第12讲 等式与方程（4考点4题型，新教材）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024）

第12讲 等式与方程 课程标准 学习目标 1 理解等式的基本性质，能运用等式性质进行简单的变形和推理。 2 掌握方程的概念，能准确识别一元一次方程、二元一次方程等常见方程类型。 3 学会运用方程解决实际问题，体会方程在数学建模中的重要作用。 1. 认识等式与方程，了解方程的解的概念，能判断方程的解。 2. 具备根据实际问题列方程的能力，熟练求解各种方程。 3. 感受方程在解决实际问题中的便捷性，增强对数学的应用意识。 知识点一、等式 1. 等式的概念：用符号“＝”来表示相等关系的式子叫做等式. 2. 列等式的步骤： （1） 分析条件，找出等量关系； 常用的等量关系：速度×时间＝路程；售价＝标价×折扣；利润＝售价－售价等 （2） 用含有数、字母、运算符号和等号的式子表示出等量关系. 知识点二、等式的基本性质 1、等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 若，那么. 2、等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的结果仍是等式. 若，那么；若，那么. 3、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 4、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，，则； （2）等式的对称性：若，则. 知识点三、方程 1、 方程：含有未知数的等式叫作方程； 2、 方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3、 方程一定是等式，等式不一定是方程. 知识点四、方程的解和解方程 1.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解得过程叫做解方程. （1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； （2）方程的解是通过解方程求得的. 3.方程的解可能不止一个（如和都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 4.检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 题型01 利用等式的基本性质对等式进行变形 1．下列等式的变形正确的是（　　） A．如果x﹣2＝y，那么x＝y﹣2 B．如果x＝6，那么x＝2 C．如果x＝y，那么﹣x＝﹣y D．如果x＝y，那么 2．下列各式运用等式的性质变形，正确的是（　　） A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若ac＝bc，则a＝b C．若，则a＝b D．若（m2﹣1）a＝（m2﹣1）b，则a＝b 3．利用等式的基本性质可将等式x+2＝7变形为x＝　　． 4．如果将方程3x﹣2y＝25变形为用含x的式子表示y，那么y＝　　． 题型02 方程的定义 1．下列式子中，方程的个数是（　　） ①3×3+1＝5×2；②（y﹣2）2≥0；③3x+1＝5y；④；⑤x+y+z； A．2 B．3 C．4 D．5 2．在13b+5＞23；x+2.4x＝30；42×3＝126；1.5m＝70；8n﹣3.6中，方程有（　　）个． A．2 B．3 C．4 3．下列式子：①3x+2＝5x﹣1；②；③2x+3≤5；④y2﹣1＝2y；⑤，其中是方程的是 　　．（填序号） 4．下列关于x的方程：①；②0；③ax21；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 　 　． 题型03 列方程 1．x的10%与y的差比y的2倍少3，列方程为 　 　． 2．某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为 　 　． 3．一根细铁丝用去后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为　 　． 4．一件衣服打八折后，售价为88元，设原价为x元，可列方程为 　 　． 题型04 方程的解 1．若方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为﹣1，则k的值为（　　） A．10 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 2．方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗，比如：6⊗41，则方程x⊗2＝1⊗x的解为x＝ 　． 4．小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 　 　． 1．下列说法中，正确的是（　　） A．若ac＝bc，则a＝b B．若a2＝b2，则a＝b C．若，则a＝b D．若x＝6，则x＝2 2．如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列变形中，不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+3＝y+3 B．若﹣2x＝﹣2y，则x＝y C．若，则x＝y D．若x＝y，则 4．将方程2x+y＝4改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（　　） A．y＝4+2x B．y＝4﹣2x C． D． 5．下列说法正确的是（　　） A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若ax＝ay，则3﹣ax＝3+ay C．若a＝b，则ac2＝bc2 D．若ac2＝bc2，则a＝b 6．列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为 　 　． 7．由2x﹣4＝0得2x＝4，这种变形属于 　 　，其依据是 　 　． 8．如图，两台天平都保持平衡，则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为 　 　． 9．阅读材料并解决问题： 求1+2+22+23+⋯+22023的值． 令S＝1+2+22+23+⋯+22023，等式两边同时乘2，则2S＝2+22+23+⋯+22023+22024， 两式相减得2S﹣S＝22024﹣1，所以S＝22024﹣1． 依据以上计算方法，计算1+3+32+33+⋯+32023＝　 　． 10．已知a、b、c、d四个数满足：，d＝2a+3b+4c，其中a、b、c为非负数． （1）若a＝b，则c＝　 　； （2）d可取的整数有 　 　个． 11．用等式性质解下列方程： （1）4x﹣7＝13 （2）3x+2＝x+1． 12．回答下列问题，并说明变形的根据： （1）怎样从等式3x＝2x+7得到等式x＝7？ （2）怎样从等式5x＝﹣15得到等式x＝﹣3？ （3）怎样从等式得到等式a＝2b？ 13．观察以下等式： ①9×9＝81＝（9﹣1）×10+（10﹣9）； ②9×8＝72＝（8﹣1）×10+（10﹣8）； ③9×7＝63＝（7﹣1）×10+（10﹣7）； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）请再写出一个等式：　 　． （2）数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术；他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果． ①王老师猜的结果是：　 　； ②若设最初想的两位数的十位数字是a，个位数字是b，你能解释这个魔术的原理吗？ 14．现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）． （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为 　 　． （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为 　 　． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为 　 　． （4）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为 　 　． （5）从中取出4张卡片，使这4张卡片上的数字运算结果为24．写出两个不同的等式，分别为 　 　，　 　． 15．阅读与探究 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，但其实“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，所以“rationalnumber”这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数4可以写成，分数就是整数11和整数3的比． 思考：0.是不是有理数呢？ 小亮的思路如下： 设0.x，则x＝0.8888…． 所以10x＝8.8888…． 所以10x﹣x＝8.8888…﹣0.8888…＝8． 化简，得9x＝8． 解得． 所以． … 初步探究： （1）根据上述推理过程， 　 　有理数．（填“是”或“不是”） 类比迁移： （3） 请根据材料中的方法，判断是否为有理数，并说明理由． 16．阅读材料：求1+2+22+23+24+•••+22021的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+•••+22020+22021，将等式两边同时乘以2得： 2S＝2+22+23+24+25+•••+22021+22022 将下式减去上式得2S﹣S＝22022﹣1 即S＝22022﹣1 即1+2+22+23+24+•••+22021＝22022﹣1 请你仿照此法计算： （1）1+3+32+33+34+•••+3n（其中n为正整数）； （2）a+a2+a3+•••+an（其中n为正整数）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 等式与方程 课程标准 学习目标 1 理解等式的基本性质，能运用等式性质进行简单的变形和推理。 2 掌握方程的概念，能准确识别一元一次方程、二元一次方程等常见方程类型。 3 学会运用方程解决实际问题，体会方程在数学建模中的重要作用。 1. 认识等式与方程，了解方程的解的概念，能判断方程的解。 2. 具备根据实际问题列方程的能力，熟练求解各种方程。 3. 感受方程在解决实际问题中的便捷性，增强对数学的应用意识。 知识点一、等式 1. 等式的概念：用符号“＝”来表示相等关系的式子叫做等式. 2. 列等式的步骤： （1） 分析条件，找出等量关系； 常用的等量关系：速度×时间＝路程；售价＝标价×折扣；利润＝售价－售价等 （2） 用含有数、字母、运算符号和等号的式子表示出等量关系. 知识点二、等式的基本性质 1、等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 若，那么. 2、等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的结果仍是等式. 若，那么；若，那么. 3、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 4、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，，则； （2）等式的对称性：若，则. 知识点三、方程 1、 方程：含有未知数的等式叫作方程； 2、 方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3、 方程一定是等式，等式不一定是方程. 知识点四、方程的解和解方程 1.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解得过程叫做解方程. （1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； （2）方程的解是通过解方程求得的. 3.方程的解可能不止一个（如和都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 4.检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 题型01 利用等式的基本性质对等式进行变形 1．下列等式的变形正确的是（　　） A．如果x﹣2＝y，那么x＝y﹣2 B．如果x＝6，那么x＝2 C．如果x＝y，那么﹣x＝﹣y D．如果x＝y，那么 【分析】根据等式的性质1，两边都加或减同一个数或同一个整式，结果不变，可判断A，根据等式的性质2，两边都乘或除以同一个不为零的数或同一个整式，结果仍不变，可判断B、C、D． 【解答】解：A、等式的左边加2，右边减2，故A错误； B、等式的左边乘以3，右边除以2，故B错误； C、等式的两边都乘以﹣1，故C正确； D、当a＝0时，0不能作除数，故D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了等式的性质，注意两边都乘或除以同一个不为零的数或同一个整式，结果仍不变． 2．下列各式运用等式的性质变形，正确的是（　　） A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若ac＝bc，则a＝b C．若，则a＝b D．若（m2﹣1）a＝（m2﹣1）b，则a＝b 【分析】根据等式的性质判断求解． 【解答】解：A：只有当c＝0时成立，故A不符合题意； B：当c＝0时不成立，故B不符合题意； C：根据等式的性质，两边都乘以c，两边相等，故C符合题意； D：当m＝±1时不成立，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了等式的性质，理解等式的性质是解题的关键． 3．利用等式的基本性质可将等式x+2＝7变形为x＝　　． 【分析】等式两边同时减去2，即可求解． 【解答】解：x+2＝7， 等式两边同时减去2，得x＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是关键． 4．如果将方程3x﹣2y＝25变形为用含x的式子表示y，那么y＝　　． 【分析】根据等式的性质进行变形求解． 【解答】解：移项，得：﹣2y＝25﹣3x， 方程两边同时除以﹣2，得：y， 故答案为：． 【点评】本题考查等式的性质，将x看作常数，灵活应用等式的性质求解是关键． 题型02 方程的定义 1．下列式子中，方程的个数是（　　） ①3×3+1＝5×2；②（y﹣2）2≥0；③3x+1＝5y；④；⑤x+y+z； A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程可得答案． 【解答】解：①3×3+1＝5×2中不含有未知数，不是方程； ②（y﹣2）2≥0不是等式，不是方程； ③3x+1＝5y、④符合方程的定义； ⑤x+y+z是代数式，不是等式，不是方程． 故选：A． 【点评】此题主要考查了方程的定义．方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 2．在13b+5＞23；x+2.4x＝30；42×3＝126；1.5m＝70；8n﹣3.6中，方程有（　　）个． A．2 B．3 C．4 【分析】含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【解答】解：方程有：x+2.4x＝30，1.5m＝70，共2个， 故选：A． 【点评】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 3．下列式子：①3x+2＝5x﹣1；②；③2x+3≤5；④y2﹣1＝2y；⑤，其中是方程的是 　　．（填序号） 【分析】根据方程的定义逐个判定即可． 【解答】解：①3x+2＝5x﹣1符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③2x+3≤5不是等式，故③不是方程； ④y2﹣1＝2y符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 【点评】本题考查方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解题的关键． 4．下列关于x的方程：①；②0；③ax21；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 　 　． 【分析】根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫做整式方程进行判断． 【解答】解：②0，③ax21，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程； 故答案为：②③④⑥． 【点评】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 题型03 列方程 1．x的10%与y的差比y的2倍少3，列方程为 　 　． 【分析】根据数学语言列出数量关系等式即可． 【解答】解：x的10%与y的差比y的2倍少3，列方程为10%x﹣y＝2y﹣3． 故答案为：10%x﹣y＝2y﹣3． 【点评】本题考查了列一元一次方程，主要是数学语言转化为等式的能力的训练，比较简单． 2．某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为 　 　． 【分析】先表示出长，再根据长方形的周长公式列出方程即可． 【解答】解：设宽为xm，则长为（x+15）m， 根据题意得，2（x+x+15）＝210． 故答案为：2（x+x+15）＝210． 【点评】本题考查了一元一次方程，主要利用了长方形的周长公式． 3．一根细铁丝用去后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为　 　． 【分析】设铁丝的原长为xm，用去全长的后还剩2m，根据题意可得出数量关系式：铁丝的全长﹣铁丝全长剩下铁丝的长度，据此可列出方程． 【解答】解：设铁丝的原长为xm， 由题意，得：xx＝2． 故答案为：xx＝2． 【点评】本题考查学生利用数量关系式列方程，培养学生的分析能力． 4．一件衣服打八折后，售价为88元，设原价为x元，可列方程为 　 　． 【分析】根据打八折后售价等于88元列式即可． 【解答】解：设原价为x元， 根据题意得，0.8x＝88． 故答案为：0.8x＝88． 【点评】本题考查了方程的定义，理解打折的意义是解题的关键． 题型04 方程的解 1．若方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为﹣1，则k的值为（　　） A．10 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【分析】把x＝﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值． 【解答】解：依题意，得 2×（﹣1）﹣（﹣1）•k+1＝5×（﹣1）﹣2，即﹣1+k＝﹣7， 解得，k＝﹣6． 故选：C． 【点评】本题考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 2．方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】把x＝5代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字． 【解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1， 解得：★＝1， 即★处的数字是1， 故选：A． 【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 3．定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗，比如：6⊗41，则方程x⊗2＝1⊗x的解为x＝ 　． 【分析】根据定义直接求解即可． 【解答】解：∵x⊗2＝1⊗x， ∴x， 解得x， 故答案为：． 【点评】本题考查一元一次方程的解，理解定义，结合新定义，能将所求问题转化为一元一次方程的解是解题的关键． 4．小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 　 　． 【分析】把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，求出a＝3，得出原方程为6﹣5x＝21，求出方程的解即可． 【解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3， ∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21， 解得：a＝3， 即原方程为6﹣5x＝21， 解得x＝﹣3． 故答案为：x＝﹣3． 【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 1．下列说法中，正确的是（　　） A．若ac＝bc，则a＝b B．若a2＝b2，则a＝b C．若，则a＝b D．若x＝6，则x＝2 【分析】直接利用等式的性质分别判断得出答案． 【解答】解：A、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故本选项错误，不符合题意； B、若a2＝b2，则a不一定等于b，故本选项错误，不符合题意； C、若，则a＝b，正确，符合题意； D、若x＝6，则x＝﹣18，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的性质是解题关键． 2．如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由图1得，3个□+2个△＝3个〇+2个□①，由图2得，3个〇+2个△＝1个□+2个〇②，①﹣②即可得出“□”与“〇”的关系． 【解答】解：由图1得，3个□+2个△＝3个〇+2个□①， 由图2得，3个〇+2个△＝1个□+2个〇②， ①﹣②，得3个□﹣3个〇＝1个〇+1个□， ∴1个□＝2个〇， ∴n＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 3．下列变形中，不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+3＝y+3 B．若﹣2x＝﹣2y，则x＝y C．若，则x＝y D．若x＝y，则 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【解答】解：（D）当m＝0时， 与无意义，故D选项错误， 故选：D． 【点评】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 4．将方程2x+y＝4改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（　　） A．y＝4+2x B．y＝4﹣2x C． D． 【分析】利用等式的基本性质1求解即可． 【解答】解：根据等式的基本性质1，方程两边同时减2x， 得y＝4﹣2x， 故选：B． 【点评】本题考查二元一次方程的解、等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是关键． 5．下列说法正确的是（　　） A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若ax＝ay，则3﹣ax＝3+ay C．若a＝b，则ac2＝bc2 D．若ac2＝bc2，则a＝b 【分析】A．利用等式的基本性质1判断即可； B．利用等式的基本性质1和2判断即可； C、D利用等式的基本性质2判断即可． 【解答】解：将a＝b等号两边同时加c，得a+c＝b+c， ∴A不正确，不符合题意； 将ax＝ay等号两边同时乘以﹣1，得﹣ax＝﹣ay， 再将﹣ax＝﹣ay等号两边同时加3，得3﹣ax＝3﹣ay， ∴B不正确，不符合题意； 将a＝b等号两边同时乘以c2，得ac2＝bc2， ∴C正确，符合题意； 当c≠0时，将ac2＝bc2等号两边同时除以c2，得a＝b； 当c＝0时，a和b均为任意值，二者不一定相等， ∴D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查等式的性质，牢固掌握等式的性质是本题的关键． 6．列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为 　3a+5＝4a　． 【分析】根据等量关系，可得方程． 【解答】解：由题意，得 3a+5＝4a， 故答案为：3a+5＝4a． 【点评】本题主要考查了等式的基本性质，理解题意是解题关键． 7．由2x﹣4＝0得2x＝4，这种变形属于 　移项　，其依据是 　等式的基本性质　． 【分析】一元一次方程中的移项是将含有未知数的移动到等号的左边，不含未知数的项移动到等号右边，根据等式的性质，移项要变号． 【解答】解：由2x﹣4＝0得2x＝4，这种变形属于移项，其依据是等式的基本性质， 故答案为：移项；等式的基本性质． 【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是关键． 8．如图，两台天平都保持平衡，则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为 　3　． 【分析】设每个球体的质量为a，每个正方体的质量为b，每个圆柱体的质量为c，根据题意列出等式，根据等式的基本性质，求出2a与c的数量关系即可． 【解答】解：设每个球体的质量为a，每个正方体的质量为b，每个圆柱体的质量为c， 根据题意，得2a+b＝5c，2b＝4c． 根据等式的基本性质2，将2b＝4c的两边同时除以2，得b＝2c， 将b＝2c代入2a+b＝5c，得2a+2c＝5c， 根据等式的基本性质1，将2a+2c＝5c的两边同时减2c，得2a＝3c， ∴与2个球体质量相等的圆柱体的个数为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的2个基本性质是解题的关键． 9．阅读材料并解决问题： 求1+2+22+23+⋯+22023的值． 令S＝1+2+22+23+⋯+22023，等式两边同时乘2，则2S＝2+22+23+⋯+22023+22024， 两式相减得2S﹣S＝22024﹣1，所以S＝22024﹣1． 依据以上计算方法，计算1+3+32+33+⋯+32023＝　　． 【分析】仿照例题设S＝1+3+32+33+34+…+3n，求出3S，再与S相减求出2S． 【解答】解：由题意知，令S＝1+3+32+33+⋯+32023， 等式两边同时乘以3，得3S＝3+32+33+⋯+32024， 两式相减，得3S﹣S＝32024﹣1， ∴ 故答案为：． 【点评】本题考查了等式的性质、有理数的混合运算，熟练掌握运算技巧是关键． 10．已知a、b、c、d四个数满足：，d＝2a+3b+4c，其中a、b、c为非负数． （1）若a＝b，则c＝　　； （2）d可取的整数有 　15　个． 【分析】（1）设k，则a＝2k，b＝4﹣3k，c＝4k+2．由a＝b，得2k＝4﹣3k，进而求得k，从而解决此题． （2）根据a、b、c为非负数，通过a＝2k，b＝4﹣3k，c＝4k+2确定k的取值范围，从而确定d的可能取值，从而解决此题． 【解答】解：（1）设k，则a＝2k，b＝4﹣3k，c＝4k+2． ∵a＝b， ∴2k＝4﹣3k． ∴k． ∴c＝4k+2＝4． 故答案为：． （2）由（1）得，a＝2k，b＝4﹣3k，c＝4k+2． ∴d＝2a+3b+4c＝4k+12﹣9k+16k+8＝11k+20． ∵a、b、c为非负数， ∴0≤k． ∴20≤11k+20≤34． ∴d可取的整数有20或21或22或23或24或25或26或27或28或29或30或31或32或33或34，共15个． 故答案为：15． 【点评】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键． 11．用等式性质解下列方程： （1）4x﹣7＝13 （2）3x+2＝x+1． 【分析】（1）利用等式的基本性质分别化简得出即可； （2）利用等式的基本性质分别化简得出即可． 【解答】解：（1）4x﹣7＝13 移项得：4x＝20， 方程两边同时除以4得： x＝5； （2）3x+2＝x+1 移项得：3x﹣x＝﹣2+1， 合并同类项得： 2x＝﹣1， 解得：x． 【点评】此题主要考查了等式的性质，熟练利用等式的性质得出是解题关键． 12．回答下列问题，并说明变形的根据： （1）怎样从等式3x＝2x+7得到等式x＝7？ （2）怎样从等式5x＝﹣15得到等式x＝﹣3？ （3）怎样从等式得到等式a＝2b？ 【分析】根据等式的性质可得出答案． 【解答】解：（1）两边同时减去2x， 等式3x﹣2x＝2x+7﹣2x得到x＝7； （2）两边同时除以5， 等式得到x＝﹣3； （3）两边同时乘以8， 等式得到a＝2b． 【点评】此题考查的是等式的性质，性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 13．观察以下等式： ①9×9＝81＝（9﹣1）×10+（10﹣9）； ②9×8＝72＝（8﹣1）×10+（10﹣8）； ③9×7＝63＝（7﹣1）×10+（10﹣7）； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）请再写出一个等式：　9×6＝54＝（6﹣1）×10+（10﹣6）　． （2）数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术；他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果． ①王老师猜的结果是：　9　； ②若设最初想的两位数的十位数字是a，个位数字是b，你能解释这个魔术的原理吗？ 【分析】（1）模仿示例写出结果即可； （2）①试值进行计算，可求得此题结果； ②由题意用a、b列式进行计算推理． 【解答】解：（1）由题意可得算式，9×6＝54＝（6﹣1）×10+（10﹣6）， 故答案为：9×6＝54＝（6﹣1）×10+（10﹣6）（答案不唯一）； （2）①取数字92，由题意得92﹣9﹣2＝81， 8+1＝9， ∴王老师猜的结果是：9， 故答案为：9； ②由题意得，10a+b﹣a﹣b ＝9a ＝10（a﹣1）+（10﹣a）， ∴（a﹣1）+（10﹣a）＝a﹣1+10﹣a＝9， ∴这个魔术的结果是9． 【点评】此题考查了运用有理数的运算解决数字问题的能力，关键是能根据题意准确列式、计算、推理． 14．现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）． （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为 　﹣9　． （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为 　11　． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为 　6　． （4）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为 　90　． （5）从中取出4张卡片，使这4张卡片上的数字运算结果为24．写出两个不同的等式，分别为 　（﹣1﹣5）×[2+（﹣6）]　，　2×[5﹣（﹣6）﹣（﹣1）]　． 【分析】（1）抽取最小的两个数，和就是最小解答即可； （2）用最小的数减去最大的数即可求解； （2）根据题意和给出的五张卡片列出算式﹣6÷（﹣1）计算可以解答本题； （3）根据题意和给出的五张卡片列出算式﹣3×（﹣6）计算可以解答本题； （4）根据题意可以写出相应的算式，本题答案不唯一． 【解答】解：因为每张卡片只能用一次，（1）抽取两张，要使两个卡片和最小，则选取最小的两个数，和就是最小，则选取﹣3，﹣6，这两个数的和就是最小值，（﹣3）+（﹣6）＝﹣9；（2）抽取两张，差最大，则选取一个最大数，一个最小数，两个数差就是最大，则选取5﹣6，两个数差最大5﹣（﹣6）＝11；（3）抽取两张，两个数字相除商最大，去掉负号，则绝对值的最大数除以最小数，就是商最大的，看卡片，则选取﹣6，﹣1， 则商的最大值为 （﹣6）÷（﹣1）＝6；（4），抽取三个数，乘积最大，则选取绝对值最大的三个数，乘积就是最大值．看卡片，选取，﹣3﹣6，5，乘积的最大值为（﹣3）x（﹣6）x5＝90；（5）（（﹣1﹣5）×[2+（﹣6）]＝﹣6×（﹣4） ＝24； 2×[5﹣（﹣6）﹣（﹣1）] ＝2×12 ＝24．（答案不唯一）， 故答案为：﹣9；11；6；90；（﹣1﹣5）×[2+（﹣6）]，2×[5﹣（﹣6）﹣（﹣1）]． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 15．阅读与探究 我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，但其实“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，所以“rationalnumber”这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数4可以写成，分数就是整数11和整数3的比． 思考：0.是不是有理数呢？ 小亮的思路如下： 设0.x，则x＝0.8888…． 所以10x＝8.8888…． 所以10x﹣x＝8.8888…﹣0.8888…＝8． 化简，得9x＝8． 解得． 所以． … 初步探究： （1）根据上述推理过程， 　是　有理数．（填“是”或“不是”） 类比迁移： （2）请根据材料中的方法，判断是否为有理数，并说明理由． 【分析】（1）直接根据探究的过程写出答案； （2）根据探究的过程写出解答的步骤，即可进行判断． 【解答】解：（1）是有理数， 故答案为：是． （2）是有理数． 理由：设， 则x＝0.2323…， 所以100x＝23.2323…， 所以100x﹣x＝23， 解得， 所以， 所以是有理数． 【点评】本题考查了有理数，解题的关键是根据探究的过程来进行解答． 16．阅读材料：求1+2+22+23+24+•••+22021的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+•••+22020+22021，将等式两边同时乘以2得： 2S＝2+22+23+24+25+•••+22021+22022 将下式减去上式得2S﹣S＝22022﹣1 即S＝22022﹣1 即1+2+22+23+24+•••+22021＝22022﹣1 请你仿照此法计算： （1）1+3+32+33+34+•••+3n（其中n为正整数）； （2）a+a2+a3+•••+an（其中n为正整数）． 【分析】（1）根据所给的解答方式进行求解即可； （2）仿照所给的解答方式进行求解即可． 【解答】解：（1）设S＝1+3+32+33+34+•••+3n，将等式两边同时乘以3得： 3S＝3+32+33+34+•••+3n+3n+1， 将下式减去上式得3S﹣S＝3n+1﹣1， 即， 即． （2）设S＝a+a2+a3+•••+an，将等式两边同时乘以a得： aS＝a2+a3+•••+an+an+1， 将下式减去上式得aS﹣S＝an+1﹣a， 即（a﹣1）S＝an+1﹣a， 即． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，发现规律是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$