专题05 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题05 三角形中的倒角模型之平分平行（射影） 构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 6 12 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过上一点M作，与OB相交于点N，，则 ．    例2．（2023·浙江·八年级期中）如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于 ． 例3．（2023·重庆·八年级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC= ．    例4.（2023.江苏八年级期中）如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________． 例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系. (2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由. 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 例1．（2023·江苏扬州·七年级校考期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为1，则的面积为 ． 例2．（2023春·浙江八年级专题练习）如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．三条高的比为 例3．（2023·河南驻马店·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治·波利亚．本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题（有些是非数学的））进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型． 共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形． 共高定理：如图①，设点M在直线上，点P为直线外一点，则有 下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P作于点Q，．．．．．． 按要求完成下列任务： (1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明； (2)如图②，，①画出的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）； ②若的平分线交于D，求证：；(3)如图③，E是平行四边形边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为2，则的面积为 ； 例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：． 例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接．(1)如图1，当点D是边的中点时，_____；(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，D为的中点且，平分，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D．9 2．（2024·内蒙古包头·九年级统考学业考试）如图，是的角平分线，，分别是，的高，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东聊城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）如图，的三边、、的长分别是8，10，14，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2023·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列说法中正确的有（    ）个. 1）垂直平分；2）；3）；4）四边形的面积是面积的一半    A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，相交于点于，，下列四个结论：①；②；③若的周长为，则；④若，则．其中正确的结论有（    ）个．    A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（    ） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 8．（2023秋·四川南充·八年级校考期末）如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2023·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，在中，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，则的长为（　　） A． B．3 C． D． 10．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（　　）    A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF 11．（2023春·贵州毕节·八年级期末）如图，的三边长分别是20、30、40，其三条角平分线将分成三个三角形，则等于 ．      12．（2023·广东·八年级专题练习）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线交于点G． 如果，求= ． 13．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点D、E．若，，则的周长为 14．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．    （1）如图1，当平分时，若，，则 ；（2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 . 15．（2023·浙江八年级课时练习）如图，已知、的平分线相交于点，过点且． （1）若，，求的度数； （2）若，，求、的度数．    16．（2023广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________． （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长． （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明． 17．（2024·福建厦门·八年级校考期中）如图，为的角平分线． （1）如图1，若于点，交于点，，．则________； （2）如图2，若，，的面积是10，求的面积； （3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示） 18．（2024八年级·山东·培优）如图，在中，，于点，平分，交于点，交于点．(1)若，求证：；(2)如图，作交于点，求证：．    19．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小范同学在学习了角平分线的相关知识后，对三角形的角平分线进行深入探究：如图①，在中，的平分线交于点D． 【动手操作】（1）如图①，过点D作于点E，作于点F，过点A作于点G，根据题意在图中画出图形，并完成下列问题： 又 与的数量关系为_____________． 【问题解决】（2）如图②，在中，的平分线交BC于点D，，根据（1）中发现的规律，求的长． 【拓展延伸】（3）如图③，在中，的平分线交于点D，，求的长． 20．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点． ，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形中的倒角模型之平分平行（射影） 构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 6 12 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过上一点M作，与OB相交于点N，，则 ．    【答案】25度/ 【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可． 【详解】∵，∴，由题意可知：平分， ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用． 例2．（2023·浙江·八年级期中）如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于 ． 【答案】13 【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC. 【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB， 由∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB， ∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴DO=DB，EO=EC，· 又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键． 例3．（2023·重庆·八年级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC= ．    【答案】12 【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG=∠EGB，从而得到EB=EG，同理可得DF=DC，再根据EB+DC=EG+DF=ED+FG即可得答案． 【详解】∵BG平分∠EBC∴∠EBG=∠GBC ∵ED∥BC∴∠EGB=∠GBC∴∠EBG=∠EGB ∴EB=EG 同理可得DF=DC ∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12故答案为：12． 【点睛】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键． 例4.（2023.江苏八年级期中）如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________． 【答案】4cm；4cm． 【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证； 由角度分析易知，即，则有； 又可证，则，则，． 【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型． 例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系. (2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由. 【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC． 【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC； 已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC． （2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立． （3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC． 【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC； EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下： ∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形； ∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB， ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， ∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO， ∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形， ∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB， ∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形， ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB； ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO； 即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF； （2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立． ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB； ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO； 即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF； （3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下： 同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG； ∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG， ∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 例1．（2023·江苏扬州·七年级校考期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为1，则的面积为 ． 【答案】42 【分析】连接BF，利用高相等，底边成比例的三角形面积之间的关系即可求解． 【详解】解：连接BF，如图， ∵， ∴ ∵是的中点，∴，∴ ∵，∴∴ ∴ ∴∴ 故答案为：42． 【点睛】此题主要考查了三角形面积之间的关系，熟练掌握高相等的三角形，面积的比就等于底边的比是解题的关键． 例2．（2023春·浙江八年级专题练习）如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．三条高的比为 【答案】B 【分析】根据三角形角平分线的性质，利用等积法即可求解． 【详解】解：∵的角平分线、、交于点， ∴点到三角形三边的距离相等，设点到三角形三边的距离为x 故选：B 【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是明确角平分线的性质在几何证明中的作用． 例3．（2023·河南驻马店·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治·波利亚．本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题（有些是非数学的））进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型． 共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形． 共高定理：如图①，设点M在直线上，点P为直线外一点，则有 下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P作于点Q，．．．．．． 按要求完成下列任务： (1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明； (2)如图②，，①画出的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）； ②若的平分线交于D，求证：；(3)如图③，E是平行四边形边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为2，则的面积为 ； 【答案】(1)见解析(2)①图见解析②证明见解析(3)2 【分析】（1）利用面积公式，补全证明即可；（2）①根据角平分线的作图方法，画出的平分线即可；②过点作于点，于点，利用角平分线的性质，三角形的面积公式，以及共高定理，即可得证；（3）证明，得到，根据共高定理，得到：，进而得到即可得出结果． 【详解】（1）解：补全剩余证明如下： ∵ ∴； （2）①如图所示：即为所求； ②证明：如图，过点作于点，于点， ∵是的平分线，∴， ∴， 由共高定理，得：， ∴； （3）∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，∴，∴ 又∵，∴，由共高定理，可得：， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质．理解并掌握共高定理，是解题的关键． 例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：． 证明：过C作AD的平行线交AB于点E． ∵ ∴，∠1=∠3，∠2=∠4 ∵AD为∠BAC的外角平分线 ∴∠1=∠2 ∴∠3=∠1=∠2=∠4 ∴AE=AC ∴ 例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接．(1)如图1，当点D是边的中点时，_____；(2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3)16 【分析】（1）过A作于E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过D作于E，于F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；（3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】（1））过A作于E，∵点D是边上的中点，∴， ∴故答案为：； （2）过D作于E，于F，∵为的角平分线，∴， ∵，，∴； （3）∵，∴由（1）知：，∵，∴， ∵，平分，∴由（2）知：， ∴，∴，故答案为：16． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，D为的中点且，平分，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查平行的性质，等边对等角，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据题意证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，，， 又平分，∴，，， D为的中点，．故选：C． 2．（2024·内蒙古包头·九年级统考学业考试）如图，是的角平分线，，分别是，的高，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质定理，得到PM=PN，由HL证明△APM≌△APN，即可判断A；由三角形的面积公式，得到，即可判断B；由三角形的面积公式，得到，即可判断C；由，即可判断D． 【详解】解：如图：作AD⊥BC与点D， ∵是的角平分线，，分别是，的高，∴PM=PN， ∵∠AMP=∠ANP=90°，AP为公共边，∴△APM≌△APN，∴；故A正确； ∵，，∴， ∵PM=PN，∴，∴，故B正确； ∵，故C正确； ∵，∴，故D错误；故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理和三角形的面积公式进行解题． 3．（2023·山东聊城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过D点作于E，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求的值． 【详解】解：过D点作于E，如图， ∵是的平分线，，，∴， ∴．故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 4．（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）如图，的三边、、的长分别是8，10，14，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，，，垂足分别为，，，根据角平分线的性质可知：，利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】解：过点作，，，垂足分别为，，， 的三条角平分线交于点，，在中，，，， ，故选：C． 【点睛】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得是解题的关键． 5．（2023·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列说法中正确的有（    ）个.    1）垂直平分；2）；3）；4）四边形的面积是面积的一半 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质、三角形的面积公式和全等三角形的判定与性质依次分析判断即可． 【详解】解：∵、分别是和的高，∴， ∵平分，∴，故（2）正确； ∴， 又∵，∴，即，故（3）正确 ∵，∴，∴，∴垂直平分， 但由于不一定是直角，则条件不足以判定垂直平分，故（1）不一定成立； ∵，， ∵不一定等于，故（4）不一定成立；故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式和全等三角形的判定与性质，解题关键是牢记相关概念 与性质，正确分析推理． 6．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，相交于点于，，下列四个结论：①；②；③若的周长为，则；④若，则．其中正确的结论有（    ）个．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可验证结论①；如图所示，在上截取，可证，，根据全等三角形的性质可验证结论②；如图所示，连接，过点分别作于点，作于点，根据角平分线的性质，三角形的面积计算方法可验证结论③；结合结论②，③，图形结合，等面积法等知识可验证结论④． 【详解】解：结论①， ∵，，∴， ∵是的角平分线，∴，， ∴，在中，， ∴，故结论①正确； 结论②，由结论①正确可知，， ∵，∴， ∵，∴，如图所示，在上截取，    ∵是的角平分线，∴， ∴在中，，∴， ∴，∴， ∴，，∴在中， ，∴，∴， ∴，故结论②正确；结论③若的周长为，则， 如图所示，连接，过点分别作于点，作于点，       ∵是的角平分线，，， ∴平分，，且， ∵， ∴，故结论③错误； 结论④若，则， 如图所示，连接，过点分别作于点，作于点， ∵，，且，∴， 如图所示，过点作于点，       ∴，，∴，且， ∴，同理，，如图所示， 由结论②正确可知，，，且∴， ∴，∴，∴，故结论④正确； 综上所述，正确的有①②④，个，故选：． 【点睛】本题主要考查三角形的综合知识，掌握角的和差计算方法，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线交的性质，线段之间比例的计算方法等知识的综合是解题的关键． 7．（23-24八年级下·山东德州·开学考试）如图，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是①都是等腰三角形；②；③的周长为；④．（    ） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，，， 是的平分线，是的平分线，，， ，，，都是等腰三角形．故①正确， ，，即有，故②正确， 的周长．故③正确， 不一定相等，故④错误，故选：C． 8．（2023秋·四川南充·八年级校考期末）如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据角相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证明； ②与不能得出全等的结论，无法证明； ③若，无法推出；④利用三角形面积的公式即可证明； ⑤通过设未知数找到等量关系，从而证明． 【详解】①∵∴， ∵内角和外角的平分线交于点 ∴，∴， ∴，∴∴，故①正确． ②与只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，不能推出，故②错误 ③若，则，则，无法推出，故③错误 ④的面积为乘以点到线段的距离乘以 的面积为乘以点到线段的距离乘以 点到线段的距离与点到线段的距离相等∴，故④正确 ⑤过点E作于N，于D，于M，如图， ∵平分，∴ ∵平分，∴∴，∴平分， 设，，， 则，， ∵，∴，∴∘， ∵，∴，∴， 即，故⑤正确；故选C 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等多个知识点，解题的关键是灵活运用相关的定理进行求解． 9．（2023·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，在中，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F．若，则的长为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理得出，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出，再利用勾股定理得出的长，即可得出答案． 【详解】解：过点F作于点G， ∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵平分，，∴， ∴，∴，∴, ∵，∴，∴设，则， 则，解得：，即的长为．故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出． 10．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（　　）    A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF 【答案】C 【分析】求出∠CAF＝∠BAF，∠B＝∠ACD，根据三角形外角性质得出∠CEF＝∠CFE，即可得出答案； 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B， ∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAF，∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF， ∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF．故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键． 11．（2023春·贵州毕节·八年级期末）如图，的三边长分别是20、30、40，其三条角平分线将分成三个三角形，则等于 ．      【答案】 【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的边上的高相等，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点O作于D，于E，于F，    ∵O是三条角平分线的交点，∴，∵，∴ ．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 12．（2023·广东·八年级专题练习）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F．③作射线交于点G． 如果，求= ． 【答案】 【分析】由作图步骤可知为的角平分线，过G作于M，于N，可得，最后运用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点G作于M，于N． 由作图可知，平分，∵，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键． 13．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点D、E．若，，则的周长为 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意证得与是等腰三角形，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 由在中，与的平分线交于点，过点作，证得与是等腰三角形，即，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点，， ，， ，， ，的周长为 ，故答案为：9． 14．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接．    （1）如图1，当平分时，若，，则 ；（2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，，，则 . 【答案】 / 9 【分析】（1）过作于E，于，根据角平分线性质得到，再根据三角形面积公式即可得到答案；（2）根据可得到，再根据，和（1）的结论得到，即可求出的面积． 【详解】解：（1）如图1，过D作于E，于F，    是的角平分线，， ，，，故答案为：； （2），∴，，，平分， 由（1）可知：，， ，故答案为：9． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，灵活运用（1）（2）得出的结论是解题关键． 15．（2023·浙江八年级课时练习）如图，已知、的平分线相交于点，过点且．    （1）若，，求的度数； （2）若，，求、的度数． 【答案】（1）125°  （2）60°；40° 【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可；（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解； 【详解】解：（1）∵和的平分线与相交于点， ∴，， 又，，∴，， ∴； （2）∵，∴， ∵，∴，， ∵，∴，， ∵和的平分线与相交于点，∴，． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用． 16．（2023广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有________个等腰三角形：与、之间的数量关系是________，的周长是________． （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长． （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明． 【答案】（1）5，，20（2）2，，证明见详解，18 （3），证明见详解 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”可知， ，即可求出，，根据“等角对等边”可知，即可确定等腰三角形的数量，与、之间的数量关系以及的周长； （2）若为不等边三角形，根据角平分线的定义可知，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知，即可推导，然后根据“等角对等边”即可证明，然后解答即可； （3）根据角平分线的定义可知，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知，即可推导，然后根据“等角对等边”即可证明，即可证明与、之间的数量关系． 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，，∴， ∴等腰三角形有，共计5个，∴，即， ∴的周长， 故答案为：5，，20； （2）若为不等边三角形， ∵平分，平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴等腰三角形有，共计2个，故答案为：2； ∵，∴，即； ∴的周长； （3）与、之间的数量关系为：， 证明：∵平分，平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，即与、之间的数量关系为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． 17．（2024·福建厦门·八年级校考期中）如图，为的角平分线． （1）如图1，若于点，交于点，，．则________； （2）如图2，若，，的面积是10，求的面积； （3）如图3，若，，，请直接写出的长（用含，的式子表示） 【答案】（1）2；（2）24；（3） 【分析】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案； （2）作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F，根据角平分线的性质得出DE=DF，根据的面积求出DF，再求△ABD的面积，最后求出的面积；（3）在AB上取AN＝AC，可得CD＝DN＝m﹣n，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出BD的长． 【详解】解：（1）∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD， ∵CE⊥AD，∴∠CFA＝∠EFA， 在△AEF和△ACF中，∴△AEF≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AC＝5，∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，故答案为：2； （2）如图，作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F ∵的面积是10，AC=5，∴DF=2×10÷5=4，∵为的角平分线，∴DE=DF=4， ∴=,∴．     （3）如图，在AB上取AN＝AC， ∵AD是△ABC的平分线，∴∠NAD＝CAD， 在△ADN与△ADC中， ∴△ADN≌△ADC（SAS），∴∠AND＝∠C，DN＝CD， ∵∠C＝2∠B，∴∠AND＝2∠B，∴∠B＝∠BDN， ∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n，∴CD＝DN＝m﹣n， 根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得： ，∴，∴BD＝，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键． 18．（2024八年级·山东·培优）如图，在中，，于点，平分，交于点，交于点．    (1)若，求证：；(2)如图，作交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析． 【分析】（）由，得到，进而得到，由角平分线得到，即可得到，再根据所对的直角边等于斜边的一半，可得到，推导出，同理可得，即可求证；（）作交于点，则为平行四边形，利用判定方法证明，即可求证；本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴； （2）证明：作交于点，则为平行四边形，∴，，    ∵，，，∴， 在和中，，∴，∴． 19．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小范同学在学习了角平分线的相关知识后，对三角形的角平分线进行深入探究：如图①，在中，的平分线交于点D． 【动手操作】（1）如图①，过点D作于点E，作于点F，过点A作于点G，根据题意在图中画出图形，并完成下列问题： 又 与的数量关系为_____________． 【问题解决】（2）如图②，在中，的平分线交BC于点D，，根据（1）中发现的规律，求的长． 【拓展延伸】（3）如图③，在中，的平分线交于点D，，求的长． 【答案】（1），，；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，等腰三角形等边对等角，等角对等边． （1）根据题意补全图形，根据三角形的面积公式，即可解答； （2）根据（1）中得出的结论，代入数据进行计算即可； （3）在上截取，通过证明，得出，再求证，得出，结合（1）中的结论，代入数据即可解答． 【详解】解：（1）补全图形如图所示： 又与的数量关系为， 故答案为：，，； （2）由（1）可得：，∵．∴，解得：； （3）在上截取， ∵平分，∴，∵，，， ∴，∴，设， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， 由（1）可得：，∴，解得：． 20．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点． ，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，由，可求证 ，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解． （3）根据（1）可得，进而得出，根据是中点,得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图②，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴ ，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是角平分线， ∴ ， ∵，，， ∴， 解得cm．经检验符合题意． （3）解：∵是角平分线， ∴，∴，∴， ∵是中点，∴，∵，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$