第十七章 一元二次方程 单元测试（提升卷）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 第十七章 一元二次方程 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 2．某工厂一月份的产值是万元，之后每个月产值的平均增长率为，已知第一季度的总产值是万元．为了求出，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（    ） A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根 C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况 6．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，则 ． 8．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 9．若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ． 10．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为 ． 图1                  图2 11．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价 元． 12．已知两个连续正偶数的积为224，则这两个连续的正偶数是 ． 13．若，，则 ． 14．若关于的一元二次方程的两根为和，则可分解为 ． 15．三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程 的解，则此三角形的周长是 ． 16．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 17．关于的一元二次方程有一根为，则 ． 18．的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 三、解答题 19．按规定方法解方程： (1)；（公式法） (2)．（因式分解法） (3)；（直接开平方或因式分解法） (4)；（配方法） 20．已知． (1)求，的值． (2)若关于的一元二次方程有一个根是，求的值． 21．已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 22．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 23．阅读材料． 对式子可以变化如下： 原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方． 请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)请用配方法求出的最小值 (2)请用配方法求出代数式的最小值 (3)试说明：、取任何实数时，代数式的值总大于8． 24．已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． (1)求k关于n的表达式； (2)若n为正整数，求k的取值范围． 25．（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 4 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 第十七章 一元二次方程 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将代入得到关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：是x的一元二次方程，且一个根是0， 故，即， 将代入， 即， 解得， 由于， ． 故选：B． 2．某工厂一月份的产值是万元，之后每个月产值的平均增长率为，已知第一季度的总产值是万元．为了求出，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用.每个月产值的平均增长率为，根据一月份的产值是万元，表示之后两个月的产值，根据已知第一季度的总产值是万元列方程即可. 【详解】解：每个月产值的平均增长率为，则二月份产值为，三月份产值为，则 故选：D 3．如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由判别式的意义可得，根据“阿凡达”方程的定义可得，即，把代入可得到，则，然后再逐项判断即可． 【详解】解：∵是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根， ∴，，即， ∴，即，即 ∴ ∴． 故选：A． 4．已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程的解、根与系数的关系可得、、，代数式可化为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∴． 故选：C． 5．关于的整系数一元二次方程中，若是偶数，是奇数，则（    ） A．方程没有整数根 B．方程有两个相等的整数根 C．方程有两个不相等的整数根 D．不能判定方程整数根的情况 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根，假设出方程解的情况，当有奇数时与有偶数时，分别讨论即可求出．熟练掌握奇数、偶数的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是偶数，是奇数， ∴、是偶数，是奇数，或者都是奇数； ①、是偶数，是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（偶奇偶）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（偶偶偶）奇奇右边； ∴方程没有整数解； ②都是奇数， 当方程有奇数解时，方程， 左边奇（奇奇奇）奇奇右边； 当方程有偶数解时，方程， 左边偶（奇偶奇）奇奇右边； ∴方程没有整数解； 综上所述，方程没有整数根； 故选：A． 6．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C． 二、填空题 7．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握换元法成为解题的关键． 设，则，然后解关于t的方程即可解答． 【详解】解：设，则原方程转化为， 整理，得． 解得（舍去）． ∴． 故答案为：4． 8．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：， 与是“同族二次方程”， ∴，， ∴， 由①得，， 代入②得， 解得：， ∴， ， 则代数式的最小值是． 故答案为：． 9．若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的加减法、分式的化简求值等知识点，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 根据已知易得即，则，然后代入式子中计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程一个解， ∴，即， ∴ ∴． 故答案为：2． 10．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为 ． 图1                  图2 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确表示阴影部分，空白部分的面积是解题的关键． 如图，由题意知，，设，依题意得，，由，，可得，即，可求，由，可得，即，计算求出满足要求的解，进而可求的值． 【详解】解：如图，由题意知，，设， 依题意得，， ∵，， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∵， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 11．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价 元． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每个口罩应该涨价x元，则每天可售出个，利用每天销售口罩获得的总利润每个的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合想让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：设每个口罩应该涨价x元，则每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵想让顾客得到实惠， ∴， ∴每个口罩应该涨价2元． 故答案为：2． 12．已知两个连续正偶数的积为224，则这两个连续的正偶数是 ． 【答案】14，16 【分析】设较小的正偶数为x，可表示出较大的正偶数，再根据两个连续正偶数的积为224，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出这两个连续的正偶数． 本题考查了一元二次方程的应用之数字问题，正确解方程是解题的关键． 【详解】解：设较小的正偶数为x，则较大的正偶数为， 根据题意得 ， 解得：， ∵ ∴， ∴． 故答案为：14，16． 13．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质和配方法的应用是解题的关键，利用作差法判断，的正负值，再根据二次根式的性质将化简为，代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．若关于的一元二次方程的两根为和，则可分解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法，熟练掌握公式是本题解题的关键．利用因式分解法即可进行计算． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根为和， 则可分解为． 故答案为：． 15．三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程 的解，则此三角形的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了因式分解法求一元二次方程，三角形三边数量关系的运用，根据三角形三边关系可得第三边的取值范围为，再根据因式分解求一元二次方程，可确定三角形第三边的长，即可求解． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴三角形第三边长的取值范围为：第三边长，即第三边长， ∵ ∴，（不符合题意，舍去）， ∴三角形第三边长为：， ∴此三角形的周长为：， 故答案为：13 ． 16．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 17．关于的一元二次方程有一根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，通过解关于的方程即可求得的值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为， ∴满足关于的一元二次方程，且， 即， 解得：， 故答案为：． 18．的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形和一元二次方程结合．熟练掌握三角形三边关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式与根和关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到，把两根之积与两根之和代入的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 又由三角形的三边关系可得：， ∴， 即， 解得：； ∵方程有两个实根， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．按规定方法解方程： (1)；（公式法） (2)．（因式分解法） (3)；（直接开平方或因式分解法） (4)；（配方法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据公式法进行计算即可； （2）整理后，根据因式分解进行计算即可； （3）根据直接开平方进行计算即可； （3）根据配方法进行配方计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， 故，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （3）解：， 开方得， ∴，， 解得，； （4）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 20．已知． (1)求，的值． (2)若关于的一元二次方程有一个根是，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为 【分析】本题考查的知识点是二次根式的非负性、一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握二次根式的非负性． （1）利用二次根式的非负性，可得到且，由此可求出的值，然后求出的值； （2）将，的值代入方程，可得到，再将代入方程，可求出的值． 【详解】（1）解：， 根据二次根式非负性可得且， 解之：， ， ，． （2）解：依（1）得：该一元二次方程为， 关于的一元二次方程有一个根是， ， 解之：， 的值为． 21．已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出或或是解（1）的关键，能根据一元二次方程的定义得出且是解（2）的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出或或，再求出即可； （2）根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】（1）解：要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况： ①，解得：，该方程是一元一次方程； ②，解得：，该方程是一元一次方程； ③，解得：，该方程是一元一次方程； 所以当或时，该方程是关于的一元一次方程； （2）解：要使关于的方程是一元二次方程，必须且， 解得：，都满足， 所以时，该方程是关于的一元二次方程． 22．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)2 750元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设每次降价的百分率为x，根据两次降价后售价由3000元变为2430元列出方程求解即可； （2）假设下调a个50元，则每台的利润为元，销售量为台，再根据总利润为5000元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得 或（舍去） 答：每次降价的百分率是； （2）解：假设下调a个50元， 依题意得， 解得， ∴下调150元， ∴定价为2 750元， 答：每台冰箱的定价应为2750元． 23．阅读材料． 对式子可以变化如下： 原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方． 请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)请用配方法求出的最小值 (2)请用配方法求出代数式的最小值 (3)试说明：、取任何实数时，代数式的值总大于8． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （2）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （3）利用配方法将代数式转化为完全平方与和的形式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解： ， ∵，， ∴， ∴、取任何实数时，代数式的值总大于8． 24．已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且． (1)求k关于n的表达式； (2)若n为正整数，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)，且（n为正整数） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据根与系数的关系得到 ，，再由得到，，则，据此可得答案； （2）根据，结合n为正整数进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个正实数根，， ∴ ，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴，且（n为正整数）． 25．（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值． （2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得． 根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）1；（2）①，；②，证明见解析 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出，．由，可得，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可； （2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，进而可求出，；②由一元二次方程的解的定义可得出，两边都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后结合题意即可得出，即． 【详解】解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根， ∴，， ∴， 整理，得：， 解得：，． 当时，， ∴此时原方程没有实数根， ∴不符合题意； 当时，， ∴此时原方程有两个不相等的实数根， ∴符合题意， ∴的值为1； （2）①∵， ∴． ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，； ②猜想：． 证明：根据一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①， 同理可得：②， 由①+②，得：， ∵，，， ∴，即． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$