精品解析：福建省宁德市福鼎市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次考试数学试题

2024-2025学年福鼎一中高三上第一次 数学试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可得集合，根据集合的并集运算即得答案. 【详解】因为，， 所以， 故选：D. 2. 已知函数，则等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】令，求得得值，代入，即可得出答案. 【详解】解：令，则， 所以. 故选：A. 3. 已知命题为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由命题为假命题，得到为真命题.方法一：参数分离，并构造函数，通过导数求函数单调性求解；方法二：将转化为直线与曲线没有交点，通过导数求切斜方程即可. 【详解】法一：由题可得为真命题， 易知满足，符合题意，此时； 当时，可变形为， 令，则， 当时，；当时，， 当时，单调递减，且；当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，， 作出函数的图象如图①所示， 由题可知直线与函数的图象没有交点，数形结合可得. 法二：由题可得为真命题， 即直线与曲线没有交点. 设直线与曲线切于点， 由，得，则， 所以， 所以直线与曲线相切， 若直线与曲线没有交点，如图②所示，则. 故选：D. 4. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“第二次出现奇数点”，则（ ） A. 与不独立 B. C. 与不互斥 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由独立和互斥事件的性质可判断A错误，C正确；由可得B错误；由独立事件的乘法公式可得D错误. 【详解】A：事件和的发生没有影响，相互独立，故A错误； B：，，故B错误； C：事件和可以同时发生，所以与不互斥，故C正确； D：，故D错误； 故选：C. 5. 已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据已知条件判断的单调性，奇偶性，结合的模拟草图，数形结合即可求得结果. 【详解】令，则，由题可知，当时，，故在单调递减； 又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增； 又，则，画出的模拟草图如下所示： 当时，，则，数形结合可知，此时； 当，因为为上的奇函数，故，不满足题意； 当，，则，数形结合可知，此时； 综上所述：的解集为. 故选：A. 6. “家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园”一首婉转动听的美丽惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是偶函数，逐项分析函数解析式可排除B,D;求得C,D中函数的最大值可排除C，即可. 【详解】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数， 则函数和都不满足，故排除B、D； 的图象过点，，， 且时，，当且仅当时，等号成立， 即函数的最大值为，又“心形”函数的最大值为，故排除； 由的图象过点，，，且时， ，当时，等号成立， 即函数的最大值为，满足题意，故C满足． 故选：． 7. 在古希腊，人们把宽与长之比为的矩形称为“黄金矩形”，这个比例被称为黄金分割比例，黄金分割在设计和建筑领域有着广泛的应用．希腊的一古建筑的复原正面图如图所示，图中的矩形为黄金矩形．若黄金矩形的边的长度超过，但不超过，则该古建筑的地面宽度（即线段的长）可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将位置关系表示在几何平面关系中，结合黄金比例求解即可. 【详解】 设圆半径为，所以， 因为， 所以， 由题意可得， 所以， 因为， 所以， 所以，只有B选项符合题意， 故选：B. 8. 设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出取最小值时的关系，再利用二次函数求出最大值. 【详解】依题意，由，得， 当且仅当，即时等号成立，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角的大小为 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平移法可求出直线与所成的角，判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；采用反证法可判断C；根据线面角的定义求出直线与平面所成角的正弦值，判断D. 【详解】对于A，连接，则，即为正三角形， 又，分别为，的中点，故， 故直线与所成的角即为所成角或其补角，而， 故直线与所成的角的大小为，A正确； 对于B，由于，故四边形为平行四边形， 故，而，故, 又平面，平面，故平面，B正确； 对于C，取EF中点为M，连接DM，显然，故， 假设平面平面，而平面平面， 平面，则平面，又平面， 则，这与二者交于D点矛盾，C错误； 对于D，不妨设正方体棱长为2，点C到平面的距离为d， 则， 而， 则，解得， 设直线与平面所成角为，则，D正确， 故选：ABD 10. 已知定义在上的函数满足，为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为周期函数 C. 函数为上的偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义推理判断B；赋值计算判断A；利用函数单调性取值计算判断CD. 【详解】对于B，由为偶函数，得，则， 由为奇函数，得，则， 因此，，函数是以2 为周期的周期函数，B正确； 对于A，则，得，由，得，A正确； 对于C，由，得，又当时，， 则函数在上单调递增，，于是，即， 函数不是上的偶函数，C错误； 对于D，由选项C知，，由，得，D正确. 故选：ABD 11. 若，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令，与给定等式联立，利用判别式求解判断AB；变形给定等式，结合基本不等式求解判断CD. 【详解】对于AB，令，则，把代入， 得，整理得，而， 则，解得，A正确，B错误； 对于CD，，解得， 当且仅当且时取等号，C错误； ，解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对，，记，则函数的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】在同一坐标系内作出函数的图象，进而得出函数的图象，再利用图象及函数单调性求出最小值. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 观察图象知，当时，，当时，， 当时，， 因此，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故答案为：1 13. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y 60 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点处的残差为0，则______． 【答案】290 【解析】 【分析】先利用残差的计算公式求出，再根据回归直线过样本点的中心求出，即可得解． 【详解】因为在样本点处的残差为0， 所以，得， 则y关于x的线性回归方程为． 因为，所以， 所以． 故答案为： 14. 曲线的对称中心为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用对称中心的定义求解即得. 【详解】函数的定义域为R，设曲线的对称中心为， 则 ，要为常数，当且仅当， 即，解得，此时，， 所以曲线的对称中心为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等比数列中，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列，求数列前项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公比，得到，求出公比，得到通项公式； （2）在第一问的基础上，得到，裂项相消法求和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为. 因为，且已成等差数列， 所以， 因为，所以，即， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得数列的通项公式为， 所以数列 所以数列前项的和. 16. 某公司生产一种产品，销售前要经过两次检测，两次检验都合格，该产品即为合格品，否则为次品.已知该产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两次检测是否合格相互独立. （1）求每生产一台该产品是合格品的概率； （2）据市场调查，如果是合格品，则每台产品可获利200元；如果是次品，则每台产品获利100元.该公司一共生产了2台该产品，设随机变量X表示这2台产品的获利之和，求X的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列见解析；的数学期望为350元. 【解析】 【分析】（1）根据题意设出事件直接运用概率的乘法公式进行计算即可； （2）先得到的可能取值为，再直接求解各个概率即可，通过离散型随机变量的期望公式求解数学期望即可. 【小问1详解】 记“生产一台该产品是合格品”为事件， 则， 答：每生产一台该产品是合格品的概率为. 【小问2详解】 由（1）知，每生产一台该产品是合格品的概率为， 每生产一台该产品是次品的概率为， 的可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为： 200 300 400 所以（元）. 答：的分布列见上；的数学期望为350元. 17. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由离心率可得的关系，再将点的坐标代入即可得到椭圆方程； （2）根据题意，先讨论两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，再讨论两条弦斜率均存在且不为0，此时设直线的方程为，则直线的方程为，联立椭圆与直线方程，结合韦达定理与弦长公式分别表示出弦长与弦长，即可得到结果. 【小问1详解】 ∵，所以. 设椭圆方程为，将代入，得. 故椭圆方程为. 【小问2详解】 ①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 易得其中一条弦为长轴，另一条弦长为椭圆的通径为，即； ②当两条弦斜率均存在且不为0时，设，， 设直线的方程为，则直线的方程为， 将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得： ， ∴，， ∴， 同理，， ∴， 令，则， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴. 综合②可知，的取值范围为. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）分，和以及四种情况讨论函数的单调性. （3）将问题转化为，令，结合导数求出的最小值即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得或， ①当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时，由，则函数在上单调递增. 所以当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为. 【小问3详解】 当时，不等式转化为， 令函数，求导得， 令（），求导得，函数在上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 则，又，即， 则，即， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； ②构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ③利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ④根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】（1） 集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③ （ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质. （2）证明如下： 由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，解得， 显然， 所以集合是集合的“期待子集”得证. （3）证明如下： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数， 所以， 因为， 所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【解析】 【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于 证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福鼎一中高三上第一次 数学试卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知命题为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“第二次出现奇数点”，则（ ） A. 与不独立 B. C. 与不互斥 D. 5. 已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. “家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园”一首婉转动听的美丽惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 在古希腊，人们把宽与长之比为的矩形称为“黄金矩形”，这个比例被称为黄金分割比例，黄金分割在设计和建筑领域有着广泛的应用．希腊的一古建筑的复原正面图如图所示，图中的矩形为黄金矩形．若黄金矩形的边的长度超过，但不超过，则该古建筑的地面宽度（即线段的长）可能为（ ） A. B. C. D. 8. 设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角的大小为 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 直线与平面所成角的正弦值为 10. 已知定义在上的函数满足，为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为周期函数 C. 函数为上的偶函数 D. 11. 若，满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对，，记，则函数的最小值为______. 13. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y 60 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点处的残差为0，则______． 14. 曲线的对称中心为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等比数列中，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列，求数列前项的和. 16. 某公司生产一种产品，销售前要经过两次检测，两次检验都合格，该产品即为合格品，否则为次品.已知该产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两次检测是否合格相互独立. （1）求每生产一台该产品是合格品的概率； （2）据市场调查，如果是合格品，则每台产品可获利200元；如果是次品，则每台产品获利100元.该公司一共生产了2台该产品，设随机变量X表示这2台产品的获利之和，求X的分布列及数学期望. 17. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）若恒成立，求的取值范围. 19. 已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. （1）试判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； （3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $