斜率的取值范围； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意可得， 且右焦点到渐近线的距离为， 所以，， 所以的标准方程为. （2）①由（1）知，，设，， 由题意可得直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为 与联立得， 所以，， ，， 又两点在轴同一侧，所以. 此时，即. 圆的方程为，点到直线的距离， 由得， 由，得， 所以或， 因为直线的斜率， 所以直线斜率的取值范围是. ② . ， 所以， 设，则 ， 所以的取值范围是.    32.（23-24高三上·河南·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其中一个焦点到 上的点的最小距离为 ． (1)求E的方程； (2)已知直线与双曲线E交于A，B两点，过,作直线的垂线分别交于另一点,,求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不妨设双曲线的半焦距为，因为的一条渐近线的倾斜角为， 所以，① 因为一个焦点到上的点的最小距离为， 所以，② 又，③ 联立①②③，解得， 则的方程为； （2）联立，消去并整理得， 不妨设， 由韦达定理得， 不妨设，所以， 此时， 易知直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 同理， 所以 ， 故四边形的面积. $$专题04 双曲线（易错必刷32题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 双曲线定义 · 双曲线的方程 · 双曲线的性质 · 双曲线的离心率 · 直线与双曲线的位置关系 一．双曲线的定义（共5小题） 1.（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ． 3.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为且在轴上，且双曲线上存在一点使得，若轴，则该双曲线的离心率为 ．  4.（23-24高三上·广东广州·期中）已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，的内切圆与x轴相切于点N，若，则双曲线C的离心率为 . 5.（2025·安徽·一模）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为与轴的交点为，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（    ） A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或 B．若，且，则双曲线的离心率为 C．若，则的取值范围是 D．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为 二．双曲线的方程（共4小题） 6.（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7.（山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 ． 8.（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 9．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为. (1)分别求和的方程； (2)已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系. 三．双曲线的性质（共9小题） 10.（24-25高三上·上海·阶段练习）已知双曲线 与 有共同的渐近线，则它们一定有相等的（    ） A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率 11.（2024·河南新乡·模拟预测）（多选）已知，则双曲线与有相同的（    ） A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线 12.（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）（多选）已知双曲线，则的（    ） A．焦点在轴上 B．焦距为3 C．离心率为 D．渐近线为 13.（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 14.（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，过作垂直于一条渐近线，垂足为，若点关于原点对称，则 ． 15.（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ． 16.（24-25高三上·湖北·开学考试）过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是 . 17.（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 18.（23-24高二下·四川德阳·期末）（多选）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 四．双曲线的离心率（共8小题） 19.（江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷）已知双曲线方程为，，是双曲线的两个焦点，点A是双曲线上任意一点，若A点关于的对称点为点，点关于的对称点为点，线段的长度是8，则双曲线的离心率是（    ） A． B．2 C． D．4 20.（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 21.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 22.（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 24.（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 25.（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 26.（24-25高三上·陕西安康·开学考试）在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 五．直线与双曲线的位置关系（共5小题） 27.（2023·河南周口·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 28.（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线：的一条渐近线与圆O：交于两点，设圆O在两点处的切线与轴分别交于两点、若双曲线的焦距为，则四边形周长的最大值为 ． 29.（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线右支上两点，若，则中点横坐标的最小值为（    ） A． B． C． D． 30.（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的直线与交于两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为 ． 31.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为 (1)求的标准方程； (2)若过的直线与的左、右支分别交于点，与圆交于与不重合的两点. ①求直线斜率的取值范围； ②求的取值范围. 32.（23-24高三上·河南·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其中一个焦点到 上的点的最小距离为 ． (1)求E的方程； (2)已知直线与双曲线E交于A，B两点，过,作直线的垂线分别交于另一点,,求四边形的面积. $$