精品解析：广东省清远市博爱学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

清远市博爱学校2024—2025学年第一学期第一次教学质量检测 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将白已的姓名､准考证号填涂写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将过程写在答题卡上.. 3.考试结束后，答题卡交回，试卷自己保存. 4.考试时间120分钟，本试卷满分150分. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：“”，则为（ ） A. B. C. 不存在 D. 3. ，下列不等式恒成立是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组中函数，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 函数的定义域为（ ） A B. C. D. 6. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 设正实数满足，则（ ） A. 最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三､填空题（填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为________． 13. 已知集合，，若，，则________. 14. 定义集合的“长度”是，其中a，R．已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是_____；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求和的取值范围. （2）已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围. 17. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 18. 已知函数,（）. （1）分别计算， 的值. （2）由（1）你发现了什么结论?并加以证明. （3）利用（2）中的结论计算的值. 19. 设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集． （1）当时，写出集合A的生成集B； （2）若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清远市博爱学校2024—2025学年第一学期第一次教学质量检测 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将白已的姓名､准考证号填涂写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将过程写在答题卡上.. 3.考试结束后，答题卡交回，试卷自己保存. 4.考试时间120分钟，本试卷满分150分. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为不是有理数，所以，故B正确； 对于C.，因为0是自然数，所以，故C错误； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：B. 2. 已知命题：“”，则为（ ） A B. C. 不存在 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题：“”， 则为 故选:B 3. ，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，因为，故，故B成立， 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误； 故选：B. 4. 下列各组中的函数，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域及对应关系判断是否是同一函数. 【详解】选项A，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 选项B，，，两个函数的定义域不同，不是同一函数； 选项C，，，两个函数的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 选项D，，，即，是同一函数， 故选:D． 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：A 6. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得，而得不出，，可得结论. 【详解】因，，若“，，则， 所以“，”是“”的充分条件； 当，满足，但不满足， 所以“，”不是“”的必要条件. 故选：A. 7. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】将化为，结合，判断，将化为，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由，，，得， 故，故； 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立． 即的最小值为2， 故选：A 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个实数，使 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】由在实数范围内，可得A错误；举反例可得必要性不成立，可得B正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C错误；由集合中只有一个元素可得或，再由必要性可得D正确； 【详解】对于A，在实数范围内，，，故A错误； 对于B，若，则，充分性成立， 若，如，此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题“”的否定是， 由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C错误； 对于D，若集合中只有一个元素， 当时，；当时，可得， 所以必要性成立，故D正确； 故选：BD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD. 【详解】不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得，故D错误. 故选：AB. 11. 设正实数满足，则（ ） A. 最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数，满足， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题（填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性,故舍， 所以， 所以， 故答案为： 13. 已知集合，，若，，则________. 【答案】19 【解析】 【分析】由题意可得，所以5和6是方程的两个根，代入解方程可求出，即可求出的值. 【详解】因为，， ，，所以， 所以5和6是方程的两个根， 所以，解得，， 所以. 故答案为：19. 14. 定义集合的“长度”是，其中a，R．已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是_____；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故或 即或又，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解 【小问1详解】 由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 ∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 16. （1）已知，求和的取值范围. （2）已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质即可得出和的取值范围即可； （2）通过基本不等式的活用得出最小值即可转化为恒成立问题求参. 【详解】（1）因为，所以． 又，所以，即， 又，则，因此， 即. （2）由， 则． 当且仅当，即时取到最小值16． 若恒成立，则． 17. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数，令，所以， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 已知函数,（）. （1）分别计算， 的值. （2）由（1）你发现了什么结论?并加以证明. （3）利用（2）中的结论计算的值. 【答案】（1），. （2）结论，证明见解析. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，代入求值即得答案； （2）根据（1）的结果可得结论，并利用函数解析式进行证明即可； （3）求出，根据（2）的结论，分组求和，可得答案. 【小问1详解】 由题意得， . 【小问2详解】 由（1），得结论. 证明如下: . 小问3详解】 由，可得， 故 . 19. 设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集． （1）当时，写出集合A的生成集B； （2）若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 【答案】（1）； （2）4； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解； （2）设，且，利用生成集的定义即可求解； （3）假设存在集合，可得，，，，然后结合条件说明即得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 设，不妨设， 因为， 所以中元素个数大于等于4个， 又，则，此时中元素个数等于4个， 所以生成集B中元素个数的最小值为4； 【小问3详解】 不存在，理由如下： 假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集由组成， 又， 所以， 若，又，则，故， 若，又，则，故， 所以，又，则，而， 所以不成立， 所以假设不成立， 故不存在4个正整数构成的集合A，使其生成集. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$