精品解析：山东省枣庄市第三中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

枣庄三中2024～2025学年度高二年级10月质量检测考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应的倾斜角为60°. 故选：B 【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法，属于基础题. 2. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 3. 如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，，，则线段CD的长为（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可得，再利用数量积的运算律和模长计算求解即可； 【详解】由图可得， 所以， 因为， 所以， ， 所以， 所以线段CD的长为， 故选：D. 4. 如图，，分别是四面体的边，的中点，，是的三等分点，且，，，则向量可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加减以及数乘运算，即可求得答案. 【详解】由题意，分别是四面体的边，的中点，，是的三等分点， 连接, 得 , 故选：A 5. 在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四点共面的条件，再根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论． 【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是； 对于A，因为，所以不能得到，，，四点不共面； 对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面； 对于C，由条件可得，则，，为共面向量，所以与,一定共面； 对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面． 故选：C． 6. 若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”， 但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知点，．若直线与线段无公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段无公共点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为. 因为，， 所以，. 如图所示， 由图象可知，， 即时，直线与线段无公共点， 所以实数的取值范围为， 故选：A. 8. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点为，证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据直二面角可得，利用勾股定理求出即可判断B；以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可判断C；利用向量法求线线夹角即可判断D. 【详解】对于选项A：设的中点为，则， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以，故A正确； 对于选项B：由A的分析知即为二面角的平面角， 故，即， 可知，则， 所以是等边三角形，故B正确； 对于选项CD：以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 所以点与平面的距离，故C错误； 又因为， 且与所成的角取值范围为， 可知与所成的角的余弦值为，所以与所成的角为，故D正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：1．利用空间向量求空间角的一般步骤 （1）建立恰当的空间直角坐标系． （2）求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标． （3）结合公式进行论证、计算． （4）转化为几何结论． 2．利用空间向量求点到平面距离的方法 如图，设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面α的法向量，则B到平面α的距离. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 B. 平行于轴的直线的倾斜角是或 C. 若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D. 若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，A对； 对于B选项，平行于轴的直线的倾斜角是，B错； 对于C选项，若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等，C对； 对于D选项，若两条直线的倾斜角都是直角时，则这两条直线的斜率都不存在，D错. 故选：AC. 10. 已知向量，，，则（     ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，， 在上的投影向量为，B正确； 对于C，，与不垂直，C错误； 对于D，，共面，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正四棱锥的所有棱长均为1，E为BC的中点，M，N分别为棱PB，PC上的动点，设，，，则（ ） A. AM不可能垂直于BN B. 的取值范围是 C. 当时，平面平面ABCD D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量证明不成立否定选项A；求得的取值范围判断选项B；当时求得平面与平面ABCD位置关系判断选项C；求得三棱锥的体积判断选项D. 【详解】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴， 过点D且垂直于底面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由，可得，． 选项A：，， 若，则，则，即， 因为，所以方程无实数根， 所以AM不可能垂直于BN，故A正确； 选项B：，，故B错误； 选项C：连接BD交AE于F，取BD的中点O，连接OP， 则平面ABCD，因为E为BC的中点，所以由几何关系可知， 因为，所以，连接MF，则， 所以平面ABCD，又平面AME， 所以平面平面ABCD，故C正确； 选项D：因为，所以． 连接AC，因为，， 所以，则三棱锥的体积为定值，故D正确． 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知空间中有三点，，，则到直线的距离为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可. 【详解】由题知，， 所以 所以， 所以到直线的距离为， 故答案为：2 13. 已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值_________． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 14. 正四面体的棱长为，点M为平面内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合正四面体的结构特征求出相关线段长，确定M轨迹，建立空间直角坐标系，设，从而表示出的坐标，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意知正四面体的棱长为， 设P在底面上的射影为O，则O为正三角形的中心， 设D为的中点，连接，则O在上，， 且， 则，而， 故，故点M轨迹为平面内以O为圆心半径为1的圆， 以O为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，为z轴，建立平面直角坐标系， 设，， ， 故，， 设直线PM与直线AB的所成角为， 则， 故答案为： 四、解答题 15. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程； （2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程； 【详解】（1）BC的中点坐标为 则边BC上的中线所在直线的方程为； （2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为； （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为， 则边BC的垂直平分线的方程为. 16. 已知平行六面体，，，，． （1）求MN的长度； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，利用表示，再结合数量积的运算律求解即可； （2）先用基底表示，，再结合数量积的运算求夹角的余弦值即可； 【小问1详解】 设， 由题意可知，， ， ， ， 所以． 【小问2详解】 ， ， 设异面直线与所成的角为θ， ， ， ， ， ． 17. 已知直线l过点 （1）它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． （2）若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）或 （2）最小值为24，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求出即可； （2）设出截距式，结合基本不等式求出的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【小问1详解】 ①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． 【小问2详解】 设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）[方法一]：几何法 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面， ，，，又，平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． ，． 由题设（）． 因为， 所以，所以． [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面． 作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角． 设，过作交于点G． 由得． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结， 在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则． 设，在中，． 在中，，过D作的平行线交于点Q． 在中，． 在中，由余弦定理得，，， ，， 当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当点为的中点时，有平面. 【解析】 【分析】（1）作平面，结合已知建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量以及，再由公式即可求解. （2）分别算出与平面的法向量，再由公式即可求解. （3）若平面，则，而在第二问中已经求出，所以只需设，待定系数即可求解. 【小问1详解】 作平面，又，所以以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系： 因为平面平面，平面平面，且，平面， 所以平面， 又因为为的中点，，且，，， 所以由题意有， 所以有 不妨设平面的法向量为， 所以有，即， 取，解得， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 如图所示： 由题意有， 所以有 不妨设平面的法向量为， 所以有，即， 取，解得， 不妨设直线与平面所成角为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 如图所示： 由题意有 所以， 由题意不妨设， 所以， 又由（2）可知平面的法向量为， 若平面，则， 即，解得， 所以当点为的中点时，有平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枣庄三中2024～2025学年度高二年级10月质量检测考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 135° 2. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 3. 如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，，，则线段CD的长为（ ） A. B. 10 C. D. 4. 如图，，分别是四面体的边，的中点，，是的三等分点，且，，，则向量可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是（ ） A. B. C. D. 6. 若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 7. 已知点，．若直线与线段无公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 B. 平行于轴的直线的倾斜角是或 C. 若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D. 若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等 10. 已知向量，，，则（     ） A. B. 在上的投影向量为 C. D. 向量共面 11. 如图，正四棱锥的所有棱长均为1，E为BC的中点，M，N分别为棱PB，PC上的动点，设，，，则（ ） A. AM不可能垂直于BN B. 的取值范围是 C. 当时，平面平面ABCD D. 三棱锥的体积为定值 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知空间中有三点，，，则到直线的距离为______. 13. 已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值_________． 14. 正四面体的棱长为，点M为平面内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为______. 四、解答题 15. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边BC的垂直平分线的方程． 16. 已知平行六面体，，，，． （1）求MN的长度； （2）求异面直线与所成的角的余弦值． 17. 已知直线l过点 （1）它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． （2）若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $