专题03 椭圆（考题猜想，易错必刷31题5种题型）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题03 椭圆（易错必刷31题5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 椭圆的定义 · 椭圆的方程 · 椭圆的性质 · 椭圆的离心率 · 直线与椭圆的位置关系 一．椭圆的定义（共6小题） 1.（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【详解】设动圆的圆心的坐标为，半径为， 因为动圆与圆：内切，且与圆：外切， 可得， 所以, 根据椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以动点的轨迹方程为. 所以其轨迹为焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 2.（2024·四川成都·二模）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由椭圆的定义可得, 在 中，由余弦定理， 又 ,可得： ，即, 即，即， 则， 故选：A. 3.（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 【答案】2 【详解】    由椭圆方程知：，，， ，， 由椭圆定义知：， ， 解得：. 故答案为：2. 4.（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 【答案】4 【详解】 由，， 又直线的斜率为， 则，， 又椭圆方程为：，. ,解得， 又，，，即. 故答案为：4． 5.（13-14高二下·江苏常州·期中）在直角坐标系中，点到点、的距离之和是，点的轨迹是 (1)求轨迹的方程； (2)设点，点P是椭圆上的一个动点，F为右焦点，求的最小值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)3； 【详解】（1）因为点到点、的距离之和是， 可知点M的轨迹是长轴长为，以、为焦点的椭圆， 则， 所以轨迹的方程为. （2）由（1）可知：，    设，则，即， 则， 且，则， 且点P到直线的距离为，可得， 则， 对于，令，可得，解得或（舍去）， 所以的最小值为3，此时点P的坐标为. 6.（23-24高二上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【详解】（1）设，则，则， 又，所以，得， 因为点在抛物线上，所以， 所以动点的轨迹方程为 （2）显然直线斜率存在且不为0，设方程为， 由得，， 设，则， 所以①， 直线的方程为， 由得，， 设，则②， 由①②得，整理得③， 若直线斜率不存在，则，代入③可得， 则，所以直线方程为； 若直线斜率存在，则， 则直线方程为，即， 将③代入得， 即，故直线斜率存在时过定点. 综上，直线过定点. 二．椭圆的方程（共5小题） 7.（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 8.（23-24高二下·江苏常州·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【详解】，解得， 故实数k的取值范围是. 故答案为： 9.（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：，即，则， 且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为. 故答案为：. 10.（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的弦与分别平行于轴与轴，且相交于点．已知线段的长分别为，则的面积为 ． 【答案】 【详解】根据椭圆的对称性，不妨设，且， 根据题意，可得，所以， 则，且，即， 将点代入椭圆的方程，可得和， 解得，则， 所以的面积. 故答案为：. 11．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4. (1)求椭圆C的标准方程 (2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在最大值，最大值为 【详解】（1）由题意可知：，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4， 所以，即，，所以椭圆的标准方程为：. （2）由题意可知直线的斜率不为，且斜率不可能不存在（否则重合），所以设直线的方程为：， 与椭圆的方程联立，得， 消去，得， 所以， 设，，则， 由根与系数的关系，得 ， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为， 令，得， 即直线与轴交于一个定点，记为， 则，等号成立当且仅当. 三．椭圆的性质（共5小题） 12.（23-24高二上·青海西宁·期中）（多选）已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C． D．9 【答案】AC 【详解】因为椭圆焦点在轴上，所以焦距为，所以，解得. 故选：AC. 13.（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 【答案】 【详解】已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为， 则， 不妨设，， 则. 故答案为：． 14.（23-24高二上·江西赣州·期中）椭圆的标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则 ． 【答案】16 【详解】椭圆的标准方程为，焦距为，焦点在轴上， ， ， 故答案为：16． 15.（23-24高二上·黑龙江鹤岗·期中）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得． 故选：A． 16.（2024高二·江苏·专题练习）（多选题）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（    ）    A．轨道Ⅱ的长轴长为 B．轨道Ⅱ的焦距为 C．若不变，越小，轨道Ⅱ的短轴长越大 D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越小 【答案】AB 【详解】设椭圆长轴，短轴，焦距， 对于A选项，由椭圆的性质可知，轨道Ⅱ的长轴长为，故选项A正确； 对于B选项，由椭圆的性质知，，又因为，所以，故选项B正确； 对于C选项，由前面选项知， 若R不变，越小，越小，轨道Ⅱ的短轴长越小，故选项C错误； 对于D选项，因为， 若r不变，R越大，则越小，所以越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故选项D错误. 故选：AB. 四．椭圆的离心率（共7小题） 17.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设C的右焦点为，因为，所以，所以，所以， 设， 因为，所以， 所以 ，解得. 故选：C. 18.（23-24高二下·广西贵港·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】由，得，则，则， 则，即，解得， 则， 因为，所以， 即，整理得， 则，解得或， 故或． 故选：B. 19.（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以.    故选：A 20.（23-24高二下·江苏南通·期中）设椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为，连接并延长交椭圆C于点P，若，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】依题意，，由， 得：，而， 于是得， 令椭圆半焦距为c，有，如图， 在中，由余弦定理得：， 即，整理得， 因此，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 21.（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与交于两点.若的面积是面积的2倍，则的离心率为 . 【答案】 【详解】根据题意，作图如下： 设，则， 在△中，， 由余弦定理可得：， 即，解得； 在△中，，同理可得，故； 由题可知，，， 故，即，解得. 故答案为：. 22.（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，是椭圆上一点，线段与轴交于，若，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】因为，所以设，则， 因为，所以，所以，所以， 由椭圆定义知：， 在中，由余弦定理得：， 所以，所以或，所以或，又，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 23.（2024·河南开封·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，， 所以，， 又， 所以，即，即， 所以，所以离心率； （2）由（1）可得，，则椭圆方程为， 射线的方程为， 联立，整理可得， 解得或，则，即， 所以，解得，则， 所以的周长．    五．直线与椭圆的位置关系（8道题） 24.（23-24高二下·河南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则，即， 则，从而，，所以， 如图，取的中点为，则， 在中，. 在中，由余弦定理得，， 化简得，则. 故选：D 25.（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 【答案】3 【详解】设坐标为，则， 作差可得，则， 根据题意可得，，则，解得. 当时，联立，可得， 其，满足题意；故. 故答案为：. 26.（23-24高二下·山西·期中）已知焦点在轴上的椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，坐标原点为.，，三点满足，且为椭圆与圆：的一个切点． (1)求椭圆的方程； (2)设为过的直线，与圆交于两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设：（）， 因为为上顶点且为与圆：的切点，所以， 令，因为，所以， 所以，即：． （2）因为，所以， 1°当斜率存在时，设：， 所以到的距离， 则， 所以， 2°当斜率不存在时，，， 综上，的取值范围为． 27.（22-23高二下·江西·期中）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，，过的直线交曲线于A，两点，交曲线于，交曲线于，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 因为，则，可知圆内含于圆， 设动圆的半径为， 若动圆与圆内切，且与圆外切，    则，可得， 所以动圆的圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆， 设其方程为，其中，， 则，， 所以轨迹的方程为. （2）设 ，    则有 ， 则直线AM的方程为： ，直线AB的方程为，则 ， 联立方程 ， 解得： ， 又点 在椭圆C上， ， 代入上式化简得：  ， ； 同理可得： ， 所以 ， 即 ，为定值. 28.（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知椭圆C：过点，且它的长轴长是短轴长的3倍．斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示，点P在直线l的上方）． (1)求椭圆C的方程； (2)试判断直线PA，PB的斜率和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，0 【详解】（1）由题意知椭圆C：过点，且它的长轴长是短轴长的3倍， 故，解得， 故椭圆C的方程为； （2）由题意设直线l的方程为，当l经过时， ， 由于点P在直线l的上方，故； 联立，得，需满足 即， 设，，则， 则， 而 即，故直线PA，PB的斜率和为定值,定值为0. 29.（23-24高二下·河南·期中）已知椭圆过点，直线过的上顶点和右焦点，的倾斜角为，且满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)设两点为椭圆的左、右顶点，点（异于左、右顶点）为椭圆上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）因为， 由题意可知：，则， 可得，解得或（舍去）， 即的斜率为， 由题意可知：，解得， 所以椭圆方程为. （2）由（1）可知， 设，由可得， 则， 所以为定值. 30.（23-24高二下·广东东莞·期中）已知椭圆：的右顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左焦点和左顶点分别为和，过点的直线与C交于M，N两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意可得：． 又，则，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）得，所以直线的方程为， 由，可得， 设，，显然， 所以，， 故． 由题意可得，，则直线的方程为， 直线的方程为． 设直线与的交点坐标为， 则， 故 ， 解得，故直线与的交点在直线上．      31.（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则， 由消去得，显然， 则， 的面积 ，解得， 所以直线的斜率.    $$专题03 椭圆（易错必刷31题5种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 椭圆的定义 · 椭圆的方程 · 椭圆的性质 · 椭圆的离心率 · 直线与椭圆的位置关系 一．椭圆的定义（共6小题） 1.（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知动圆M和圆：内切，并和圆：外切，则动圆圆心M的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆 2.（2024·四川成都·二模）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 3.（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知点P在焦点为、的椭圆上，若，则的值为 ． 4.（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ． 5.（23-24高二下·江苏常州·期中）在直角坐标系中，点到点、的距离之和是，点的轨迹是 (1)求轨迹的方程； (2)设点，点P是椭圆上的一个动点，F为右焦点，求的最小值及此时点P的坐标； 6.（23-24高二上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 二．椭圆的方程（共5小题） 7.（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8.（23-24高二下·江苏常州·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 9.（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为 ． 10.（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的弦与分别平行于轴与轴，且相交于点．已知线段的长分别为，则的面积为 ． 11．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知椭圆C：＝1（）的右焦点F的坐标为，且椭圆上任意一点到两点的距离之和为4. (1)求椭圆C的标准方程 (2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 三．椭圆的性质（共5小题） 12.（23-24高二上·青海西宁·期中）（多选）已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C． D．9 13.（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 14.（23-24高二上·江西赣州·期中）椭圆的标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则 ． 15.（23-24高二上·黑龙江鹤岗·期中）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 16.（2024高二·江苏·专题练习）（多选题）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（    ）    A．轨道Ⅱ的长轴长为 B．轨道Ⅱ的焦距为 C．若不变，越小，轨道Ⅱ的短轴长越大 D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越小 四．椭圆的离心率（共7小题） 17.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 18.（23-24高二下·广西贵港·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 19.（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 20.（23-24高二下·江苏南通·期中）设椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为，连接并延长交椭圆C于点P，若，则该椭圆的离心率为 ． 21.（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与交于两点.若的面积是面积的2倍，则的离心率为 . 22.（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，是椭圆上一点，线段与轴交于，若，，则椭圆的离心率为 . 23.（2024·河南开封·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． (1)求的离心率； (2)射线与交于点，且，求的周长． 五．直线与椭圆的位置关系（8道题） 24.（23-24高二下·河南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 25.（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 26.（23-24高二下·山西·期中）已知焦点在轴上的椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，坐标原点为.，，三点满足，且为椭圆与圆：的一个切点． (1)求椭圆的方程； (2)设为过的直线，与圆交于两点，求的取值范围． 27.（22-23高二下·江西·期中）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，，过的直线交曲线于A，两点，交曲线于，交曲线于，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 28.（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知椭圆C：过点，且它的长轴长是短轴长的3倍．斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示，点P在直线l的上方）． (1)求椭圆C的方程； (2)试判断直线PA，PB的斜率和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 29.（23-24高二下·河南·期中）已知椭圆过点，直线过的上顶点和右焦点，的倾斜角为，且满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)设两点为椭圆的左、右顶点，点（异于左、右顶点）为椭圆上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 30.（23-24高二下·广东东莞·期中）已知椭圆：的右顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左焦点和左顶点分别为和，过点的直线与C交于M，N两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 31.（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. $$