21.3 实际问题与一元二次方程同步教学讲义（知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.3 实际问题与一元二次方程同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：传播问题与一元二次方程 传染源 + 第一轮被传染的数量 + 第二轮被传染的数量 =两轮传染后的总数 知识点02：平均变化率与一元二次方程 a 为起始量， b 为终止量，平均增长率公式： a(1+x) n=b( x为平均增长率， n 为增长的次数)；平均降低率公式： a( 1－x) n=b(x 为平均降低率， n 为降低的次数) 知识点03：几何面积问题与一元二次方程 题型1： 传播问题 【例1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 【练1】有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据每轮传染中平均每人传染了x个人，可得出第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，进而可得出1轮后有个人患了流感，结合“有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入中，可求出经过三轮传染后患病人数． 【详解】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人， ∴1轮后有个人患了流感，结论A不符合题意； ∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，结论B不符合题意； 根据题意得：，即，结论C不符合题意； 解得：（不符合题意）， ∴不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，结论D符合题意． 故选：D． 题型2： 增长率问题 【例1】近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，列方程，即可作答． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【练1】由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为， 第二周票房约亿元，第三周票房约亿元． 依题意得：． 故选：D． 题型3： 图形问题 【例1】如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解题的关键． 【详解】解：由题可得：可列方程为． 故选：A． 【练1】如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．分别表示出图案面积和海报面积，根据边框面积图案面积，可得海报面积图案面积边框面积，即可列出方程． 【详解】解：通过题意易知，矩形的面积， 又∵矩形的周围是的边框， ∴整个海报的长为，宽为，面积为， 又∵边框面积矩形图案面积， ∴边框面积， ∴海报面积图案面积边框面积， 即． 故选：D． 题型4： 数字问题 【例1】两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】设两个相邻奇数为和，根据乘积为列方程求解，再求和即可，注意需考虑正负两种情况． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设这两个相邻奇数分别为和，则它们的乘积为： 展开得： 当时，两个奇数为和，和为； 当时，两个奇数为和，和为。 因此，这两个奇数的和为或， 故选：D 【练1】如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和为（   ） A．34 B．34或 C．35或 D． 【答案】B 【分析】先设出其中一个偶数，根据两个连续偶数的关系表示出另一个偶数，再根据题目列出方程，最后求出这两个数的和。 【详解】解：设较小的偶数为，较大的偶数为 由题意可得： 解得： 当时，，这两个数之和为34 当时，，这两个数之和为-34 这两个数的和为34或-34 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用代数式表示两个连续的偶数，根据等量关系列出方程是解决问题的关键。 题型5： 销售问题 【例1】某商场平均每天可售出童装20件，每件盈利40元．为了迎接儿童节，该商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装共盈利1200元，设每件童装降价元，那么应满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的销售问题，找到共盈利的等量关系是解决本题的关键，难点是得到降价后销量在20的基础上增加的件数． 原来每件盈利40元，降价元后，那么每件盈利元；原来可卖出20件，易得每降价1元，多售出2件，那么每降价元，就多售出件．要想平均每天销售这种童装共盈利1200元，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为： ． 故选：C 【练1】国庆节假期期间，某商场将进价为30元/盏的台灯以40元/盏售出，平均每月能售出600盏．调查发现，售价在40元/盏至60元/盏范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，每盏台灯应涨价（   ） A．10元 B．15元 C．20元 D．40元 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用,关键是看到定价和销售量的关系,根据利润列方程求解． 设这种台灯售价为x元,那么就少卖出个， 则每个台灯的利润为元， 根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出方程， 最后求解方程． 【详解】解：设这种台灯的售价应定为元，依题意有， 整理得， 解得:(舍去)． 则涨价为元. 故选：A． 一、单选题 1．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（   ） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握组合数的公式．通过组合数公式建立方程求解人数． 【详解】解：设有人，根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的有5人， 故选：． 2．深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设下载量的日平均增长率为．根据首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设下载量的日平均增长率为． 根据题意，得， 故选：C． 3．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 根据题意，找出等量关系，列方程求解，对各选项进行分析即可． 【详解】解：设这批椽一共有x株， 根据题意得，， 即， 解得，，（舍去）， ∴这批椽一共有株， ∴一株椽的价钱为：（文）； ．设这批椽的数量为株，则，说法正确，不符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法不正确，符合题意； ．一株椽的价钱为文，说法正确，不符合题意； ．这批椽一共有株，说法正确，不符合题意． 故选：． 4．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件36元降到每件25元，设该商品平均每次降价的百分率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率（降低率）问题中的应用．解题的关键是理解连续两次降价的含义，根据原价、降价百分率和现价之间的关系列出方程． 分析商品降价过程：原价为每件元，平均每次降价的百分率为x，第一次降价后价格为元；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后价格为元，而现价为元，由此可列出方程． 【详解】解：已知商品原价为每件元，平均每次降价的百分率为x． 第一次降价后，商品价格为元； 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后，商品价格为元． 又因为经过连续两次降价后，售价为每件元， 所以可列方程为． 故选：A． 5．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系．根据单循环赛总场数的计算公式，结合总比赛场数，建立方程求解． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队需与其他个队比赛一场，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为， 根据题意，总场数为场， 故方程为． 故选：B． 6．如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（    ） A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得，再解方程并检验即可. 【详解】解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得 ， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴金色纸边的宽为1分米； 故选：A． 7．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（   ）人 A．9 B．10 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据握手次数的计算方式建立方程求解即可． 【详解】设有名同学参加聚会．每人与其他人各握手一次，但每两次握手会被重复计算一次，因此总握手次数为．根据题意，总握手次数为45次，列方程： ， 整理得： 解得（舍去） 故选B． 8．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 二、填空题 9．学校准备组织一次篮球比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，则参加比赛的队伍有 队． 【答案】9 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设参赛队数为x个，根据计划安排36场比赛列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设参赛队数为x个， 则， 解得，（不符题意，舍去）， ∴参赛队数为9个， 故答案为：9． 10．某市2025年4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用手机户数量增长至36万，设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，由于4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用户数量增长至36万，据此可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为：， 故答案为：． 11．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量 持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的关键是根据增长率的等量关系列出方程并求解． 设第二、三天销售量的平均增长率为第一天销售了个，那么第二天的销售量为个，第三天的销售量为个；根据第三天销售量达到个，可列方程求解方程得到（即或（舍去）． 【详解】解：设第二、三天销售量的平均增长率为x． 根据题意，第一天销售量为个，则第三天销售量为个． 可列方程： 方程两边同时除以，得： 两边开平方，得： 解得：,（增长率不能为负，舍去） 故答案为：． 12．设某矩形的长和宽分别等于方程的正实数根，若矩形的周长和面积相等，则p、q的关系为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根与系数的关系，设，是关于x的一元二次方程的两正实数根，利用根与系数的关系，可得出，,结合矩形的周长和面积相等，即可找出p、q的关系． 【详解】解：设，是关于x的一元二次方程的两正实数根， ∴，，且， ∵矩形的周长和面积相等， ∴， ∴， ∴且． 故答案为：且． 13．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 【答案】1 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设小道进出口的宽度为，根据平移可得种植花草是一个矩形，根据面积为，即可列出关于x的一元二次方程，整理后解得即可得出结论． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 14．福州三坊七巷是全国著名的A级景区，随着福州市的知名度提高，从2022年到2024年五一节接待旅客逐年增长，其中2022年五一节接待旅客约27.87万人次，2024年五一节接待旅客约87.08万人次，设旅客接待人数的年平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设旅客接待人数的年平均增长率为x，根据两年的人数列出方程即可． 【详解】解：设旅客接待人数的年平均增长率为x，根据题意得， ， 故答案为：． 15．如图，在宽为，长的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为，若设路宽为，则可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，如果若设路宽为，耕地的长应该为，宽应该为；那么根据耕地的面积为，即可得出方程． 【详解】解：设路宽为， 则耕地的长应该为，宽应该为； 根据面积公式可得：， 故答案为：． 16．某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为x，根据题意，可列得方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该社区六月份绿化投入金额=该社区四月份绿化投入金额平均每月绿化投入的增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 三、解答题 17．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，如果这种商品每件的销售价每提高1元，其销售量就减少20件． (1)该店主将每件售价定为多少元时，才能使该商品每天的利润为640元，同时要让利于顾客？ (2)店主想要使该商品每天的利润为800元，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？说明理由 【答案】(1)该店主将每件售价定为12元时，才能使该商品每天的利润为640元，同时要让利于顾客 (2)同意小红同学的说法，理由见解析 【分析】（1）由利润=每件利润销售数量建立方程求出其解即可； （2）由利润=每件利润销售数量建立方程，根据判别式判定即可． 本题考查了一元二次方程的应用，掌握销售问题的数量关系利润=每件利润销售数量是解决问题的关键 【详解】（1）设每件售价定为x元，根据题意，得 ， 解得，， 要让利于顾客， ， 答：该店主将每件售价定为12元时，才能使该商品每天的利润为640元，同时要让利于顾客； （2）同意小红同学的说法，理由如下： 设每件售价定为x元，根据题意，得 ， 整理得， ∵ 方程无实数根， 店主不能使该商品每天的利润为800元， 故同意小红同学的说法． 18．端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个． (1)赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？ (2)若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元？ 【答案】(1)赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元 (2)7元 【分析】（1）设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是元，根据用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个，列出分式方程，解方程即可； （2）设肉丁粽的售价为m元，则销量为个，根据使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ， 答：赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元； （2）解：设肉丁粽的售价为m元，则半个月的销量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：将售价定为7元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元． 19．某校生物实验兴趣小组的同学计划用长的栅栏靠墙围成如图所示的试验田，种植甲、乙两种植物，其中墙长为． (1)设边的长为，则边的长为 ．（用含的代数式表示） (2)若所围成的试验田的总面积为，求的长． (3)能否围成总面积为的试验田？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用和根的判别式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据各边之间的关系，可得出的长，即可求解； （2）根据面积公式列出，然后即可求解； （3）根据题意列出方程，然后根据根的判别式的知识即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， 解得或， 当时， ， 不符合题意， 舍去； 当时， ， 符合题意， ∴的长为； （3）解：不能，理由：由题意可得方程， ∴， ∵， ∴方程无实数解， ∴不能围成总面积为的实验田； 20．景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： (1)用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是______元； ②实际的销售量是______个； (2)为了赚得10000元的利润而义尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【答案】(1)①； (2)元 【分析】此题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）①根据售价进价利润，进而得出答案；②销量减少的销量实际销量进而得出答案； （2）利用总利润，进而得出方程求出答案； 【详解】（1）解：①依题意，设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出 ∴每个磁盘的实际利润是：（元）； ②∵进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个 ∴实际的销售量是：个； （2）解：设瓷盘每个涨价元能赚得元的利润， 依题意得：， 解得：， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 当涨价元时，则实际售价为（元）， 尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为元； 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 实际问题与一元二次方程同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：传播问题与一元二次方程 传染源 + 第一轮被传染的数量 + 第二轮被传染的数量 =两轮传染后的总数 知识点02：平均变化率与一元二次方程 a 为起始量， b 为终止量，平均增长率公式： a(1+x) n=b( x为平均增长率， n 为增长的次数)；平均降低率公式： a( 1－x) n=b(x 为平均降低率， n 为降低的次数) 知识点03：几何面积问题与一元二次方程 题型1： 传播问题 【例1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【练1】有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 题型2： 增长率问题 【例1】近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【练1】由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ） A． B． C． D． 题型3： 图形问题 【例1】如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为米，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【练1】如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 题型4： 数字问题 【例1】两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【练1】如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和为（   ） A．34 B．34或 C．35或 D． 题型5： 销售问题 【例1】某商场平均每天可售出童装20件，每件盈利40元．为了迎接儿童节，该商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装共盈利1200元，设每件童装降价元，那么应满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【练1】国庆节假期期间，某商场将进价为30元/盏的台灯以40元/盏售出，平均每月能售出600盏．调查发现，售价在40元/盏至60元/盏范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10盏．为了实现平均每月10000元的销售利润，每盏台灯应涨价（   ） A．10元 B．15元 C．20元 D．40元 一、单选题 1．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（   ） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 2．深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．小明对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．一株椽的价钱为27文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 4．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件36元降到每件25元，设该商品平均每次降价的百分率为，则（   ） A． B． C． D． 5．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 6．如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（    ） A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米 7．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（   ）人 A．9 B．10 C．45 D．46 8．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．学校准备组织一次篮球比赛，赛制为单循环比赛（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，则参加比赛的队伍有 队． 10．某市2025年4月5G手机用户数量为25万，同年6月5G用手机户数量增长至36万，设5、6月份用户数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ． 11．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量 持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为 ． 12．设某矩形的长和宽分别等于方程的正实数根，若矩形的周长和面积相等，则p、q的关系为 ． 13．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 14．福州三坊七巷是全国著名的A级景区，随着福州市的知名度提高，从2022年到2024年五一节接待旅客逐年增长，其中2022年五一节接待旅客约27.87万人次，2024年五一节接待旅客约87.08万人次，设旅客接待人数的年平均增长率为x，则可列方程为 ． 15．如图，在宽为，长的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为，若设路宽为，则可列方程为： ． 16．某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为x，根据题意，可列得方程为 ． 三、解答题 17．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，如果这种商品每件的销售价每提高1元，其销售量就减少20件． (1)该店主将每件售价定为多少元时，才能使该商品每天的利润为640元，同时要让利于顾客？ (2)店主想要使该商品每天的利润为800元，小红同学认为不可能．你同意小红同学的说法吗？说明理由 18．端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个． (1)赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？ (2)若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元？ 19．某校生物实验兴趣小组的同学计划用长的栅栏靠墙围成如图所示的试验田，种植甲、乙两种植物，其中墙长为． (1)设边的长为，则边的长为 ．（用含的代数式表示） (2)若所围成的试验田的总面积为，求的长． (3)能否围成总面积为的试验田？请说明理由． 20．景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出600个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题： (1)用含x的代数式表示： ①每个瓷盘的实际利润是______元； ②实际的销售量是______个； (2)为了赚得10000元的利润而义尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$