第3章 一次方程与方程组 单元测试-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第3章 一次方程与方程组 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第三章（一次方程与方程组）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．若关于x，y 的方程有一组解是，则a 的值是（　） A． B．8 C． D．2 5．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．新学年，滨河初中篮球社团和音乐社团进行了招募活动．七年级一班共有30位同学报名加入了社团．已知加入篮球社团的人数比加入音乐社团的人数多4人，两个社团都加入的有8人，设加入篮球社团有人，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） 0 1 A．1 B．9 C．5 D．4 8．如图，若用12块完全相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，则每个小长方形瓷砖的面积是（   ） A．2 B． C． D．2 9．设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．如果是方程组的解，那么 ； ． 12．一船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用．若设甲、乙两码头的距离为，则可列方程为 ． 13．已知关于x，y的方程组，若方程组的解x与y满足条件，则m的值是 ． 14．若x，y满足等式：，且，则的值等于 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．解方程． (1)； (2) 16．解方程组： (1) (2) 17．为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．男装、女装的单价各是多少？ 18．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 19．如图，已知在纸面上有一数轴． 操作一： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题； ①表示5的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求两点表示的数； （3）已知数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 20．月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 21．已知点A在数轴上对应的数为，点B在数轴上对应的数为b，且A、B之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，b，的值，=____，=______，______． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则______． (3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①若点P在点M、N之间，则______． ②若，则______． 22．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元； (2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？ 23．已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，点是的中点． (1)请根据题意将图形补充完整，直接写出线段是线段的倍数； (2)动点、、在线段上，点从原点出发，以每秒4个单位的速度沿运动，到达点停止；点从的中点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、、同时出发，设运动的时间为秒． ①是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； ②在点的整个运动过程中，求点可能落在线段上的总时长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 一次方程与方程组 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第三章（一次方程与方程组）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，理解掌握定义是解答的关键．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数次数为1的整式方程，逐一判断． 【详解】解：A、符合定义，故正确； B、为分式方程，不是整式方程，故错误； C、未知数最高次数为2，故错误； D、含有两个未知数，故错误； 故选：A． 2．下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解定义中的“共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程”是解答的关键．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，符合题意； C、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； D、该方程组中含有三个未知数，故不是二元一次方程组，不符合题意． 故选：B． 3．已知关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．先根据方程的解定义可得，从而可得，再进一步即可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．若关于x，y 的方程有一组解是，则a 的值是（　） A． B．8 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入，即可求出a 的值． 【详解】解：把代入， 得， ， 故选：A． 5．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． 6．新学年，滨河初中篮球社团和音乐社团进行了招募活动．七年级一班共有30位同学报名加入了社团．已知加入篮球社团的人数比加入音乐社团的人数多4人，两个社团都加入的有8人，设加入篮球社团有人，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程，设加入篮球社团有人，得到加入音乐社团有人，结合七年级一班共有30位同学报名加入了社团，且两个社团都加入的有8人，即可得到答案，读懂题意，准确根据等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设加入篮球社团有人，根据题意列方程为， 故选：B． 7．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） 0 1 A．1 B．9 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．根据“三阶幻方”的知识分别列出关于的一元一次方程并求解，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 8．如图，若用12块完全相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，则每个小长方形瓷砖的面积是（   ） A．2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据矩形的对边相等列出方程组是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，根据题意可知，大矩形的长可表示或，从而得到，然后列方程组求解即可． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 则 解得 故． 故选B． 9．设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程的解，根据新定义得到关于m的方程是解题的关键．利用题中的新定义化简，然后解一元一次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得：， 即， 解得：， 故选：D． 10．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．设，知，据此可得，再进一步求解可得． 【详解】解：设， 则， ， 解得， ， ， 故选：A 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．如果是方程组的解，那么 ； ． 【答案】 10 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的运用以及简单的二元一次方程组的解法． 所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，可以将代入方程组，得，得到和的关系式，然后求出，的值． 【详解】解：将代入方程组，得 ， 得到，． 故答案为：，10． 12．一船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用．若设甲、乙两码头的距离为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程；根据所用时间得到相应的等量关系是解决本题的关键；注意顺流速度=静水船速+水速度；逆流速度=静水船速水速度． 根据所用的总时间可得相应的等量关系为：顺流全程的时间+逆流全程的时间，把相关数值代入即可． 【详解】解：顺流的速度为， ∴顺流的时间为：； 同理可得逆流的时间为：， 可列方程：． 故答案为：． 13．已知关于x，y的方程组，若方程组的解x与y满足条件，则m的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解，把两个方程相加可得，再将代入，即可求解． 【详解】解： 由①②得：， 把代入， 可得出：， 解得：， 故答案为：8． 14．若x，y满足等式：，且，则的值等于 ． 【答案】18 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用换元法变形后，即可求出解即可． 【详解】设，， 则可变形为， 两个方程相减得，即， 把代入得， 解得， ∴， 故答案为：18． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．解方程． (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． （2）解：去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 16．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行运算即可． 【详解】（1）解： 得，， 解得：， 将代入①得，， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组可变形为， 得：， 解得：， 将代入得：． 则该方程组的解为：． 17．为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．男装、女装的单价各是多少？ 【答案】男装单价为100元，女装单价为120元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设男装单价为x元，女装单价为y元，根据1套男装和1套女装共需220元，购买6套男装与购买5套女装的费用相同列出二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设男装单价为x元，女装单价为y元， 根据题意得： 解得： 答：男装单价为100元，女装单价为120元． 18．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)运动______秒钟时，两只蚂蚁相遇；相遇点在数轴上表示的数是______； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）． 【答案】(1)6， (2)t的值是8或4 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）设运动的时间是t秒，可得，即得，点P在数轴上表示的数是，即可作答． （2）根据题意得：，从而可得或． 【详解】（1）解：设运动的时间是t秒，则M表示的数是，N表示是数是， 两只蚂蚁相遇在点P时，， 解得， ∴点P在数轴上表示的数是， 故答案为：6，； （2）解：根据题意得：， ∴或， 解得或， ∴t的值是8或4． 19．如图，已知在纸面上有一数轴． 操作一： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题； ①表示5的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求两点表示的数； （3）已知数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值． 【答案】（1）；（2）①；②A表示的数是，B表示是；（3）或 【分析】本题考查了数轴上点的特征、一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离等知识． （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，中心点表示的数为0，即0与之间的距离等于0与1之间的距离，于是可得表示的点与表示的点重合； （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，中心点表示的数为1， ①1与5之间的距离和1与之间的距离相等，因此表示5的点与表示的点重合， ②1与A之间的距离和1与B之间的距离都等于，进而可求出点A、B表示的数． （3）根据相反数的和为0列出关于a的方程，解出a的值即可． 【详解】解：（1）由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）①对折中心点表示的数为1，1与5之间的距离和1与之间的距离相等， 故答案为：； ②由题意，可知关于点1所在的直线重叠，A表示的数是，B表示 答：A表示的数是，B表示是． （3）根据题意可知：或， 解得或． 20．月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①，106；②15，16，17，18 (2)能等于222，最小数为10，不能等于246，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能结合月历的特点是解题的关键． （1）①根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可；根据月历的特点，可以找到框25，26，27，28时，和最大；②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，，，那么这4个数的和为，然后解方程求出的值，进而求出其他三个数； （2）设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知，分别等于222和246，分别解得答案，然后结合月历，看是否符合月历的特点． 【详解】（1）解：①若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为 从月历上看，可知当框起来的数是25，26，27，28时，和最大，最大值为106． ②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为，由题意可知 解得 那么这4个数分别为15，16，17，18． （2）解：设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知 解得： 从月历看，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27； ∴能等于222，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27；最小的数字是10， 不能等于246，理由如下： 当 解得： 从月历看，最小的数字是12，一行只有三个数，不符合要求． 21．已知点A在数轴上对应的数为，点B在数轴上对应的数为b，且A、B之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，b，的值，=____，=______，______． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则______． (3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①若点P在点M、N之间，则______． ②若，则______． 【答案】(1)，3，5 (2)8或 (3)①5；②6.5或 【分析】本题考查绝对值的性质，数轴上两点间的距离及一元一次方程，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由，即得，，再求出即可； （2）根据，得或，再解方程即可； （3）①根据点在点、之间，去绝对值化简即得答案；②分、、去绝对值，再解方程即可得答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 故答案为：，3，5； （2）解：， 或， 或， 故答案为：8或； （3）①点在点、之间， ， ， 故答案为：5； ②当时，， 解得， 当时，， 方程无解， 当时，， 解得， 故答案为：6.5或． 22．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元度） 不超过50度的部分 超过50度但不超过200度的部分 超过200度的部分 已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负） 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元； (2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？ 【答案】(1)五，； (2)他家七月份的用电量是306度． 【分析】本题考查正数、负数的意义，一元一次方程的应用，理解分段计费的含义是正确解答的关键． （1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费； （2）判断出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可． 【详解】（1）解：五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度， 元， （2）解：∵， ∴用电量大于200度， 设用电量为x度，由题意得， ， 解得：， 答：他家七月份的用电量是306度． 23．已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，点是的中点． (1)请根据题意将图形补充完整，直接写出线段是线段的倍数； (2)动点、、在线段上，点从原点出发，以每秒4个单位的速度沿运动，到达点停止；点从的中点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、、同时出发，设运动的时间为秒． ①是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； ②在点的整个运动过程中，求点可能落在线段上的总时长． 【答案】(1)图见解析， (2)①存在，；②秒 【分析】本题是数轴的一个综合题，涉及非负数性质，一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的难点与关键． （1）利用绝对值和平方的非负性质即可求解； （2）①先得出，再根据已知条件得出关于t的一元一次方程求解即可． ②分别求出点在上与点相遇时、与点相遇时，点从返回到，与点相遇时、与点相遇时，t的值，然后求解即可． 【详解】（1）解：， ，且， 解得，，， 点是的中点， 点对应的数为2， ，， ； 补充图形如下： （2）①点从的中点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动， ， 则， 点、两点同方向同速度， ， ， ， 解得：， 根据题意，得，符合题意， 存在值，使得，此时； ②点在上与点相遇时，， 与点相遇时，， 点从返回到，与点相遇时，， 与点相遇时，， 停止后还有3秒， 在点的整个运动过程中，点可能落在线段上的总时长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$