21.3　实际问题与一元二次方程 知识题型讲练 2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十一章 一元二次方程 21.3　实际问题与一元二次方程 一、学习目标 1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.通过解决传播、数字与平均变化率问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识. 2.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.列一元二次方程解决几何图形和利润问题的应用题. 二、知识要点 知识点1　一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题得一般步骤： 一审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间得等量关系。 二设：就是指设元，也就就是设出未知数。 三列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义得一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中得各个量，就得到含有未知数得等式，即方程。 四解：就就是解方程，求出未知数得值。 五验：就是指检验方程得解就是否保证实际问题有意义，符合题意。 六答：写出答案。 知识点2　传播题型作答思路 传播类问题规律: ①设开始数量为1,每轮每个感染的数量为x,经n轮感染后的数量为b,则所列方程为(1+x)n=b; ②设开始数量为a,每轮每个感染的数量为x,经n轮感染后的数量为b,则所列方程为a(1+x)n=b. 【探究1】完成下面的探究内容. 问题　有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x个人,第一轮后共有 个人患了流感; ②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了 个人,第二轮后共有 个人患了流感. 则列方程 , 解得 , 即平均一个人传染了 个人. 再思考:如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少个人患流感? 知识点3　数字题型作答思路 数字类问题常用解题技巧: ①三个连续偶数(奇数):若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2; ②两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a+b; ③三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别是a,b,c,则这个三位数可表示为100a+10b+c 知识点4　平均变化率题型作答思路 平均增长(降低)率类问题规律: ①平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为a(1+x)2. ②平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2. 【探究2】完成下面的探究内容. 问题　两年前生产1 t甲种药品的成本是5000元,生产1 t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步,现在生产1 t甲种药品的成本是3000元,生产1 t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大? 绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大. 相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题. 分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为 元. 依题意,得 . 解得 . 根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为 . ②设乙种药品成本的年平均下降率为y. 则列方程 . 解得 . 根据实际意义,乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 答:两种药品成本的年平均下降率 . 思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额大的药品,它的下降率一定也大吗?应怎样全面地比较几个对象的变化状况? 知识点5　几何图形题型作答思路 几何图形类问题常用解题技巧: 通过平移将图形进行转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法,其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形,根据规则图形面积公式列一元二次方程求解.　 【探究3】完成下面的探究内容. 问题　如图所示,要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)? 分析:封面的长宽之比是27∶21=9∶7,中央的矩形的长宽之比也应是9∶7.若设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm,由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是(27-9a)∶(21-7a)=9(3-a)∶7(3-a)=9∶7. 设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7x cm,则中央的矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm. 要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程 . 整理,得 . 解方程,得 . 上、下边衬的宽均为cm,左、右边衬的宽均为cm. 知识点6　利润题型作答思路 利润类问题常用解题技巧: ①每天的总利润=每件产品的利润×每天销售产品的件数； ②若单价降低,则销售量需加上每天增加的量;若单价提高,则销售量需减去每天减少的量. 三、典例剖析 类型1　利用一元二次方程解决传播问题 【例题】某种电脑病毒的传播速度非常快,如果1台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染,请你用学过的知识分析,每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,三轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑, 根据题意,得1+x+x(1+x)=81, 解得x1=8,x2=-10(舍去). ∴三轮感染后被感染的电脑为81+81×8=729(台). ∵729>700, ∴三轮感染后,被感染的电脑会超过700台. 答:每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑,三轮感染后,被感染的电脑会超过700台. 〔方法归纳〕传播类问题规律:(1)设开始数量为1,每轮每个感染的数量为x,经n轮感染后的数量为b,则所列方程为(1+x)n=b;(2)设开始数量为a,每轮每个感染的数量为x,经n轮感染后的数量为b,则所列方程为a(1+x)n=b. 【真题剖析】（2024年萨尔图区·月考真题）2024年元旦即将来临，同学们互发微信祝福语来表达新年祝福，若每人都给其他人发一条微信祝福，共发出90条微信祝福，设共有x人参与这项活动，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90 C． D． 〔知识点〕利用一元二次方程解决传播问题 〔分析〕设该班级共有同学x名，互相发短信，每两个人之间产生2条短信，根据共发出90条短信可得方程． 〔详解〕解：设该班级共有同学x名，根据题意，得：x（x﹣1）＝90， 故选：A． 【迁移训练】有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了 个人. 类型2　利用一元二次方程解决数字问题 【例题】一个两位数等于其各位数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2,求这个两位数. 解：设这个数的个位数字为x,则十位数字为(x-2). 由题意，得10(x-2)+x=3(x-2)x. 解得x1=(舍去)，x2=4. 答：这个两位数为24. 〔方法归纳〕数字问题常用解题技巧:(1)三个连续偶数(奇数):若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2;(2)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a+b;(3)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别是a,b,c,则这个三位数可表示为100a+10b+c. 【迁移训练】一个两位数等于它的个位数字的平方,且个位数字比十位数字大3,求这个两位数. 解： 类型3　利用一元二次方程解决增长(降低)率问题 【例题1】胡师傅今年开了一家煮品店,5月份盈利3600元,7月份盈利5184元,且从5月份到7月份,每月盈利的平均增长率相同. (1)求每月盈利的平均增长率; (2)按照这个平均增长率,预计8月份胡师傅的煮品店盈利将达到多少元. 解：(1)设每月盈利的平均增长率为x, 则有3600(x+1)2=5184, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去). 答:每月盈利的平均增长率为20%. (2)5184×(1+20%)=6220.8(元). 答:预计8月份胡师傅的煮品店盈利将达到6220.8元. 〔方法归纳〕平均增长(降低)率问题规律:(1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为a(1+x)2.(2)平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2. 【例题2】一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A． B． C． D． 解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选C． 〔方法归纳〕本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【真题剖析1】（2024重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 〔知识点〕增长率问题(一元二次方程的应用) 〔分析〕本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 〔详解〕解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 【真题剖析2】（2024云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 〔知识点〕增长率问题(一元二次方程的应用) 〔分析〕本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 〔详解〕解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 【迁移训练1】（2024四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【迁移训练2】某种品牌的手机经过7,8月份连续两次降价,每部售价由2500元降到了1600元.若每次下降的百分率相同. (1)求每次下降的百分率; (2)若9月份继续保持相同的百分率降价,则这种品牌的手机售价为多少元? 类型4　利用一元二次方程解决几何图形问题 【例题】如图所示,学校课外生物小组的实验园地是长为32米、宽为20米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道,使种植面积为504平方米,求小道的宽. 解：设小道的宽为x米, 依题意,得(32-2x)(20-x)=504. 整理,得x2-36x+68=0,即(x-2)(x-34)=0. 解得x1=2,x2=34(舍). 答:小道的宽为2米. 〔方法归纳〕通过平移将图形进行转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法,其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形,根据规则图形面积公式列一元二次方程求解.　 【真题剖析】（2023临沭县·月考真题）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　C　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 〔知识点〕几何图形问题(一元二次方程的应用) 〔分析〕由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 〔详解〕解：∵道路的宽为x m， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形． 根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570． 故选：C． 【迁移训练】如图所示,在宽为20 m、长为30 m的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551 m2,则修建的路宽应为(　 　) A.1 m B.1.5 m C.2 m D.2.5 m 类型5　利用一元二次方程解决销售利润问题 【例题】百货大楼服装专柜在销售中发现:某品牌童装每件成本60元,现以每件100元销售,平均每天可售出20件.为了迎接五一劳动节,商场决定采取适当的降价措施,以增大销售量,增加盈利,尽量减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多销售2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,请你帮商场算一算,每件童装应定价为多少元? 解：设每件童装应降价x元. 由题意,得(100-60-x)(20+2x)=1200. 解得x1=10,x2=20. ∵商场决定采取适当的降价措施,以增大销售量,增加盈利,尽量减少库存,∴x=20. ∴每件童装应定价为100-20=80(元). 答:每件童装应定价为80元. 〔方法归纳〕解决销售利润问题,需注意以下两点:(1)每天的总利润=每件产品的利润×每天销售产品的件数;(2)若单价降低,则销售量需加上每天增加的量;若单价提高,则销售量需减去每天减少的量. 【真题剖析】（2024辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 〔知识点〕营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式 〔分析〕本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 〔详解〕（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 【迁移训练】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要尽可能地减少成本,且使每盆的盈利达到15元,则每盆应多植 株. 四、巩固训练 1.（2024黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选C． 2.（2024萨尔图区·校级月考）2024年元旦即将来临，同学们互发微信祝福语来表达新年祝福，若每人都给其他人发一条微信祝福，共发出90条微信祝福，设共有x人参与这项活动，则可列方程为（　 　） A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90 C． D． 解：设该班级共有同学x名，根据题意，得：x（x﹣1）＝90， 故选：A． 3.某口罩厂六月份的口罩产量为100万只,由于市场需求量减少,八月份的产量减少到81万只,则该厂七、八月份的口罩产量的月平均减少率为 (　 　)　　　　　　　　　　　　　 A.10% B.29% C.81% D.14.5% 4.两个相邻正整数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51,则这两个数是 . 4.某人用手机发一条短信,获得信息人也按他的发送人数发送该条短信给其他人,经过两轮短信的发送,共有90人手机上获得同一条信息,则每轮发送短信中,平均一个人向 个人发送短信. 5.公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为 (　 　) A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0 C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0 6.如图所示,学校准备修建一个面积为48 m2的矩形花园.它的一边靠墙,其余三边利用长20 m的围栏.已知墙长9 m,则围成矩形的长为(　 　) A.8 m B.6 m C.4 m D.2 m 7.某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用5元,为尽快回笼资金,该电商计划开展降价促销活动.通过市场调研发现,该时装售价每降价1元,每天销量增加4件.若该电商每天扣除平台推广费之后的利润要达到4500元,则适合的售价应定于 (　 　) A.70元 B.80元 C.70元或90元 D.90元 8.为贯彻落实党的十九大关于实施健康中国战略的要求,满足职工群众对美好生活的新期待,促进城乡加速融合,我市总工会决定对开展职工春秋(乡村)游活动予以推进.据统计,我市某农庄今年7月接待了1280人参观游玩,后几月每月都有增加,若9月份该农庄接待了2880人参观游玩,且进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率相同. (1)求该农庄游玩人数的月平均增长率. (2)因条件限制,该农庄每月接待能力不超过5000人,在进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率不变的条件下,该农庄能否全部接待10月份的参观游玩的人?并说明理由. 9.如图所示,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的图案,其中有两横彩条、一竖彩条,横、竖彩条的宽度比为1∶3.如果要使彩条所占面积是图案面积的19%,求竖彩条的宽度. 10.某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产每提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品? (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品? 五、学习小结 列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1)“设”,即设未知数,设未知数的方法有直接设和间接设两种; (2)“列”,即根据题中的等量关系列方程; (3)“解”,即求出所列方程的根; (4)“检验”,即验证是否符合题意; (5)“答”,即回答题目中要解决的问题. 六、课后作业 一、选择题（本题包括小题，每小题3分，共30分。每小题只有1个选项符合题意） 1．（2024四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2.随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2015年的200万元增长到2017年的392万元，设该购物网站销售额年均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 3.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为（　　） A. 4 B. C. 2 D. 5.如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（　　） A. 5米 B. 4米 C. 3米 D. 2米 6. 下列说法： 若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；若，则是一元二次方程的一个根；若，则一元二次方程有不相等的两个实数根；当m取整数或1时，关于x的一元二次方程与的解都是整数．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（　　） A. B. C. D. 8. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均纯收入为2620元，经过帮扶到2016年人均纯收入为3850元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 某商品原价800元，连续两次降价后售价为578元，下列所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 二、解答题（本题包括6小题，每小题5分，共30分）。 11．（2023郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 12.一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值万元，求这辆车第二、三年的年折旧率． 13.如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米． 14.销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元件，但不超过50元件时，销售数量件与商品单价元件的函数关系的图象如图所示中的线段AB． 求y关于x的函数关系式； 如果计划每天的销售额为2400元时，那么该商品的单价应该定多少元？ 15.某商店在销售中发现：“米奇”牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元为了迎“六一”儿童节，商场决定适当地降价，以扩大销售量，增加盈利，减少库存经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 16.某花店第一次购进甲、乙两种多肉植物共300株，甲种多肉植物每株的成本4元，售价为8元；乙种多肉植物每株成本价为6元，售价为10元 若第一次购进多肉植物的总金额为1400元，则购进甲种多肉植物多少株？ 多肉植物一经上市，十分抢手，花店决定第二次购进甲乙两种多肉植物，它们的进价不变.甲种多肉植物的进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价也提高了，乙种多肉植物的售价和进货量不变，但是由于乙种多肉植物的耐热性不强，导致销售完之前它的成活率为，结果第二次共获利2100元，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十一章 一元二次方程 21.3　实际问题与一元二次方程 一、学习目标 1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.通过解决传播、数字与平均变化率问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识. 2.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.列一元二次方程解决几何图形和利润问题的应用题. 二、知识要点 知识点1　一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题得一般步骤： 一审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间得等量关系。 二设：就是指设元，也就就是设出未知数。 三列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义得一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中得各个量，就得到含有未知数得等式，即方程。 四解：就就是解方程，求出未知数得值。 五验：就是指检验方程得解就是否保证实际问题有意义，符合题意。 六答：写出答案。 知识点2　传播题型作答思路 传播类问题规律: ①设开始数量为1,每轮每个感染的数量为x,经n轮感染后的数量为b,则所列方程为(1+x)n=b; ②设开始数量为a,每轮每个感染的数量为x,经n轮感染后的数量为b,则所列方程为a(1+x)n=b. 【探究1】完成下面的探究内容. 问题　有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121个人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x个人,第一轮后共有(x+1)个人患了流感; ②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,第二轮后共有1+x+x(1+x)个人患了流感. 则列方程1+x+x(1+x)=121, 解得x=10或x=-12(舍), 即平均一个人传染了10个人. 再思考:如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少个人患流感? 知识点3　数字题型作答思路 数字类问题常用解题技巧: ①三个连续偶数(奇数):若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2; ②两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a+b; ③三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别是a,b,c,则这个三位数可表示为100a+10b+c 知识点4　平均变化率题型作答思路 平均增长(降低)率类问题规律: ①平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为a(1+x)2. ②平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2. 【探究2】完成下面的探究内容. 问题　两年前生产1 t甲种药品的成本是5000元,生产1 t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步,现在生产1 t甲种药品的成本是3000元,生产1 t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大? 绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大. 相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题. 分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元. 依题意,得5000(1-x)2=3000. 解得x1≈0.225,x2≈1.775(舍). 根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. ②设乙种药品成本的年平均下降率为y. 则列方程6000(1-y)2=3600. 解得y1≈0.225,y2≈1.775(舍). 根据实际意义,乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 答:两种药品成本的年平均下降率相同. 思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额大的药品,它的下降率一定也大吗?应怎样全面地比较几个对象的变化状况? 知识点5　几何图形题型作答思路 几何图形类问题常用解题技巧: 通过平移将图形进行转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法,其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形,根据规则图形面积公式列一元二次方程求解.　 【探究3】完成下面的探究内容. 问题　如图所示,要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)? 分析:封面的长宽之比是27∶21=9∶7,中央的矩形的长宽之比也应是9∶7.若设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm,由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是(27-9a)∶(21-7a)=9(3-a)∶7(3-a)=9∶7. 设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7x cm,则中央的矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm. 要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程(27-18x)(21-14x)=×27×21. 整理,得16x2-48x+9=0. 解方程,得x1=(不合题意,舍去),x2=. 上、下边衬的宽均为cm,左、右边衬的宽均为cm. 知识点6　利润题型作答思路 利润类问题常用解题技巧: ①每天的总利润=每件产品的利润×每天销售产品的件数； ②若单价降低,则销售量需加上每天增加的量;若单价提高,则销售量需减去每天减少的量. 三、典例剖析 类型1　利用一元二次方程解决传播问题 【例题】某种电脑病毒的传播速度非常快,如果1台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染,请你用学过的知识分析,每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,三轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑, 根据题意,得1+x+x(1+x)=81, 解得x1=8,x2=-10(舍去). ∴三轮感染后被感染的电脑为81+81×8=729(台). ∵729>700, ∴三轮感染后,被感染的电脑会超过700台. 答:每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑,三轮感染后,被感染的电脑会超过700台. 〔方法归纳〕传播类问题规律:(1)设开始数量为1,每轮每个感染的数量为x,经n轮感染后的数量为b,则所列方程为(1+x)n=b;(2)设开始数量为a,每轮每个感染的数量为x,经n轮感染后的数量为b,则所列方程为a(1+x)n=b. 【真题剖析】（2024年萨尔图区·月考真题）2024年元旦即将来临，同学们互发微信祝福语来表达新年祝福，若每人都给其他人发一条微信祝福，共发出90条微信祝福，设共有x人参与这项活动，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90 C． D． 〔知识点〕利用一元二次方程解决传播问题 〔分析〕设该班级共有同学x名，互相发短信，每两个人之间产生2条短信，根据共发出90条短信可得方程． 〔详解〕解：设该班级共有同学x名，根据题意，得：x（x﹣1）＝90， 故选：A． 【迁移训练】有一个人患了新冠肺炎,经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎,每轮传染中平均一个人传染了12个人. 类型2　利用一元二次方程解决数字问题 【例题】一个两位数等于其各位数字之积的3倍,其十位数字比个位数字小2,求这个两位数. 解：设这个数的个位数字为x,则十位数字为(x-2). 由题意，得10(x-2)+x=3(x-2)x. 解得x1=(舍去)，x2=4. 答：这个两位数为24. 〔方法归纳〕数字问题常用解题技巧:(1)三个连续偶数(奇数):若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2;(2)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a+b;(3)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别是a,b,c,则这个三位数可表示为100a+10b+c. 【迁移训练】一个两位数等于它的个位数字的平方,且个位数字比十位数字大3,求这个两位数. 解：设这个两位数的个位数字是x,则十位数字是(x-3), 根据题意得10(x-3)+x=x2，即x2-11x+30=0, 解得x1=5，x2=6. 当x=5时，x-3=2,两位数为25; 当x=6时，x-3=3,两位数为36. 答:这个两位数是25或36. 类型3　利用一元二次方程解决增长(降低)率问题 【例题1】胡师傅今年开了一家煮品店,5月份盈利3600元,7月份盈利5184元,且从5月份到7月份,每月盈利的平均增长率相同. (1)求每月盈利的平均增长率; (2)按照这个平均增长率,预计8月份胡师傅的煮品店盈利将达到多少元. 解：(1)设每月盈利的平均增长率为x, 则有3600(x+1)2=5184, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去). 答:每月盈利的平均增长率为20%. (2)5184×(1+20%)=6220.8(元). 答:预计8月份胡师傅的煮品店盈利将达到6220.8元. 〔方法归纳〕平均增长(降低)率问题规律:(1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为a(1+x)2.(2)平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2. 【例题2】一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A． B． C． D． 解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选C． 〔方法归纳〕本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【真题剖析1】（2024重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ． 〔知识点〕增长率问题(一元二次方程的应用) 〔分析〕本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 〔详解〕解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故答案为：． 【真题剖析2】（2024云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 〔知识点〕增长率问题(一元二次方程的应用) 〔分析〕本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 〔详解〕解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 【迁移训练1】（2024四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 解：根据题意得：． 故选：B． 【迁移训练2】某种品牌的手机经过7,8月份连续两次降价,每部售价由2500元降到了1600元.若每次下降的百分率相同. (1)求每次下降的百分率; (2)若9月份继续保持相同的百分率降价,则这种品牌的手机售价为多少元? 解：(1)设每次下降的百分率为x, 依题意，得2500(1-x)2=1600， 解得x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意,舍去). 答：每次下降的百分率为20%. (2)1600×(1-20%)=1280(元). 答:若9月份继续保持相同的百分率降价,则这种品牌的手机售价为1280元. 类型4　利用一元二次方程解决几何图形问题 【例题】如图所示,学校课外生物小组的实验园地是长为32米、宽为20米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道,使种植面积为504平方米,求小道的宽. 解：设小道的宽为x米, 依题意,得(32-2x)(20-x)=504. 整理,得x2-36x+68=0,即(x-2)(x-34)=0. 解得x1=2,x2=34(舍). 答:小道的宽为2米. 〔方法归纳〕通过平移将图形进行转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法,其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形,根据规则图形面积公式列一元二次方程求解.　 【真题剖析】（2023临沭县·月考真题）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　C　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 〔知识点〕几何图形问题(一元二次方程的应用) 〔分析〕由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 〔详解〕解：∵道路的宽为x m， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形． 根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570． 故选：C． 【迁移训练】如图所示,在宽为20 m、长为30 m的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551 m2,则修建的路宽应为(　A　) A.1 m B.1.5 m C.2 m D.2.5 m 类型5　利用一元二次方程解决销售利润问题 【例题】百货大楼服装专柜在销售中发现:某品牌童装每件成本60元,现以每件100元销售,平均每天可售出20件.为了迎接五一劳动节,商场决定采取适当的降价措施,以增大销售量,增加盈利,尽量减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多销售2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,请你帮商场算一算,每件童装应定价为多少元? 解：设每件童装应降价x元. 由题意,得(100-60-x)(20+2x)=1200. 解得x1=10,x2=20. ∵商场决定采取适当的降价措施,以增大销售量,增加盈利,尽量减少库存,∴x=20. ∴每件童装应定价为100-20=80(元). 答:每件童装应定价为80元. 〔方法归纳〕解决销售利润问题,需注意以下两点:(1)每天的总利润=每件产品的利润×每天销售产品的件数;(2)若单价降低,则销售量需加上每天增加的量;若单价提高,则销售量需减去每天减少的量. 【真题剖析】（2024辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 〔知识点〕营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式 〔分析〕本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 〔详解〕（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 【迁移训练】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要尽可能地减少成本,且使每盆的盈利达到15元,则每盆应多植2株. 四、巩固训练 1.（2024黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（   C   ） A． B． C． D． 解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选C． 2.（2024萨尔图区·校级月考）2024年元旦即将来临，同学们互发微信祝福语来表达新年祝福，若每人都给其他人发一条微信祝福，共发出90条微信祝福，设共有x人参与这项活动，则可列方程为（　A　） A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90 C． D． 解：设该班级共有同学x名，根据题意，得：x（x﹣1）＝90， 故选：A． 3.某口罩厂六月份的口罩产量为100万只,由于市场需求量减少,八月份的产量减少到81万只,则该厂七、八月份的口罩产量的月平均减少率为 (　A　)　　　　　　　　　　　　　 A.10% B.29% C.81% D.14.5% 4.两个相邻正整数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51,则这两个数是5,6. 4.某人用手机发一条短信,获得信息人也按他的发送人数发送该条短信给其他人,经过两轮短信的发送,共有90人手机上获得同一条信息,则每轮发送短信中,平均一个人向9个人发送短信. 5.公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为 (　C　) A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0 C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0 6.如图所示,学校准备修建一个面积为48 m2的矩形花园.它的一边靠墙,其余三边利用长20 m的围栏.已知墙长9 m,则围成矩形的长为(　A　) A.8 m B.6 m C.4 m D.2 m 7.某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用5元,为尽快回笼资金,该电商计划开展降价促销活动.通过市场调研发现,该时装售价每降价1元,每天销量增加4件.若该电商每天扣除平台推广费之后的利润要达到4500元,则适合的售价应定于 (　A　) A.70元 B.80元 C.70元或90元 D.90元 8.为贯彻落实党的十九大关于实施健康中国战略的要求,满足职工群众对美好生活的新期待,促进城乡加速融合,我市总工会决定对开展职工春秋(乡村)游活动予以推进.据统计,我市某农庄今年7月接待了1280人参观游玩,后几月每月都有增加,若9月份该农庄接待了2880人参观游玩,且进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率相同. (1)求该农庄游玩人数的月平均增长率. (2)因条件限制,该农庄每月接待能力不超过5000人,在进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率不变的条件下,该农庄能否全部接待10月份的参观游玩的人?并说明理由. 解：(1)设该农庄游玩人数的月平均增长率为x, 依题意,得1280(1+x)2=2880, 解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去). 答：该农庄游玩人数的月平均增长率为50%. (2)2880×(1+50%)=4320(人), ∵4320<5000, ∴该农庄能全部接待10月份的参观游玩的人. 9.如图所示,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的图案,其中有两横彩条、一竖彩条,横、竖彩条的宽度比为1∶3.如果要使彩条所占面积是图案面积的19%,求竖彩条的宽度. 解:设横彩条的宽度是x cm,竖彩条的宽度是3x cm, 根据题意,得(30-3x)(20-2x)=20×30×(1-19%), 解得x1=1,x2=19(舍去),所以3x=3. 答:竖彩条的宽度是3 cm. 10.某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产每提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品? (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品? 解:(1)(14-10)÷2+1=3(档次). 答:此批次蛋糕属第三档次产品. (2)设烘焙店生产的是第x档次的产品, 根据题意,得(2x+8)×(76+4-4x)=1080, 整理,得x2-16x+55=0, 解得x1=5,x2=11(不合题意,舍去). 答:该烘焙店生产的是第五档次的产品. 五、学习小结 列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1)“设”,即设未知数,设未知数的方法有直接设和间接设两种; (2)“列”,即根据题中的等量关系列方程; (3)“解”,即求出所列方程的根; (4)“检验”,即验证是否符合题意; (5)“答”,即回答题目中要解决的问题. 六、课后作业 一、选择题（本题包括小题，每小题3分，共30分。每小题只有1个选项符合题意） 1．（2024四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2.随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2015年的200万元增长到2017年的392万元，设该购物网站销售额年均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 3.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为（　　） A. 4 B. C. 2 D. 5.如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（　　） A. 5米 B. 4米 C. 3米 D. 2米 6. 下列说法： 若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；若，则是一元二次方程的一个根；若，则一元二次方程有不相等的两个实数根；当m取整数或1时，关于x的一元二次方程与的解都是整数．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（　　） A. B. C. D. 8. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均纯收入为2620元，经过帮扶到2016年人均纯收入为3850元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 某商品原价800元，连续两次降价后售价为578元，下列所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 二、解答题（本题包括6小题，每小题5分，共30分）。 11．（2023郴州·中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 12.一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值万元，求这辆车第二、三年的年折旧率． 13.如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米． 14.销售某种商品，根据经验，销售单价不少于30元件，但不超过50元件时，销售数量件与商品单价元件的函数关系的图象如图所示中的线段AB． 求y关于x的函数关系式； 如果计划每天的销售额为2400元时，那么该商品的单价应该定多少元？ 15.某商店在销售中发现：“米奇”牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元为了迎“六一”儿童节，商场决定适当地降价，以扩大销售量，增加盈利，减少库存经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 16.某花店第一次购进甲、乙两种多肉植物共300株，甲种多肉植物每株的成本4元，售价为8元；乙种多肉植物每株成本价为6元，售价为10元 若第一次购进多肉植物的总金额为1400元，则购进甲种多肉植物多少株？ 多肉植物一经上市，十分抢手，花店决定第二次购进甲乙两种多肉植物，它们的进价不变.甲种多肉植物的进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价也提高了，乙种多肉植物的售价和进货量不变，但是由于乙种多肉植物的耐热性不强，导致销售完之前它的成活率为，结果第二次共获利2100元，求m的值． 参考答案 一、选择题（本题包括小题，每小题3分，共30分。每小题只有1个选项符合题意） 1.【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键． 设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 2.【答案】A 【解析】设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，根据从2015年的200万元增长到2017年的392万元，得200（1+x）2=392.故选A. 3.【答案】C 【解析】设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是91，即可得:x2+x+1=91．故选C． 4.【答案】A 【解析】把x=0代入x2+mx+m-4=0得m-4=0，解得m=4．故选A． 5.【答案】D 【解析】设道路的宽为x，根据题意，得20x+32x-x2=20×32-540，整理得（x-26）2=576，开方得x-26=24或x-26=-24，解得x=50（舍去）或x=2，所以道路宽为2米.故选D. 6.【答案】B 【解析】①若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a2+b×（-a）+a=0整理得出：a（a-b+1）=0，则代数式a-b=-1，故此选项正确；②若a+b+c=0，则x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项错误；③若b=2a+3c，那么△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2，当a≠0，c=-a时，△＞0；当a≠0，c=0时，△＞0；当a≠c≠0时，△＞0，∴△＞0，故此选项正确；④∵关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0有解，则m≠0，∴△≥0，mx2-4x+4=0，∴△=16-16m≥0，即m≤1；x2-4mx+4m2-4m-5=0， △=16m2-16m2+16m+20≥0，∴4m+5≥0，m≥- ；∴-≤m≤1，而m是整数，所以m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为x2-4x+4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），当m=1时，mx2-4x+4=0即x2-4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；x2-4mx+4m2-4m-5=0即x2-4x-5=0，方程的解是x1=5，x2=-1；当m=0时，mx2-4x+4=0时，方程是-4x+4=0不是一元二次方程，故舍去．故m=1，故此选项错误；故正确的有2个，故选B． 7.【答案】D 【解析】每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为： x（x-1）=28．故选D． 8.【答案】D 【解析】利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程可得：100×（1-x）2=81．故选D． 9.【答案】D 【解析】由题意得2620（1+x）2=3850.故选A. 点睛：平均增长率（降低）百分率是x，增长(降低)一次，一般形式为a（1x）=b；增长（降低）两次，一般形式为a（1x）2=b；增长（降低）n次，一般形式为a（1x）n=b ,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 10.【答案】B 【解析】根据题意分别表示出两次降价后的价格可得：800（1-a%）2=578．故选B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出降价后价格是解题关键． 二、解答题（本题包括6小题，每小题5分，共30分） 11.【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%； （2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5， 解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去）， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， 由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%）， 解得：a≤0.1， 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 12.【答案】这辆车第二、三年的年折旧率为 【解析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1-20%）（1-x）元，第三年折旧后的而价格为20（1-20%）（1-x）2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程求出其解即可． 解：设这辆车第二、三年的年折旧率为x，有题意，得． 整理得：． ． ． 解得：不合题意，舍去． ，即． 答：这辆车第二、三年的年折旧率为． 【点睛】本题是一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键． 13. 【答案】小路的宽为10米．   【解析】分别表示出阴影部分的矩形的长和宽，然后利用矩形的面积公式列出方程求解． 解：设小路的宽为x米，根据题意得：， 解得：或舍去 答：小路的宽为10米．   14.【答案】 ；计划每天的销售额为2400元时，该商品的单价应该定40元．  【解析】（1）根据A、B两点的坐标值可求出一次函数的解析式；（2）设该商品的单价应该定x元，利用：每天的销售额=商品单价×销售数量，得到关于x的一元二次方程，计算求出x的值即可． 解：设y关于x的函数关系式为． 由题意，得 解得． 故y关于x的函数关系式为； 设该商品的单价应该定x元． 由题意，得． 化简整理，得． 解得，． 经检验，不合题意，舍去． 答：计划每天的销售额为2400元时，该商品的单价应该定40元．  【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数和一元二次方程的关系，是中考题中常见题型． 15. 【答案】每件童装降价20元 【解析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可． 解：设每件童装应降价x元，根据题意列方程得： （40﹣x）（20+2x）=1200 解得x1=20，x2=10． ∵增加盈利，减少库存，∴x=10（舍去）． 答：每件童装降价20元． 点睛：本题考查了一元二次方程的应用．找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 16.【答案】甲种多肉植物购进200株； m的值为25．   【解析】（1）设购进甲种多肉植物x株，则购进乙种多肉植物（300-x）株，根据购进多肉植物的总金额为1400元列出方程并解答；（2）根据第二次共获利2100元列出方程，求解即可． 解：（1）设甲种多肉植物购进x株，根据题意得 4x+6（300﹣x）=1400， 解得x=200． 答：甲种多肉植物购进200株； （2）根据题意，得 200（1+2m%）[8（1+m%）﹣4]+100×90%×10﹣100×6=2100， 解得m1=25，m2=﹣125（不合题意舍去）， 即m的值为25． 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$