专题05 全等三角形模型之对角互补模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题05 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°—90°型对角互补模型、120°—60° 型对角互补模型、 α—（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 2 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 18 模型3.全等模型-对角互补模型（α — 180°-α） 42 51 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，中，，，点是斜边的中点，点、分别在边、上，且，垂足为． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，将绕点D旋转，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)如图3，连接，请直接写出、、之间的数量关系，不必证明． 【答案】(1)，详见解析(2)将绕点点旋转，（1）中的关系还成立，详见解析(3) 【分析】（1）连接，证明是的平分线，即可得证；（2）将绕点点旋转，（1）中的关系还成立，过作于，于， 证明，即可得证； （3）过作于，于，连接，得出四边形是正方形，是等腰直角三角形，则，又由（2）可得，则，进而得出，在中，勾股定理，得出，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下：连接，如图： ，，，即， ，为中点，是的平分线， ，，角平分线上的点到两边的距离相等；故答案为：； （2）将绕点点旋转，（1）中的关系还成立，理由如下： 过作于，于，如图： 同（1）可得，，， ，即， ，∴，；. （3）解：过作于，于，连接，如图： ∴四边形是矩形， 由（1）可得，∴四边形是正方形，∴， ∵是的中点，∴，∴是等腰直角三角形， ∵，，∴，又由（2）可得∴， ∴，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 例2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________； (2)如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明． 【答案】(1)S△DEF＋S△CEF＝S△ABC(2)上述结论S△DEF＋S△CEF＝S△ABC成立，证明见解析 (3)S△DEF－S△CEF＝S△ABC 【分析】（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；（2）过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，证明△DME≌△DNF（ASA），得出S△DME=S△DNF，即可得出结论；（3）同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF=S五边形DBFEC=S△CFE+S△DBC=S△CFE+S△ABC． 【详解】（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形． 设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为a． ∴S△ABC=a2，S正方形DECF=（a）2=a2即S△DEF+S△CEF=S△ABC；故答案为：S△DEF+S△CEF=S△ABC； （2）（1）中的结论成立；证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°， 又∵∠C=90°，∴DM∥BC，DN∥AC，∵D为AB边的中点， 由中位线定理可知：DN=AC，MD=BC，∵AC=BC，∴MD=ND， ∵∠EDF=90°，∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，∴∠MDE=∠NDF， 在△DME与△DNF中，，∴△DME≌△DNF（ASA）， ∴S△DME=S△DNF，∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF， 由以上可知S四边形DMCN=S△ABC，∴S△DEF+S△CEF=S△ABC． （3）连接DC，证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°， ∴S△DEF=S五边形DBFEC，=S△CFE+S△DBC，=S△CFE+，∴S△DEF-S△CFE=． 故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键． 例3．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，进而得出是等腰直角三角形，勾股定理可得，结合全等三角形的性质即可得出结论；（2）根据（1）的方法，在上截取，连接，证明得出是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）延长至，使得，证明得出四边形是正方形，得出进而即可得出结论． 【详解】（1）解：∵∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，∴∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵，，∴， 设，则，，∴， 又∵，，∴，∴ ∴∴是等腰直角三角形， ∴∴即 （3）解：如图所示，延长至，使得， ∵，∴，又∵，∴ 又∵∴，∴，又∵∴， ∴∴四边形是矩形， 又∵∴四边形是正方形，∴∴ 即 ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 例4．（2024·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． (1)问题发现：如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)；证明见解析(2)；证明见解析 【分析】(1)过点作，得到，判断出，确定为等腰直角三角形即可得出结论；(2)过点作于点，判断出，确定为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ，，， ，在四边形中，，， ，∴，，，，， ，是等腰直角三角形，， ，∴； （2）；理由：如图，过点作交于点， ，，， ，，， ，，，，，， ，是等腰直角三角形，， ，∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 例1．（2024.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析 【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：CF=CG； 证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB， ∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）CF=CG.理由如下：如图， 过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º， ∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º， ∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º， ∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE， ∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG， 在△MCF和△NCG中， ∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）； 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ． 例2．（2024重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论为OE﹣OD=OC，证明详见解析. 【分析】(1)根据OM是∠AOB的角平分线，可得∠AOB=60°，则∠OCE=30°，再根据30°所对直角边是斜边的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出结论；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根据AAS证明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，则OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出结论.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根据等量代换可得OE﹣OD=OC. 【详解】(1)∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°， ∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°， 在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC， (2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC； (3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC， 理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如图， ∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°， 同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG， ∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.正确作辅助线是解题的关键. 例3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即）的角尺来作的角平分线． 问题发现：(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线OP是的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？ 问题探究：(2)如图2，小新在确认射线OP是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)小新的观点正确，理由见解析；(2)OE＝2OD，理由见解析． 【分析】（1）根据SSS证明△OPD≌△OPE（SSS），求出∠POD＝∠POE可得结论；（2）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT，证明△POD≌△POT（SAS），可得∠ODP＝∠OTP，然后根据平行线的性质求出∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，然后根据等角对等边求出PT＝OT，PT＝TE，可得结论． 【详解】（1）解：小新的观点正确； 理由：在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（SSS）， ∴∠POD＝∠POE，即射线OP是的角平分线； （2）OE＝2OD；理由：如图，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT． ∵OP平分∠AOB，∴∠POD＝∠POT， 在△POD和△POT中，，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP＝∠OTP， ∵PDOB，∴∠PDO＋∠AOB＝180°，∠DPE＋∠PEO＝180°， ∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°， ∴∠OTP＝∠ODP＝120°，∴∠PTE＝60°，∴∠TPE＝∠PET＝60°，∴TP＝TE， ∵∠PTE＝∠TOP＋∠TPO，∠POT＝30°，∴∠TOP＝∠TPO＝30°，∴OT＝TP，∴OT＝TE，∴OE＝2OD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例4．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E． 【初步把握】（1）如图1， 当绕点 C旋转到与垂直时， 求证： 【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由； 【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判断与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是：（1）根据是的角平分线，可得，再根据所对直角边是斜边的一半，得出，利用勾股定理可求出，同理：，即可得出结论； （2）同（1）的方法得到，再根据证明，得出，则，即可得出结论； （3）同（2）的方法得到，根据等量代换可得． 【详解】解∶ （1）是的角平分线， ， ，， 在中， 设， 则， 由勾股定理得 同理：    （2）（1）中结论仍然成立，理由∶如图2， 过点 C作于 F，于 G， ∴，∵，∴， 同（1）的方法得， ∵， ， 且点 C是的平分线上一点，∴， ∵， ，∴，∴，∴， ∴， ，∴， (3)结论为∶ 理由∶ 如图3， 过点C作于 F，于 G， ∴， 同（1）的方法得， ∵， ， 且点 C是的平分线上一点，∴， ∵， ，∴，∴， ∴，∴， ， ∴，    例5．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是等边三角形，点D是的中点，设，把绕点D旋转，与边交于点E、F．    (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当时，①绕点D旋转时，求证：； ②绕点D旋转过程中，试探索之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质结合题意即可得出，，，从而可证，即得出； （2）①过点D作．易证是等边三角形，得出，，从而可证，即得出；②由全等三角形的性质可知．即可求出，进而即可得出之间的数量关系为． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴，即． ∵点D是的中点，∴，∴，∴； （2）①如图，过点D作．    ∵，∴， ∴，即．∵是等边三角形，点D是中点， ∴，∴是等边三角形，∴，． 在和中，∴，∴； ②∵，∴．∵， 又∵，∴， ∴之间的数量关系为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识．掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题关键． 例6．（23-24八年级上·上海·期末）在等边中，点是线段BC的中点，与线段AB相交于点与射线AC相交于点F．(1)如图，若，垂足为求BE的长； (2)如图，将（1）中的绕点顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：．(3)如图，将（2）中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F作于点N，若设，写出y关于x的函数关系式． 【答案】(1)BE＝1(2)见解析(3)y= 【分析】（1）由∠EDF=120°，∠A=60°，∠DFC=90°得∠AED=90°，再根据全等，等边三角形性质求得BE长度．（2）先由D点作AB、AC垂线，再证△MBD≌△NCD，再证△EMD≌△FND，再结合有一个角为30°的直角三角形的特点，从而得出 （3）先由D点作AB的垂线，再用图中线段表示出x-y和x+y，然后求出x和y之间的关系． 【详解】（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4． ∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝BC＝2． ∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°， ∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝BD＝1； （2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2， 则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°． ∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°． ∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中， ∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN． 在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF， ∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN， ∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝BC＝AB； （3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN． ∵DN＝FN，∴DM＝DN＝FN＝EM，∴BE+CF＝BM+EM+FN－CN＝NF+EM＝2DM=x+y， BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN－CN）＝BM+NC＝2BM=x－y， 在Rt△BMD中，∵∠BDM=30°，∴BD=2BM，∴DM＝， ∴，整理，得． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 例1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD， 在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD， ∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正确， 在△PAK和△PCD中，，∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正确， ∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC， ∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明．探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是． 【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证；探究：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，由题意可得∠B=∠DCF，进而可证△DEB≌△DFC，然后问题可求证；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，由题意易证△DHB≌△DGC，则有DH=DG，进而可得AG=AH，然后根据等腰直角三角形的性质可得，则有，最后问题可求解． 【详解】感知：，理由如下： ∵，，∴，即，∵平分，∴； 探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示： ∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF， ∴△DEB≌△DFC（AAS），∴； 应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示： ∵，，∴，∵，∴， ∵，， ∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形， ∴，由勾股定理可得， ∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG， ∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 例3．（23-24八年级·江苏·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由． (2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，由点在的角平分线上，且于，M，得，，进而证明（），即可得证明； （2）过点作于点，同（），可证，得，证，得，从而即可得解；（3）过点作于点，同（），可证，，又证，得，从而即可得解． 【详解】（1）解：．理由：过点作于点， ∵点在的角平分线上，且于，，∴，， ∵，∴，，∴， 在和中，，∴（），∴． （2）解：结论：，理由如下：如图，过点作于点， 同（），可证，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． （3）解：，理由如下：如图，过点作于点， 同（），可证，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，垂线定义，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键， 1．（23-24八年级上·河南漯河·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上，∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，，，∴在四边形中，， ∵，∴，即， ∴，∴，∴，故①正确； 由①正确可得，，∴，故②正确； 由可得，∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选：C ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 6．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，且于D，，下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，过点作，垂足为点．证明，，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点．连接， ，，，， 在和中，，，， ，且，，， ，∴，故①正确； 在和中，，， ，，故②正确；，，，故③正确； ，，，， ．故④不正确．综上可得：①②③均正确．故答案为：①②③． 3．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°， ∴AD =DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN =90°－∠ADN=∠FDC． ∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF= BE+ AE=AB．在Rt△ABC中，根据勾股定理， 得AB=BC．∴(BE+CF)=BC．∴结论①正确．设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b． ∴． ∴．∴结论②正确． 如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O． ∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形， ∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG． ∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴结论④错误． ∵△EDA≌△FDC，∴．∴结论③错误． 综上所述，结论①②正确．故选C． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为的中点，若直角绕点旋转，分别交于点，交于点，则下列说法： ①；②；③； ④若的面积为一个定值，则的长也是一个定值．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】①如果连接，可证，得出； ②由①知，，而为等腰直角的直角边，由于斜边，由勾股定理可求出；③由①知；④的面积，如果这是一个定值，则是一个定值，又，根据，从而可唯一确定的长也是一个定值． 【详解】解：①连接．在中，，，点为的中点， ，，在与中，，，， ，．说法正确； ②在中，，，，． 由①知，．说法正确； ③由①知，．说法正确； ④的面积，如果这是一个定值，则是一个定值， 又，， 的面积为一个定值，则的长也是一个定值，故说法正确．故答案为①②③④． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是证明． 5．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 【答案】6 【分析】过点作，设与交于点，证明，由全等三角形的性质可得，结合，可知，即可获得答案． 【详解】解：∵是等边三角形，边长为4， ∴，， 如图，过点作，设与交于点， ∴，∴， 又∵，，∴， 又∵点为的中点，且，∴是的中位线， ∴， 在和中，，∴，∴， 又∵， ∴．故答案为：6． 【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用、正确作出辅助线构建全等三角形是解题关键． 6．已知，求证：，． 【答案】见解析 【分析】延长DC至点E使CE=AD，先证明△BAD≌△BCE，再证明△BDE是等边三角形，可证结论成立． 【详解】证明：延长DC至点E使CE=AD， ∵，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠BCE， 在△BAD和△BCE中，∴△BAD≌△BCE，∴BD=BE，∠ABD=∠CBE， ∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE， ∵DC+CE=DE，∴；作BF⊥DE于点F，则∠EBF=30°，EF=DF=DE=BE， ∴BF==，∴S△DBE=DE×BF=×BE×=， ∴． ． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决问题的关键是正确作出辅助线，证出△BAD≌△BCE，再证出△BDE是等边三角形． 7．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）问题情境 如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，    (1)把三角尺绕着点旋转（如图1），与相等吗？试猜想的大小关系，并说明理由． 变式拓展：(2)如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，请直接写出你发现的结论． 【答案】(1)；证明见解析(2)①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）过点作于，于，利用 证明，根据全等三角形的性质即可求证结论．（2）①过点作于，于，利用 证明，根据全等三角形的性质即可求证结论；②由①得：，，，利用证得，进而可得，再由可得：，在中，利用直角三角形的特征可得，进而可求解． 【详解】（1）解：，证明如下：过点作于，于，如图：    平分，，，，， ，， ，， 在和中，，，． （2）①结论：．理由：过点作于，于，如图：    平分，，，，， ，，， ，， 在和中，，，． ②结论：． 理由：由①得：，，， 在和中，，，， ，，， 在中，，， ，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 8．（23-24八年级下·江西萍乡·期中）已知是的平分线，点P是射线上一点，，点C、D分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________． (2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时与在（1）中的数量关系还成立吗?说明理由． (3)在问题（2）中，则四边形的面积S是否会发生变化?若不会发生变化，请直接写出面积S的值，若发生变化，请说明理由 【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)不会发生变化，S=9 【分析】（1）直接根据角平分线的性质可求；（2）过点P点作于E，于F，证明即可；（3）面积不会发生变化，四边形OCPD的面积等于四边形OEPF的面积，等于 ． 【详解】（1）解：根据角平分线的性质可得 （2）证明：如图②，过点P点作于E，于F． ∵是的平分线，∴， ∵，∴ 而∴，∴，∴． （3）解：不会发生变化，理由是： ∵OP平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠POF=45°∴∠OPF=∠POF=45° ∴PF=OF=3由（2）可知， ∴四边形OCPD的面积=四边形OEPF的面积=． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造能运用角平分线的性质定理是解题的关键． 9．（2024河南八年级期末）提出问题：如图1，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＝∠OEC＝90°，求证：CD＝CE． 思路梳理：(1)请根据思路梳理的过程填空． 证法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得 ≌ ，则CD＝CE． 证法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，则CD＝CE，其理论依据是 ． 类比探究：(2)如图2，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＋∠OEC＝180°，求证：CD＝CE． 拓展迁移：(3)如图3，已知OC平分∠AOB，点D在OA的反向延长线上，点E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，点C到OB的距离是3，则OD＋OE的值是 ．（直接写出结果，不说明理由） 【答案】(1)；角平分线上的点到角的两边距离相等(2)证明见解析(3) 【分析】（1）方法1：利用全等三角形的性质证明；方法2：利用角平分线的性质定理证明即可； （2）过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，证明△CQD≌△CPE（ASA），可得结论； （3）过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P，利用全等三角形的性质证明OD+OE＝2PE，利用勾股定理求出PE即可． （1）证法1：如图1中，∵OC平分∠AOB，∴∠COD＝∠COE， 在△COD和△COE中， ，∴△COD≌△COE（AAS），∴CD＝CE． 故答案为：△COD，△COE； 证法2：∵OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°， ∴CD＝CE（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）证明：如图2，过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P， ∵∠ODC+∠OEC＝180°，∴∠DOE+∠DCE＝180° ∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴∠AOB+∠PCQ＝180°，∴∠PCQ＝∠DCE，∴∠DCQ＝∠ECP， ∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，∴CQ＝CP， ∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴△CQD≌△CPE（ASA），∴CD＝CE； （3）解：如图3，过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P， ∴∠OQC＝∠EPC＝90°，∴∠AOB+∠PCQ＝180°，∵∠ODC＝∠CEO，∴∠DOE＝∠DCE， ∵∠DOE+∠AOB＝180°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠PCQ＝∠DCE，∴∠DCQ＝∠ECP， ∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，∴CQ＝CP， ∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴△CQD≌△CPE（ASA），∴DQ＝PE， ∵OD＝DQ﹣OQ，OE＝OP+PE，∴OE+OD＝OP+PE+（DQ﹣OQ）＝PE+DQ＝2PE， ∵EC＝5，CP＝3，∴PE＝，∴OE+OD＝8．故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 10．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线． （I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）．则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则________．（选填：“<”、“>”或“=”） （理解应用）（2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3． ①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）②猜想，，之间的关系为________． （拓展延伸）（3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）=；（2）①3；②；（3）相等，理由见解析 【分析】（1）PE=PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；②根据勾股定理，全等三角形的性质解答； （3）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N， ∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°， ∵OC是∠AOB的平分线，∴PM=PN，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN， 在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF，故答案为：=； （2）①∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°， ∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH，∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF， 在△GPE和△OPF中，，∴△GPE≌△OPF（ASA），同理可证明△EPO≌△FPH， ∵，∴△GPO≌△OPH（SAS），∴全等三角形有3对，故答案为：3； ②GE2+FH2=EF2，理由如下：∵△GPE≌△OPF，∴GE=OF， ∵△EPO≌△FPH，∴FH=OE，在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，∴GE2+FH2=EF2，故答案为：GE2+FH2=EF2； （4）如图，作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H， 在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH， ∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°，∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH， 在△PGE和△PHF中，，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF． 【点睛】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）【情景呈现】画，并画的平分线． （1）把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边垂直，垂足为（如图1）．则．（选填：“<”、“>”或“=”） （2）把三角尺绕点旋转（如图2），与相等吗？猜想的大小关系，并说明理由． 【理解应用】（3）在（2）的条件下，过点作直线，分别交于点，如图3． ①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线） ②猜想之间的关系为___________． 【拓展延伸】（4）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与相交于两点，与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）=；（2））PE=PF，理由见解析；（3）①3对；②GE2+FH2=EF2；（4）PE=PF，理由见解析． 【分析】（1）由全等三角形的判定和性质证明PE=PF；（2）PE=PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；（3）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；②根据勾股定理，全等三角形的性质解答； （4）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】解：（1）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC， ∵PE⊥OA，∴∠OEP=90°，∵∠AOB=90°，∠EPF=90° ∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，∴∠OEP=∠OFP 又∵∠AOC=∠BOC，OP=OP∴△OEP≌△OFP（AAS），∴PE=PF，故答案为：=； （2）PE=PF，理由是：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N， ∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，与（1）同理可证PM=PN， ∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中，， ∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF； （3）①∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°， ∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH， ∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF， 在△GPE和△OPF中，，∴△GPE≌△OPF（ASA），同理可证明△EPO≌△FPH， ∵∴△GPO≌△OPH（SAS），∴全等三角形有3对，故答案为：3； ②GE2+FH2=EF2，理由如下：∵△GPE≌△OPF，∴GE=OF， ∵△EPO≌△FPH，∴FH=OE，在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2， ∴GE2+FH2=EF2，故答案为：GE2+FH2=EF2； （4）PE=PF；理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H． 在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH， ∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°， ∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH， 在△PGE和△PHF中，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF． 【点睛】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两次全等三角形解决问题． 12．（23-24八年级上·江西南昌·期中）已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． 请利用上面信息解决以下问题：已知中，，，D为边的中点，，绕D点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于E、F． （1）当绕D点旋转到于E时（如图①），求证：； （2）当绕D点旋转到和不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 【答案】（1）见解析；（2）图2成立，图3不成立： 【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质得到、、、为全等的等腰直角三角形，据此即可证明； （2）对于图2：过点D作，，根据中位线的性质和等量代换证得和，结合，证得，根据全等三角形的性质即可求证；对于图3：根据ASA证明，根据全等三角形的性质即可求证． 【详解】（1）证明：连接CD ∵D为边的中点，∴AD=CD=BD∴ 又∵，，，∴四边形ECFD为矩形∴∠CFD=90° 又∵∠DCF=45°∴CF=DF∴四边形ECFD是正方形∴DE=DF ∴又∵，且∴ （2）图2成立，图3不成立 对于图2：过点D作，，如图2，则 又∵∴， ∵D为边的中点∴根据中位线定理得到：， ∵AC=BC∴MD=ND∵∴，∴ 在与中∴∴ ∴∴∴ 对于图3：连接DC，在与中∴ ∴∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，题目较为综合，利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决． 13．（2023.成都市八年级期中）在中，，，于点, （1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：； （3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：; 【答案】(1) ；(2)见解析；(3)见解析. 【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD＝BD＝DC＝ ，求出 ∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可； （2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 M作 ME∥BC交 AB的延长线于 E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到 BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论． 【详解】（1）解：，，， ，，， ，，，， ，，由勾股定理得，，即， 解得，，； （2）证明：，，， 在和中，，； （3）证明：过点作交的延长线于， ，则，，， ，，， 在和中，，， ，． 【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 14．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①选择小强同学，过点作于，于，证明，可得结论；②选择小颖同学，过点作，交于点，则，可证，可得； （2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （3）取中点，连接，根据证，得，即可得证； 【详解】（1）①选择小强同学， 证明：如图2，过点作于，于，平分， ，，，，， 在与中，，； ②选择小颖同学， 证明：如图3，过点作，交于点，则， ，平分，，且， ，，，， 在和中，，，． （2）如图，过点作，，垂足分别为，，， 又平分，，，， 在四边形中，， 又，， 又，，且，， ，； （3）取中点，连接， 点、分别是、边上的中点，， 是等边三角形，， ，， ，，， ， 15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？(2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】(1)，原因见解析(2)，原因见解析(3)最小值为15 【分析】（1）利用等角的补角相等即可证得；（2）过点作，，分别交于，，通过证得，即可得到结论；（3）易证得为等边三角形，则，求最小值即为求的最小最小值，作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，求最小值即为求最小值，最小值为的长度，求得的长即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：过点作，，分别交于，，如图所示： 是线段的中点且为等腰三角形，平分， ，，，， 在和中，，，； （3）解：由（2）可知， ，为等边三角形，， 求的最小值，即为求的最小值， 作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得， 求最小值即为求最小值，最小值为的长度， 则最小值为的长度，由对称的性质可得． ，，，为等腰三角形，，， ，为等边三角形，由等边三角形对称性可得， 是线段的中点，， ，，，，最小值为15． 【点睛】本题考查了邻补角定义，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称最短路线问题，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键． 16．（23-24八年级下·福建宁德·阶段练习）小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道题：如图1，已知，平分，点B、D分别在所在直线上．    (1)小明猜想：，以下是小明的思考过程，有两个步骤还空着，请你补充完整证明： 过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分，∴______=______（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°，∴， 又∵，∴______=______， 又∵，∴，∴． (2)如图2，当绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B．请证明（1）中的结论依然成立． (3)如图3，若，写出线段之间的数量关系，并证明．（证明方法不限） (4)如图4，为等边三角形，边长为4，点O为边中点，，其两边分别交和的延长线于E、F．求______． 【答案】(1)，(2)证明见解析(3)，证明见解析(4)6 【分析】（1）根据角平分线的性质和角度的等量代换即可解答； （2）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，通过角的代换证明，进而证明，即可得到结论；（3）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，根据含30度角的直角三角形的性质结合（2）的结论和线段的和差即可得出结论；（4）连接，过点O分别作的垂线，垂足分别为G、H，如图，可得，则由（3）的结论可得：，然后根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质求出即可求出答案． 【详解】（1）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分，∴（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴． 故答案为：， （2）证明：过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F，则， ∵平分．∴，由四边形的内角和等于，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴；        （3）过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵，平分，∴， ∴，∴，由（2），∴， ∴；∴； （4）连接，过点O分别作的垂线，垂足分别为G、H，如图， ∵为等边三角形，点O为边中点，∴，平分， ∵，∴，则由（3）的结论可得：， ∵为等边三角形，边长为4， ∴， ∵点O为边中点，∴， ∴，∴，∴；故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 17．（23-24八年级上·山东济南·期末）在学习了三角形的知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形构造后的线段之间的关系进行了探究． （一）尝试探究：在中，，，点D为的中点． （1）如图，若点E，F分别为边，上的点，且，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，若点E在边上，点M，F分别在，的延长线上，且，求证：； （二）应用拓展（3）如图，在四边形中，，，，若，，请直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析；（3）5 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，推导得，在结合全等三角形的性质，通过证明，即可完成求解；（2）根据等腰三角形和直角三角形的性质，推导得，根据勾股定理的性质计算得，结合结合全等三角形的性质，通过证明，得，通过计算即可完成证明；（3）根据四边形内角和、全等三角形的性质，推导得，；在根据等腰三角形和勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）连接 ∵，∴ ∵，点D为的中点∴， ∴，  ∴∴ ∵∴∴∴ 在和中，∴   ∴； （2）过点M作交的延长线于点N ∵，点D为的中点，∴ ∵∴∴ ∴，∴∴   ∵∴∴∴ 和中∴ ∴∴； （3）如图，延长到点，使，连接∴ ∵，∴ ∴∴ 在和中，∴ ∴，∴∴ ∵∴ 如图，过点作，交于点 ∴，∵∴∴∴ ∵∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形、勾股定理、四边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、勾股定理的性质，从而完成求解． 18．（23-24八年级下·北京·期中）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形    ②菱形    ③矩形    ④正方形 (2)如图1，菱形中，，，分别是，上的点，且，求证：四边形是完美四边形；(3)如图2和如图3中，四边形均为完美四边形，，，连接．①在图2中，求证：平分；②在图3中，当时，直接用等式写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)④(2)见解析(3)①见解析，②BC+CD=AC 【分析】（1）根据“完美四边形”的定义即可判断；（2）连接BD，先证△ABD是等边三角形得AD=BD，再证△ADE≌△BDF得DE=DF，∠AED=∠BFD，结合∠AED+∠DEB=180°知∠BFD+∠DEB=180°，从而得证； （3）①延长CB至点E，使BE=CD，连接AE，证△ADC≌△ABE得∠ACD=∠E，AC=AE，继而知∠ACE=∠E，从而得∠ACD=∠ACE，即可得证；②延长CB使BE=CD，连接AE，由“SAS“可证△ADC≌△ABE，可得AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE，在Rt△CAE中，由勾股定埋可求CE=AC，即可求解． 【详解】（1）解：根据完美四边形的定义，可知“正方形”是完美四边形；故答案为：④； （2）证明：如图，连接BD， ∵菱形ABCD，∴AB=AD，AD∥BC.∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°，∴AD=BD ∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=60°=∠A， ∵AE=BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴DE=DF，∠AED=∠BFD， ∵∠AED+∠DEB=180°，∴∠BFD+∠DEB=180°，∴四边形DEBF是完美四边形． （3）①证明：延长CB至点E，使BE=CD，连接AE， ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ABE=∠D， 又∵AB=AD，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴∠ACD=∠E，AC=AE， ∴∠ACE=∠E，∴∠ACD=∠ACE，∴CA平分∠DCB； ②BC+CD=AC，理由如下：如图2，延长CB，使BE=CD，连接AE， ∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABE， 又∵AD=AB，BE=CD，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE， ∴∠CAE=∠DAB=90°，∴，∴CD+BC=AC． 【点睛】本题考查了完美四边形的定义，三角形面积，三角形全等的性质和判定，圆内接四边形的性质等知识，是四边形综合题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 19．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知是中的角平分线，点，分别在边，上，，，与的面积之和为． (1)当，，时，如图1，若，，则______，______； (2)如图2，当时，①求证：；②直接写出与，的数量关系； (3)如图3，当，，，时，请直接写出的大小． 【答案】(1)，9；(2)①证明见解析；②；(3)． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，都是等腰直角三角形即可解决问题； （2）①如图中，过点作于点，于点证明；②由推出，把绕点逆时针旋转得到右边，连接，延长至点P，使，连接，证明，,可得,即可求解； （3）如图中，过点作于点，于点证明，推出，把绕点顺时针旋转得到，，，，过点作于点，利用含角的直角三角形性质和勾股定理求出，可得结论． 【详解】（1）解：如图中，，，，， 平分，，，，， ，都是等腰直角三角形，，， ，故答案为：，； （2）①证明：如图中，过点作于点，于点．          ，，平分，， ，四边形是矩形， ，四边形是正方形，，， ，，； ②解：，，， 把绕点逆时针旋转得到右边，连接，延长至点P，使，连接， 则，，， 又，， ，，， ，，，， ，； （3）解：如图中，过点作于点，于点． ，，平分，， ，， ，， ，，， ， 把绕点逆时针旋转得到，则，，， 过点作于点，, ，． 20．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探索 在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)(2)结论仍然成立(3)此时两舰艇之间的距离是120海里 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，方位角的计算： （1）延长到点，使，连接，先证明得到，再证明得到即可推出； （2）如图，延长到，使，连接，先证明得到，再证明得到即可推出； （3）如图，连接，延长交于点，先证明，再由，结合探索延伸中的结论可知，海里． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵，∴， ∵∴，∴， ∵，，∴， ∴，即， 又∵∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）解：结论仍然成立，证明如下：如图，延长到，使，连接， ，， 在和中，， 在和中，， ，； （3）解：如图，连接，延长交于点， ，，， ，，符合探索延伸中的条件， 结论成立，即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是120海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°—90°型对角互补模型、120°—60° 型对角互补模型、 α—（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 2 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 18 模型3.全等模型-对角互补模型（α — 180°-α） 42 51 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，中，，，点是斜边的中点，点、分别在边、上，且，垂足为． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，将绕点D旋转，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)如图3，连接，请直接写出、、之间的数量关系，不必证明． 例2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________； (2)如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明． 例3．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 例4．（2024·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． (1)问题发现：如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 例1．（2024.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 例2．（2024重庆八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 例3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即）的角尺来作的角平分线． 问题发现：(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线OP是的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？ 问题探究：(2)如图2，小新在确认射线OP是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由． 例4．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E． 【初步把握】（1）如图1， 当绕点 C旋转到与垂直时， 求证： 【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由； 【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由． 例5．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：是等边三角形，点D是的中点，设，把绕点D旋转，与边交于点E、F．    (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当时，①绕点D旋转时，求证：； ②绕点D旋转过程中，试探索之间的数量关系并说明理由． 例6．（23-24八年级上·上海·期末）在等边中，点是线段BC的中点，与线段AB相交于点与射线AC相交于点F．(1)如图，若，垂足为求BE的长； (2)如图，将（1）中的绕点顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：．(3)如图，将（2）中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F作于点N，若设，写出y关于x的函数关系式． 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 例1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明．探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 例3．（23-24八年级·江苏·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由． (2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 1．（23-24八年级上·河南漯河·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，且于D，，下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 3．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为的中点，若直角绕点旋转，分别交于点，交于点，则下列说法： ①；②；③； ④若的面积为一个定值，则的长也是一个定值．其中正确的有 ． 5．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 6．已知，求证：，． 7．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）问题情境 如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、， (1)把三角尺绕着点旋转（如图1），与相等吗？试猜想的大小关系，并说明理由． 变式拓展：(2)如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，请直接写出你发现的结论．    8．（23-24八年级下·江西萍乡·期中）已知是的平分线，点P是射线上一点，，点C、D分别在射线、上，连接、． (1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________． (2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时与在（1）中的数量关系还成立吗?说明理由． (3)在问题（2）中，则四边形的面积S是否会发生变化?若不会发生变化，请直接写出面积S的值，若发生变化，请说明理由 9．（2024河南八年级期末）提出问题：如图1，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＝∠OEC＝90°，求证：CD＝CE． 思路梳理：(1)请根据思路梳理的过程填空． 证法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得 ≌ ，则CD＝CE． 证法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，则CD＝CE，其理论依据是 ． 类比探究：(2)如图2，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＋∠OEC＝180°，求证：CD＝CE． 拓展迁移：(3)如图3，已知OC平分∠AOB，点D在OA的反向延长线上，点E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，点C到OB的距离是3，则OD＋OE的值是 ．（直接写出结果，不说明理由） 10．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线． （I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）．则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则________．（选填：“<”、“>”或“=”） （理解应用）（2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3． ①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）②猜想，，之间的关系为________． （拓展延伸）（3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由． 11．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）【情景呈现】画，并画的平分线． （1）把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边垂直，垂足为（如图1）．则．（选填：“<”、“>”或“=”） （2）把三角尺绕点旋转（如图2），与相等吗？猜想的大小关系，并说明理由． 【理解应用】（3）在（2）的条件下，过点作直线，分别交于点，如图3． ①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线） ②猜想之间的关系为___________． 【拓展延伸】（4）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与相交于两点，与相等吗？请说明理由． 12．（23-24八年级上·江西南昌·期中）已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． 请利用上面信息解决以下问题：已知中，，，D为边的中点，，绕D点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于E、F． （1）当绕D点旋转到于E时（如图①），求证：； （2）当绕D点旋转到和不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 13．（2023.成都市八年级期中）在中，，，于点, （1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：； （3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：; 14．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？(2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 16．（23-24八年级下·福建宁德·阶段练习）小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道题：如图1，已知，平分，点B、D分别在所在直线上．    (1)小明猜想：，以下是小明的思考过程，有两个步骤还空着，请你补充完整证明： 过点C分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵平分，∴______=______（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵，由四边形ABCD的内角和等于360°，∴， 又∵，∴______=______， 又∵，∴，∴． (2)如图2，当绕点C逆时针旋转，交的延长线于点D，交射线于点B．请证明（1）中的结论依然成立． (3)如图3，若，写出线段之间的数量关系，并证明．（证明方法不限） (4)如图4，为等边三角形，边长为4，点O为边中点，，其两边分别交和的延长线于E、F．求______． 17．（23-24八年级上·山东济南·期末）在学习了三角形的知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形构造后的线段之间的关系进行了探究． （一）尝试探究：在中，，，点D为的中点． （1）如图，若点E，F分别为边，上的点，且，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，若点E在边上，点M，F分别在，的延长线上，且，求证：； （二）应用拓展（3）如图，在四边形中，，，，若，，请直接写出的长． 18．（23-24八年级下·北京·期中）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形    ②菱形    ③矩形    ④正方形 (2)如图1，菱形中，，，分别是，上的点，且，求证：四边形是完美四边形；(3)如图2和如图3中，四边形均为完美四边形，，，连接．①在图2中，求证：平分；②在图3中，当时，直接用等式写出线段，，之间的数量关系． 19．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知是中的角平分线，点，分别在边，上，，，与的面积之和为． (1)当，，时，如图1，若，，则______，______； (2)如图2，当时，①求证：；②直接写出与，的数量关系； (3)如图3，当，，，时，请直接写出的大小． 20．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探索 在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$