专题03 二次函数（15大基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（新疆专用）

专题03 二次函数 根据二次函数的定义求参数 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）当函数 是二次函数时，的取值为（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）若是二次函数，则a的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知是二次函数，则实数m= 4．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）关于x的函数是二次函数，则m= ． 5．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝ . 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）在同一坐标系中，作函数，，的图像，它们的共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线开口向下 C．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点 D．都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知点在函数上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）已知点，都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．    5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是 ． 二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小 2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）抛物线y=x2+4x+4的对称轴是(  ) A．直线x=4 B．直线x=－4 C．直线x=2 D．直线x=－2 3．（23-24九年级上·新疆塔城·期中·期中）抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴左侧，y随x的增大而 ，对称轴右侧，y随x的增大而 ． 4．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 . 5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ． 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“＜”连接） 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图像对称轴为 ． 3．（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）如下图，函数的图象，则其解析式为 ．    4．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）函的开口向 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ． 5．（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）已知抛物线y=a(x+1)2经过点，，则 填“”，“”，或“”． 6．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）如果点A(﹣1，m)、B(，n)是抛物线y＝﹣(x﹣1)2+3上的两个点，那么m和n的大小关系是m n(填“＞”或“＜”或“＝”)． 把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的对称轴为直线（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图像开口向上 B．函数的最大值为 C．图像的对称轴为直线 D．图像与轴的交点坐标为 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）将二次函数y＝2x2＋3x﹣1化为y＝（x＋h）2＋k的形式为（　　） A．y＝2（x＋）2﹣ B．y＝2（x＋）2﹣ C．y＝2（x＋）2﹣ D．y＝2（x＋）2﹣ 4．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）抛物线y =x2–2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是( ) A．x =1，(1，-4) B．x =1，(1，4) C．x=-1，(-1，4) D．x =-1，(-1，-4) 5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x+4）2+7 C．y=（x﹣4）2﹣25 D．y=（x+4）2﹣25 6．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图像在x 时y随x的增大而减小． 7．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）利用配方法将二次函数化为的形式为 ． 8．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）抛物线的顶点坐标是 ． 9．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，已知二次函数的图象经过点和点．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； 10．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）已知：二次函数． (1)将化成的形式； (2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值； (3)当x为何值时，y随x增大而减小，当时，求y的取值范围． y=ax²+bx+c的最值 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园(如图)(墙长)，另外三面用的篱笆围成．设矩形的边，面积为． (1)写出与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)当为多少米时，生态园的面积最大？最大值是多少？ 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写山与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 3．（23-24九年级上·新疆和田·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9㎝，BC=2㎝，点M，N分别从A，B同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2㎝的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1㎝的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为y．    （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）求△MBN的面积的最大值． 待定系数法求二次函数解析式 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）(1)已知二次函数图象的顶点是，且过点，求二次函数的表达式； (2)已知二次函数的图象如图所示，求此二次函数的解析式． 2． （23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）已知二次函数的图象经过点和． (1)求此二次函数的解析式． (2)x取何值时，y随x的增大而减小？ 3． （23-24九年级上·新疆昌吉·期中）已知抛物线经过点． (1)求的值， (2)判断点在不在此抛物线上，并说明理由． 二次函数综合 1． （23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)． （1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式； （2）求△AOC和△BOC的面积比； （3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由． 2． （23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知抛物线：与x轴交点为（A在B的左侧），顶点为D． (1)求点的坐标及抛物线的对称轴； (2)若直线与抛物线交于点，且关于原点对称，求抛物线的解析式； (3)如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若，求点的坐标． 3． （23-24九年级上·新疆昌吉·期中）如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点 (1)求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标； (2)若是这个二次函数的图像上任意一点，当的面积为的时候，求点坐标 (3)若是第一象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与交于点，连接．求线段的最大值； 4． （23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式； (2)直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值． 5． （23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点，与y轴正半轴交于点．    (1)求的值． (2)若点在该抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②若直线一定经过点D，请判断四边形的形状，并说明理由． 6． （23-24九年级上·新疆喀什·期中）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，P为直线下方抛物线上的点，当的面积最大时，求出点P的坐标． 7． （23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB的面积． 8． （23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+3交y轴于点A，AB∥x轴交抛物线于另一点B，抛物线的顶点为C，AC＝AB． (1)求抛物线的函数表达式． (2)P(0，b)是y轴上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线的对称轴于点D，取PD的中点M，若点M恰好落在抛物线上，求b的值． 9． （23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中，B(-3，0)，． （1）若直线经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标； （3）设点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，求使面积最大时的点P的坐标，并求出最大面积． 抛物线与坐标轴的交点坐标 1．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知抛物线经过点和； (1)求此抛物线的解析式． (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (3)当x取什么值时，y随x的增大而增大？ (4)求出抛物线与x轴的交点个数． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）已知二次函数的图象经过点，顶点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标； (3)当x为何值时，y随着x的增大而减小． 3．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知关于的二次函数， (1)当为何值时，二次函数图象与轴没有交点； (2)当时，求二次函数与坐标轴的交点坐标． 4．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知二次函数的图象以为顶点，且过点． (1)求该函数的表达式； (2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 5．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)求此二次函数图象与x轴的交点坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 6．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：抛物线与x轴相交于A、B两点（A点在B点的左侧），顶点为P． （1）求A、B、P三点坐标； （2）画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零； （3）确定此抛物线与直线公共点的个数，并说明理由． 8．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)求的面积． 根据交点确定不等式的解集 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知二次函数y＝x2﹣2x+c和一次函数y＝kx+b的图像交于A（a，0）（a＜0），B（4，5）两点． （1）求c的值； （2）求一次函数解析式； （3）直接写出二次函数y的值大于一次函数y的值的x的取值范围． 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）已知：抛物线与x轴相交于A、B两点（A点在B点的左侧），顶点为P． （1）求A、B、P三点坐标； （2）画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零； （3）确定此抛物线与直线公共点的个数，并说明理由． 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 2．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1． （1）求证：2a+b=0； （2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根． 图形问题（实际问题与二次函数） 1．（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长）另外三边用木栏围成，木栏长．若养鸡场面积为，求鸡场垂直于墙的一边的长．    2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，抛物线与x轴交于和点． （1）求该抛物线的表达式． （2）以AB为边向上作矩形ABCD，边CD与抛物线交于点M，N，若，求矩形ABCD的周长． 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米． （1）求y关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？ （3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 4．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题： (1)求抛物线对应的二次函数的表达式； (2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长． 拱桥问题（实际问题与二次函数） 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m． （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　 　，求出你所选方案中的抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．    2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（        ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度变为 m．    销售问题（实际问题与二次函数） 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于元，市场调查发现，若每箱以元的价格销售，平均每天售价箱，价格每提高元，平均每天少销售箱． (1)求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)求该批发商平均每天销售利润元与销售价（元/箱）之间的函数解析式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元 (1)求w与x之间的函数关系式； (2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2 400元的销售利润，又想卖得快，则销售单价应定为多少元? 3．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接国庆，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)问要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ (2)问将售价降价多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润． 4．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件元，物价部门规定每件儿童玩具的售价不低于进价且销售利润不高于进价的．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为元时，每天的销售量为件；当销售单价为元时，每天的销售量为件． (1)求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)若该网店每天想从这种儿童玩具销售中获利元，那么这种儿童玩具的销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）某商店经营儿童益智玩具，已知购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨2元，月销售量就减少20件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ (3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 6．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）某网店销售某款童装，每件的售价为60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件的成本为40元．设该款童装每件的售价为x（元），每星期的销售量为y（件） （1）求y与x之间的函数关系式； （2）试写出每星期的销售利润W（元）与售价x（元）之间的函数关系式，并求出每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润为多少元？ 7．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）某商店销售一种销售成本为每件元的玩具，若按每件元销售，一个月可售出件，销售价每涨元，月销量就减少件．设销售价为每件元，月销量为件，月销售利润为元． （1）写出与的函数解析式和与的函数解析式； （2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 8．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．市场调查发现，该产品每天的销售价为25（元/千克）时，每天销售量为30（千克）．当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少2千克，设涨价x（元/千克）（x为正整数），每天销售量为y（千克）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）该农户想要每天获得128元的销售利润，销售价为多少？ （3）每千克涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 9．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件．销售价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元． （1）当销售价为每件60元时，月销量为　 　件，月销售利润为　 　元； （2）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式； （3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 10．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式． 11．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 12．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200． （1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）； （2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 13．（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌 粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 （元）最大？最大利润是多少？ 14．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 投球问题（实际问题与二次函数） 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 1． （23-24九年级上·新疆伊犁·期中）如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标． 2． （23-24九年级上·新疆昌吉·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣3），该图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为﹣1． （1）求该二次函数的表达式； （2）点P是直线BC下方，抛物线上的一个动点，当△PBC面积取得最大值时，求点P的坐标和△PBC面积的最大值． 3． （23-24九年级上·新疆伊犁·期中）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标． 4． （23-24九年级上·新乌鲁木齐·期中）已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，求出的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数 根据二次函数的定义求参数 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）当函数 是二次函数时，的取值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可． 【详解】∵函数 是二次函数， ∴a-1≠0，=2， ∴a≠1，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键． 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）若是二次函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查根据二次函数的定义求参数．形如是常数，且）叫二次函数． 根据二次函数的定义知的二次项系数，求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知是二次函数，则实数m= 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义得到且，即可得到m的值． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 4．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）关于x的函数是二次函数，则m= ． 【答案】 【知识点】绝对值方程、根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义分析，即可得到答案． 【详解】∵关于x的函数是二次函数 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，即可完成求解． 5．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝ . 【答案】-5 【知识点】根据二次函数的定义求参数、解一元二次方程——配方法 【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】∵函数y=（m－3）是二次函数， ∴m2+2m-13=2且m-3≠0 解得：m=-5. 考点：二次函数的定义． 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）在同一坐标系中，作函数，，的图像，它们的共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线开口向下 C．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点 D．都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】三个抛物线解析式都符合的形式，从顶点坐标和对称轴找相同点，即可获得答案． 【详解】解：因为函数，，都符合的形式， 形式的二次函数的图像的对称轴都是轴，且顶点都在原点， 所以它们的共同特点是：关于轴对称，抛物线的顶点在原点． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图像，熟练掌握形式的二次函数图像的对称轴都是轴，且顶点都在原点是解题关键． 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知点在函数上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴图像的开口向上，对称轴是直线y轴，对称轴左边y随x的增大而减小， ∵在函数上，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）已知点，都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的图象和性质，得出当时，随的增大而减小，判断、的大小情况，选择答案即可． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴函数图象抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵点，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是 ．    【答案】8 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据题意，观察图形，利用割补法可知图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵函数与的图象关于x轴对称， ∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∵边长为4的正方形面积为16， ∴图中的阴影部分的面积为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，根据解析式与判断出两函数图象关于x轴对称是解答本题的关键． 5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）如果抛物线的开口向上，那么m的取值范围是 ． 【答案】m＞1 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得． 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据顶点式即可判断对称轴为，即可判断开口向上，由解析式可得最小值为，在对称轴的左侧，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：由二次函数， A.对称轴为，故A不正确， B.开口向上，故B不正确， C.二次函数当时，有最小值为，没有最大值，故C不正确, D.在对称轴的左侧，即时，随的增大而减小，故D正确, 故选D 【点睛】本题考查了的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）抛物线y=x2+4x+4的对称轴是(  ) A．直线x=4 B．直线x=－4 C．直线x=2 D．直线x=－2 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【详解】解：根据配方法，可得y＝x2＋4x＋4=（x+2）2，因此可得对称轴为x=-2 或根据对称轴的公式x= - ，代入a=1，b=4，可得x=-2 故选：D 3．（23-24九年级上·新疆塔城·期中·期中）抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴左侧，y随x的增大而 ，对称轴右侧，y随x的增大而 ． 【答案】 向下 直线 增大 减小 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，即可写出各性质进行求解． 【详解】∵抛物线中a=-1＜0， ∴开口向下，对称轴是为直线，顶点坐标是，对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小． 故答案为：向下；直线；；增大；减小． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 . 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1，y2，y3的大小关系． 【详解】∴抛物线的对称轴为直线x=-2， ∵A（-4，y1），B（-3，y2），C（3，y3）， ∴点A到对称轴的距离是2个单位， 点B到对称轴的距离是1个单位， 点C到对称轴的距离是5个单位， ∴点C离直线x=-2最远，点B离直线x=-2最近， ∵a＜0, ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h. 5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ． 【答案】a≤2 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【详解】由二次函数的解析式得到对称轴为x=a，函数图象的开口向上， ∴在对称轴x=a的右边函数值y随着x的增大而增大， 故只要a≤2时，x＞2，y随x的增大而增大， 所以a的取值范围为a≤2． 故答案为a≤2． 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“＜”连接） 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大求解． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，开口向上， 而点离对称轴最近，点离对称轴最远， ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图像对称轴为 ． 【答案】1 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键在于熟知对于二次函数（其中a、b、c是常数，），其对称轴为直线．据此解答即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线， 故答案为：1． 3．（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）如下图，函数的图象，则其解析式为 ．    【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式． 【详解】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为， 函数的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图象得出顶点是解题的关键． 4．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）函的开口向 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ． 【答案】 上 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的顶点式写出答案即可． 【详解】解：的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 故答案为：上，， 【点睛】此题考查了二次函数顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）已知抛物线y=a(x+1)2经过点，，则 填“”，“”，或“”． 【答案】> 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先根据顶点式得到抛物线y=a(x+1)2+k(a>0，a，k为常数)的对称轴为直线，然后二次函数的性质和点离对称轴的远近进行判断． 【详解】抛物线y=a(x+1)2+k(a>0，a，k为常数)的对称轴为直线， 所以点，，到直线的距离分别为5和2， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小. 6．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）如果点A(﹣1，m)、B(，n)是抛物线y＝﹣(x﹣1)2+3上的两个点，那么m和n的大小关系是m n(填“＞”或“＜”或“＝”)． 【答案】＜ 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】利用二次函数的性质得到当x＜1时，y随x的增大而增大，然后利用自变量的大小关系得到m与n的大小关系． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线x＝1， 而抛物线开口向下， 所以当x＜1时，y随x的增大而增大， 所以m＜n． 故答案为＜． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的对称轴为直线（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用配方法化为顶点式求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线． 故选B． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图像开口向上 B．函数的最大值为 C．图像的对称轴为直线 D．图像与轴的交点坐标为 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】将二次函数解析式化为顶点式图像的开口方向、对称轴和最大值，再将代入函数解析式可判定图像与轴的交点坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 将代入得， ∴抛物线与y轴交点坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，将二函数解析式化成顶点式是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）将二次函数y＝2x2＋3x﹣1化为y＝（x＋h）2＋k的形式为（　　） A．y＝2（x＋）2﹣ B．y＝2（x＋）2﹣ C．y＝2（x＋）2﹣ D．y＝2（x＋）2﹣ 【答案】C 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：y＝2x2＋3x﹣1＝2（x2＋x＋）﹣1﹣＝2（x＋）2﹣， 即y＝2（x＋）2﹣， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x−h）2＋k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x−x1）（x−x2）． 4．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）抛物线y =x2–2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是( ) A．x =1，(1，-4) B．x =1，(1，4) C．x=-1，(-1，4) D．x =-1，(-1，-4) 【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】利用顶点坐标公式可求顶点坐标和对称轴，或者利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标很对称轴． 【详解】解：y=x2-2x-3=x2-2x+1-4=（x-1）2-4， 故对称轴为x=1，顶点的坐标是（1，-4）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数三种表达方式是解题关键． 5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x+4）2+7 C．y=（x﹣4）2﹣25 D．y=（x+4）2﹣25 【答案】C 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【详解】y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键． 6．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图像在x 时y随x的增大而减小． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的性质，先化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）利用配方法将二次函数化为的形式为 ． 【答案】y=(x+1)2+2 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】先利用配方法把从而可得答案. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是把抛物线的一般式化为顶点式，掌握“配方法化顶点式”是解本题的关键. 8．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】(-2，-1) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【详解】∵=(x+2)2-1, ∴顶点坐标是(-2，-1). 9．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，已知二次函数的图象经过点和点．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键； （1）用待定系数法（将图象上两点坐标代入解析式即可）； （2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标； 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点和点， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 10．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）已知：二次函数． (1)将化成的形式； (2)求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值； (3)当x为何值时，y随x增大而减小，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为，最小值为 (3)， 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式； （2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值； （3）以对称轴为界叙述其增减性即可；分别令和2求得函数值后即可确定y的取值范围． 【详解】（1）． （2）由（1）知，该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线开口朝上，有最小值，最小值为． （3）当时 y随x的增大而减小． ∵当时，， 当时，， ∴当时，． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，顶点坐标的求法，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线． y=ax²+bx+c的最值 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园(如图)(墙长)，另外三面用的篱笆围成．设矩形的边，面积为． (1)写出与之间的函数表达式，并写出的取值范围； (2)当为多少米时，生态园的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当为米时，生态园的面积最大，最大值是 【知识点】面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）本题考查了二次函数的应用，根据矩形的面积列出函数关系式，根据已知条件列出不等式组，求得的取值范围； （2）根据二次函数的性质，求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则，面积为． ∴, ∵ 解得：, ∴; （2）解：∵, ∵, ∴当时，有最大值为, 即当为米时，生态园的面积最大，最大值是． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写山与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，， (2)当降价元时，每星期的利润最大，为元． 【知识点】列二次函数关系式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据题意找出等量关系列式计算即可得； （2）根据二次函数的性质进行解答即可得． 【详解】（1）解： , ∴, ∵降价要确保盈利， ∴， 解得； （2）解：∵ ∴当时，有最大值， 即当降价元时，每星期的利润最大，为元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系和掌握二次函数的性质． 3．（23-24九年级上·新疆和田·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9㎝，BC=2㎝，点M，N分别从A，B同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2㎝的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1㎝的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为y．    （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）求△MBN的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）5cm2 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得． （2）由二次函数的最大值可得． 【详解】解：（1）设运动时间为秒，的面积为， 则，，， 根据题意得：， ，； （2）由（1）可知，， 对称轴为；， 当，随的增大而增大， 又， 当时，， 的面积的最大值是5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最大值，能正确的列出函数关系式是解题的关键． 待定系数法求二次函数解析式 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）(1)已知二次函数图象的顶点是，且过点，求二次函数的表达式； (2)已知二次函数的图象如图所示，求此二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象．熟练掌握求二次函数顶点式，一般式是解题的关键． （1）设二次函数的表达式为，将代入得，，求的值，进而可求表达式； （2）由题意知，二次函数的图象经过点，将，代入计算求，进而可求二次函数的解析式． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 将代入得，， 解得，， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由题意知，二次函数的图象经过点， 将代入得，， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 2． （23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）已知二次函数的图象经过点和． (1)求此二次函数的解析式． (2)x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)当时，y随x的增大而减小 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）直接将点和代入求得a、c的值即可解答； （2）先根据函数解析式确定抛物线的对称轴、开口方向，然后根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：将点和代入，可得： ，解得：， 所以函数解析式为：． （2）解：由函数的图象开口方向向上，对称轴为， 所以，当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质等知识点，理解二次函数的性质是解答本题的关键． 3． （23-24九年级上·新疆昌吉·期中）已知抛物线经过点． (1)求的值， (2)判断点在不在此抛物线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在此抛物线上 【知识点】y=ax²的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将代入求出的值； （2）将代入算出y的值即可解答； 【详解】（1）由题意得 ； （2）由题意得， 当时，， ∴点不在此抛物线上． 【点睛】该题主要考查了二次函数解析式求解以及函数性质，解题的关键是熟悉函数性质． 二次函数综合 1． （23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，抛物线y=ax2 + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)． （1）求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式； （2）求△AOC和△BOC的面积比； （3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由． 【答案】（1）y=x2-2x-3．（2）1：3；（3）存在，（1，-2）． 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据抛物线的对称轴即可得出点B的坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线中即可求得二次函数的解析式． （2）由于两三角形等高，那么面积比就等于底边的比，据此求解即可． （3）确定P点的位置，求出直线BC的解析式然后联立抛物线对称轴的解析式即可求得P点坐标． 【详解】解：（1）∵A(-1,0)，A，B两点关于x=1对称， ∴B点坐标为（3，0）， 根据题意得： , 解得a=1，b=-2，c=-3． ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3． （2）△AOC和△BOC的面积分别为S△AOC=|OA|•|OC|，S△BOC=|OB|•|OC|， 而|OA|=1，|OB|=3， ∴S△AOC：S△BOC=|OA|：|OB|=1：3． （3）存在一个点P． 连接BC交对称轴x=1于点P，此时PA+PC=PB+PC=BC最小， 令直线BC的解析式为y=kx+b ∴ , ∴k=1，b=-3，即BC的解析式为y=x-3． 当x=1时，y=-2， ∴P点坐标为（1，-2）． 2． （23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知抛物线：与x轴交点为（A在B的左侧），顶点为D． (1)求点的坐标及抛物线的对称轴； (2)若直线与抛物线交于点，且关于原点对称，求抛物线的解析式； (3)如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点在直线l：上，设直线l与y轴的交点为，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据题目给出的解析式可直接求出点，的坐标； （2）先设出的横坐标，根据原点对称的特点列出关于的式子，求出即可； （3）先根据顶点的变化规律写出平移后的抛物线的解析式，然后设出的坐标，根据列出关于的式子，算出即可求出的坐标． 【详解】（1）取，则有， 即， 解得， ∴， 对称轴为直线； （2）设的横坐标为的横坐标为， 根据题意得：， 即， ， 又∵关于原点对称， ∴， ∴， ∴； （3）∵ 由题意得向上平移后的抛物线解析式为 ∴抛物线向上平移了4个单位，设，则，， 由题意得， 解得， 若 则 若 则 综上，或 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，对于求解析式是此题的基础，一般用待定系数法，每一个学生都应该掌握，此题中第二问涉及到中心对称，就要理解中心对称的含义以及在坐标系中点的变化规律，这些知识点都要牢记于心，包括垂直平分线的性质的应用，本题中都有考到． 3． （23-24九年级上·新疆昌吉·期中）如图，已知二次函数的图像与轴相交于，两点，与轴相交于点 (1)求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标； (2)若是这个二次函数的图像上任意一点，当的面积为的时候，求点坐标 (3)若是第一象限内这个二次函数的图像上任意一点，轴于点，与交于点，连接．求线段的最大值； 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或或 (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数及几何图形的综合运用； （1）将、、三点的坐标代入中得一个三元一次方程组，解这个方程组求出、、c的值即可得二次函数的表达式，再将一般式化成顶点式，即可求得顶点坐标． （2）设，根据的面积为，列出一元二次方程，解方程，即可求解． （3）设直线的表达式为，将、两点的坐标代入中求得、的值，即可知的表达式．由点的横坐标为，可得点的坐标为，点的坐标为，用含有的代数式表示出的长，再求出最大值即可． 【详解】（1）解：将，，代入，得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为．                 ， ∴二次函数图像的顶点坐标为. （2）设， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴ 即或 解得：（舍去）或或或 ∴或或； （3）设直线的表达式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为．                 ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为，                 ，             ∴线段的最大值为． 4． （23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式； (2)直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)最大值为8． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式、三角形的面积． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线的对称轴和直线的解析式，设出P的坐标，过点P作轴交直线于H，通过铅锤高表示出即可求出最大面积． 【详解】（1）解：将，代入得 ， 解得， ∴； 对称轴为直线 （2）解：对于抛物线， ∴对称轴为直线，    过点P作轴交直线于H， 当时，， ∴点， ∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线， ∴， ∵， 设直线的函数关系式为：， ∴， 解得， ∴直线的函数关系式为：， 设，则， ∴ ， ∴， 当时，最大为8． 5． （23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点，与y轴正半轴交于点．    (1)求的值． (2)若点在该抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②若直线一定经过点D，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②四边形是菱形，理由见解析 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、证明四边形是菱形、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将代入计算出，将代入得：，即可求解； （2）①将代入中得，，联立即可求解；②先确定，先判断出四边形是平行四边形，再利用勾股定理求出即可判断． 【详解】（1）解：将代入得：， 将代入得：， ， ， ； （2）解：①将代入中得， ， 联立， 得：， 解得：， 将代入中，得 ， 解得：， ② ， ，， 轴， ， 四边形为平行四边形， ， ， 为菱形． 【点睛】本题考查了求解二次函，一次函数图象和性质，二次函数图象与坐标轴交点问题，菱形的判定，解题的关键是求解出解析式． 6． （23-24九年级上·新疆喀什·期中）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，P为直线下方抛物线上的点，当的面积最大时，求出点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】(1)由于抛物线经过点，两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式； (2)首先可得点，确定出直线解析式，过点P作轴交于点F 设出点P的坐标，进而表示出点F的坐标，用三角形的面积的计算方法建立函数关系式，即可确定出最大值时，点P的坐标． 【详解】（1）解：把，分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 设直线的解析为， 把，分别代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴交于点F， 设点P的坐标为，则， ∵P为直线下方抛物线上的点 ∴当时，取得最大值， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，三角形面积的计算，二次函数的最值问题，熟练掌握和运用二次函数的最值问题的解决方法是解决本题的关键． 7． （23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB的面积． 【答案】(1) (2)15 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把A（，0），C（0，5），（1，8）三点代入二次函数解析式，解方程组即可． （2）先求出M、B、C的坐标，根据即可解决问题． 【详解】（1）解∶ 二次函数的图象经过（，0），C（0，5），（1，8）， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 （2）解：令y=0，则， ∴，， ∴B（5，0）， ， ∴M（2，9）， 如图中，过M作ME⊥y轴于点E， ∴，，，，， ∴ = =15． 【点睛】本题考查二次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，属于中考常考题型． 8． （23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+3交y轴于点A，AB∥x轴交抛物线于另一点B，抛物线的顶点为C，AC＝AB． (1)求抛物线的函数表达式． (2)P(0，b)是y轴上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线的对称轴于点D，取PD的中点M，若点M恰好落在抛物线上，求b的值． 【答案】(1)抛物线函数表达式为： (2)b＝0 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【详解】（1）解：抛物线y＝ax2﹣6ax+3交y轴于点A， 令x＝0，则y＝3， ∴点A（0，3）， 对称轴为：x＝﹣＝3， ∵AB∥x轴， ∴A、B关于x＝3对称， ∴B（6，3），则AB＝6， 又AC＝AB＝5， 过C作AB的垂线CN， 则AN＝3， 在Rt△ACN中， 由勾股定理得：CN＝＝＝4， ∴C（3，﹣1）， 把C点坐标代入y＝ax2﹣6ax+3得， ﹣1＝9a﹣18a+3， 解得：a＝， ∴抛物线函数表达式为：y＝x2﹣x+3． （2）由题意得：D点坐标为（3，b）， ∵M为PD中点， ∴M（，b）， 又∵M在抛物线上，代入得： b＝×﹣×+3＝0， ∴b＝0． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理解直角三角形，二次函数图象与性质，中点坐标公式，求得顶点坐标是解题的关键． 9． （23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中，B(-3，0)，． （1）若直线经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标； （3）设点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，求使面积最大时的点P的坐标，并求出最大面积． 【答案】（1），；（2）；（3）， 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、列一次函数解析式并求值 【分析】（1）根据待定系数法计算即可； （2）根据已知条件得到，得到使最小的点M应为直线BC与对称轴的交点，设出解析式求解即可； （3）过点P作轴，设，利用面积公式求解即可； 【详解】（1）依题意，得，解之，得 ∴抛物线解析式为． ∵对称轴为，且抛物线经过，∴． 把、分别直线，得 ，解之，得． ∴直线BC的解析式为． （2）∵， ∴． ∴使最小的点M应为直线BC与对称轴的交点． 设直线BC与对称轴的交点为M， 把代入直线，得， ∴． （3）过点P作轴，设， ∴，，，， ∴， ， ， ∴， ∴当时，有大面积，此时，最大面积为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，准确分析计算是解题的关键． 抛物线与坐标轴的交点坐标 1．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知抛物线经过点和； (1)求此抛物线的解析式． (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (3)当x取什么值时，y随x的增大而增大？ (4)求出抛物线与x轴的交点个数． 【答案】(1) (2)对称轴为：，顶点坐标为 (3)当时，y随x的增大而增大 (4)抛物线与x轴没有交点 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点代入函数解析式，用待定系数法求出答案即可； （2）由函数解析式得出顶点坐标以及对称轴； （3）根据二次函数的图像即可判断； （4）求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点和 将点和代入抛物线中， 解得：，， 所以该抛物线解析式为：； （2）解：该抛物线解析式为： 故该抛物线对称轴为：，顶点坐标为； （3）解：， 该抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而增大； （4）解：， ∴抛物线与x轴没有交点． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）已知二次函数的图象经过点，顶点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标； (3)当x为何值时，y随着x的增大而减小． 【答案】(1)； (2)，； (3)时，y随x增大而减小． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式,抛物线与x轴的交点坐标，函数的增减性． （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入计算后计算出a的值即可； （2）根据抛物线与x轴的交点问题，即函数为0时的自变量的值； （3）根据函数解析式可知，开口方向向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，据此即可求解． 【详解】（1）解：依题意设这个二次函数解析式为：， ∵图形经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为：； （2）解：对于， 令， ∴， 解得：， ∴图象与x轴的交点坐标为：，； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为， 又∵，抛物线开口向下， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∴时，y随x增大而减小． 3．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知关于的二次函数， (1)当为何值时，二次函数图象与轴没有交点； (2)当时，求二次函数与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1)当时，二次函数图象与轴没有交点 (2)与x轴的交点坐标，，与轴的交点坐标为 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】（1）二次函数图象与轴没有交点的含义是方程无实数解，据此即可作答； （2）先得到二次函数表达式为，令，得，解方程即可求出二次函数与x轴的交点坐标，令，得，即可得函数图象与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：二次函数图象与轴没有交点， 方程无实数解， ∴， 解得， 即当时，二次函数图象与轴没有交点； （2）解：当时，二次函数表达式为， 令，得， 解得：，， 即：求二次函数与x轴的交点坐标为：，， 令，得， 函数图象与轴的交点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程与二次函数的关系，二次函数图象与轴没有交点的含义是方程无实数解，掌握此知识是解题的关键． 4．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知二次函数的图象以为顶点，且过点． (1)求该函数的表达式； (2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】（1）运用二次函数顶点式设二次函数解析式，将已知点坐标代入求解待定参数，从而确定解析式； （2）分别令，确定交点坐标． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为，抛物线过点，于是 ，解得， ∴． 即函数关系式为． （2）解：， 令，则，解得， ∴抛物线与x轴交点为． 令，则， ∴抛物线与y轴交点为． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，待定系数法，函数与方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键． 5．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）已知二次函数 (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)求此二次函数图象与x轴的交点坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)与 (3) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、求抛物线与x轴的交点坐标、根据交点确定不等式的解集 【分析】(1)把解析式化成顶点式，即可解答； (2)令，解方程即可求得； (3)根据此二次函数图象的开口方向及与x轴的交点坐标，即可求得 【详解】（1）解：， 故此二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：令，则， 解得，， 故此二次函数图象与x轴的交点坐标为与； （3）解：， 此二次函数图象的开口向上， 又此二次函数图象与x轴的交点坐标为与， 当时，x的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题及性质，熟练掌握和运用二次函数的性质是解决本题的关键． 6．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知：抛物线与x轴相交于A、B两点（A点在B点的左侧），顶点为P． （1）求A、B、P三点坐标； （2）画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零； （3）确定此抛物线与直线公共点的个数，并说明理由． 【答案】（1），，；（2）时，函数值y大于零；（3）一个交点，理由见详解 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、求抛物线与x轴的交点坐标、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了抛物线解析式三种形式的变形及其用途，函数图象的交点求法等知识． （1）把一般式转化为交点式，可求图象与x轴两交点A、B坐标，把一般式转化为顶点式，可求顶点P； （2）在（1）中得抛物线的开口方向下，顶点，与x轴的两交点为、，即可画出简图，观察图象，得出结论； （3）确定抛物线与直线公共点的个数，就是解两个函数解析式联立的方程组，看方程组的解的情况． 【详解】解：（1）依题意，， 令，则有， 解得：， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点（A点在B点的左侧），顶点为P， ∴，，； （2）作图如下： 由图象可知：时，函数值y大于零； （3）抛物线与直线有唯一的公共点，理由如下： 由题意列方程组得：， 整理得， ∵， ∴方程的两根相等，方程组只有一组解， ∴此抛物线与直线有唯一的公共点． 8．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)的面积为12 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与y轴的交点坐标、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）直接运用二次函数的交点式即可解决； （2）利用二次函数的解析式得到点C的坐标，从而得到的长度，再由点A、B的坐标得到的长度，运用三角形面积公式可得，从而得解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵抛物线与x轴分别交于点， ∴运用交点式得：， 即， 抛物线解析式为：； （2）∵抛物线解析式为：， ∴，， 又∵， ∴， ∴的面积为：． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式和三角形的面积求法，掌握待定系数法和三角形面积公式是解题的关键． 根据交点确定不等式的解集 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知二次函数y＝x2﹣2x+c和一次函数y＝kx+b的图像交于A（a，0）（a＜0），B（4，5）两点． （1）求c的值； （2）求一次函数解析式； （3）直接写出二次函数y的值大于一次函数y的值的x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）把B（4，5）代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出A点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）利用图像法求解即可 【详解】解：（1）∵B（4，5）在二次函数上， ∴， ∴； （2）∵， ∴二次函数的解析式为， ∵A（a，0）在二次函数上， ∴，． 解得或， 又∵， ∴， ∴A（-1，0）， 又∵一次函数经过A、B，两点， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （3）由函数图像可知：二次函数的函数值大于一次函数的函数值即为二次函数图像在一次函数图像上方时，自变量的取值范围， ∴二次函数y的值大于一次函数y的值的x的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，求二次函数解析式，一次函数图像与二次函数图像结合，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法． 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）已知：抛物线与x轴相交于A、B两点（A点在B点的左侧），顶点为P． （1）求A、B、P三点坐标； （2）画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零； （3）确定此抛物线与直线公共点的个数，并说明理由． 【答案】（1），，；（2）时，函数值y大于零；（3）一个交点，理由见详解 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、求抛物线与x轴的交点坐标、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了抛物线解析式三种形式的变形及其用途，函数图象的交点求法等知识． （1）把一般式转化为交点式，可求图象与x轴两交点A、B坐标，把一般式转化为顶点式，可求顶点P； （2）在（1）中得抛物线的开口方向下，顶点，与x轴的两交点为、，即可画出简图，观察图象，得出结论； （3）确定抛物线与直线公共点的个数，就是解两个函数解析式联立的方程组，看方程组的解的情况． 【详解】解：（1）依题意，， 令，则有， 解得：， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点（A点在B点的左侧），顶点为P， ∴，，； （2）作图如下： 由图象可知：时，函数值y大于零； （3）抛物线与直线有唯一的公共点，理由如下： 由题意列方程组得：， 整理得， ∵， ∴方程的两根相等，方程组只有一组解， ∴此抛物线与直线有唯一的公共点． 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【答案】（1）；（2）， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可； （2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次函数的解，故将x=1代入方程中求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解． 【详解】解：（1）由题知， ∴． （2）由图知的一个根为1， ∴，∴， 即一元二次方程为， 解得，， ∴一元二次方程的解为，． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 2．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1． （1）求证：2a+b=0； （2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根． 【答案】（1）见解析；（2）x=－2 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】直接利用对称轴公式代入求出即可； 根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可． 【详解】解：（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣， ∴b=－2a ∴2a+b=0； （2）∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4， ∴16a+4b﹣8=0， ∵b=﹣2a， ∴16a﹣8a﹣8=0， 解得：a=1，则b=﹣2， ∴a+bx﹣8=0为：﹣2x﹣8=0， 则（x﹣4）（x+2）=0，解得：=4，=﹣2， 故方程的另一个根为：﹣2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，方程的解，一元二次方程的解法，解题的关键是求出a，b的值． 图形问题（实际问题与二次函数） 1．（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长）另外三边用木栏围成，木栏长．若养鸡场面积为，求鸡场垂直于墙的一边的长．    【答案】鸡场垂直于墙的一边的长为10米 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】设鸡场垂直于墙的一边的长为x米，平行于墙的边长为米，再根据面积为可列方程求解即可． 【详解】解：设鸡场垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的边长为米 依题意得：，解得：，解得：， 当时，，符合实际意义； 当时，，不符合实际意义，舍去． 答：鸡场垂直于墙的一边的长为10米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意、设出未知数、找出题目中的等量关系是解答本题的关键． 2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，抛物线与x轴交于和点． （1）求该抛物线的表达式． （2）以AB为边向上作矩形ABCD，边CD与抛物线交于点M，N，若，求矩形ABCD的周长． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用待定系数法将A、B两点坐标代入抛物线求解即可； （2）根据图像对称轴为和，可确定M、N的横坐标，进而求出纵坐标即可得出AD边长，从而求解． 【详解】解：（1）抛物线与x轴交于和点， ∴， 解得：， ∴． （2）∵抛物线的对称轴为：直线 又，∴， 将代入抛物线的表达式，得：， ∴M点坐标为，D点坐标为， ∴ 又∵， ∴矩形ABCD的周长为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求解二次函数解析式的基本能力，同时还考查了数形结合的思想表示点的坐标及线段长度解决问题的能力，解题关键是利用线段MN是关于抛物线对称轴对称的性质确定M点坐标，从而确定矩形另一边长． 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米． （1）求y关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？ （3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；（2）当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；（3）不能围成面积为70平方米的养鸡场；理由见解析. 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】（1）根据矩形的面积公式进行列式； （2）把y的值代入（1）中的函数关系，求得相应的x值即可． （3）把y的值代入（1）中的函数关系，根据解的情况判断即可． 【详解】解：（1）设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得 y=x（32÷2﹣x）=﹣x2+16x． 答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x； （2）由（1）知，y=﹣x2+16x． 当y=60时，﹣x2+16x=60，即（x﹣6）（x﹣10）=0． 解得 x1=6，x2=10， 即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米； （3）不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下： 由（1）知，y=﹣x2+16x． 当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0 因为△=（﹣16）2﹣4×1×70=﹣24＜0， 所以该方程没有实数根． 即：不能围成面积为70平方米的养鸡场． 4．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题： (1)求抛物线对应的二次函数的表达式； (2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长． 【答案】 (1) y＝－x2＋2x＋3；(2) . 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函数) 【详解】试题分析： （1）把点A、B的坐标代入解析式列方程组可求得的值，可得解析式； （2）把（1）中所求解析式配方，可得顶点D的坐标，在Rt△BDE中由勾股定理可求得BD的长. 试题解析： (1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)， ∴解得， ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3. (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴D(1，4)． ∴DE＝4，OE＝1. ∵B(－1，0)， ∴BO＝1， ∴BE＝2， ∴  在Rt△BDE中，BD＝. 拱桥问题（实际问题与二次函数） 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m． （1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　 　，求出你所选方案中的抛物线的表达式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．    【答案】（1）方案一；；；（2）. 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式． （2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论． 【详解】解：（1）方案一；点B的坐标为（5，0）， 设抛物线的解析式为：． 由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5）， 代入解析式可得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）由题意：把代入， 解得：=3.2， ∴水面上涨的高度为3.2m． 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（        ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意B的横坐标为10， 将代入得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解． 【详解】解：设此函数解析式为： ， 由题意得：在此函数解析式上， 则 即得， 那么． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是借助二次函数解决实际问题． 4．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度变为 m．    【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】建立直角坐标系，求出抛物线解析式，再根据水面下降1m，可得，求得对应的，即可求解． 【详解】解：如图，建立直角坐标系，    则顶点，， 可设抛物线解析式为： 将代入可得：，解得 抛物线解析式为： 水面下降，即，代入抛物线解析式可得： 解得，即 水面宽变为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是建立直角坐标系，正确求得抛物线解析式． 销售问题（实际问题与二次函数） 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于元，市场调查发现，若每箱以元的价格销售，平均每天售价箱，价格每提高元，平均每天少销售箱． (1)求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)求该批发商平均每天销售利润元与销售价（元/箱）之间的函数解析式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当每箱苹果的销售价为元时，可以获得最大利润，最大利润是元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、求自变量的取值范围、函数解析式 【分析】本题考查列函数关系式，二次函数的性质在实际生活中的应用， （1）根据平均每天销售量超过元的价格，即可得到结论； （2）根据该批发商平均每天的销售利润每箱的销售利润每天的销售量，可得函数解析式； （3）根据题中所给的自变量的取值得到二次的最值问题即可； 解题的关键是理解最大销售利润的问题常用函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 【详解】（1）解：由题意得售价为元/箱时， 每天的销售量， ∴与之间的函数解析式为； （2）根据题意，得：， ∴与之间的函数解析式为； （3）∵，， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值， 又∵，随的增大而增大， ∴当元时，的最大值为：（元）． ∴当每箱苹果的销售价为元时，可以获得最大利润，最大利润是元． 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元 (1)求w与x之间的函数关系式； (2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2 400元的销售利润，又想卖得快，则销售单价应定为多少元? 【答案】(1) (2)当单价定为120元时，每天的销售利润最大，最大利润是3 200元 (3)100元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）用每件的利润乘以销售量即可得到每天的销售利润，然后化为一般式即可； （2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式，然后根据二次函数的最值问题求解； （3）求函数值2400为所对应的自变量的值，即解方程求出，然后利用“想卖得快”确定的x值． 【详解】（1）解：； （2）解：， 当时，w有最大值3 200， 所以当单价定为120元时，每天的销售利润最大，最大利润是3 200元； （3）解：由题意，， 解得：， 当时，， 当时，， 因为想卖得快，所以销售单价应定为100元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围． 3．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接国庆，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)问要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ (2)问将售价降价多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)每件童装应降价20元 (2)将售价降价15元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润为1250元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设每件童装应降价x元，根据利润单价利润销售量列出方程求解即可； （2）设每千克樱桃应售价m元，利润为W元，根据利润单价利润销售量列出W与m的关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件童装应降价x元， 由题意得，， 解得或， ∵要尽量减少库存， ∴， ∴每件童装应降价20元； （2）解：设将售价降价m元/件，每天的利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W最大，最大为1250， ∴将售价降价15元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润为1250元 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和关系式是解题的关键． 4．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件元，物价部门规定每件儿童玩具的售价不低于进价且销售利润不高于进价的．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为元时，每天的销售量为件；当销售单价为元时，每天的销售量为件． (1)求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)若该网店每天想从这种儿童玩具销售中获利元，那么这种儿童玩具的销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)这种儿童玩具的销售单价应定为元； (3)当销售单价为元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是元． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再根据物价部门规定每件儿童玩具的售价不低于进价且销售利润不高于进价的求出自变量的取值范围即可； （2）设这种儿童玩具的销售单价应定为m元，根据销售利润等于每件的利润乘以销量列出方程，解方程并取符合题意的解即可； （3）设该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润是元，可得，结合自变量的取值范围，利用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，当时，，当时，， 则， 解得， ∴y与x之间的函数关系式， 由题意得， 解得， 即自变量x的取值范围为； （2）解：设这种儿童玩具的销售单价应定为m元， ， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意， ∴这种儿童玩具的销售单价应定为元； （3）设该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润是元， 则， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，随着x的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值，此时， ∴当销售单价为元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是元． 【点睛】此题考查了二次函数、一元二次方程、一次函数的应用等知识，读懂题意，正确列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 5．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）某商店经营儿童益智玩具，已知购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨2元，月销售量就减少20件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？ (3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】(1)，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数 (2)每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元 (3)每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元 【知识点】用关系式表示变量间的关系、销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为元，月销售量为件，然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式． （2）把时代入中，求出x的值即可． （3）把化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可． 【详解】（1）依题意得 自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数 （2）当时，得， 解得（不合题意，舍去）． 当x=2时，30+x=32． ∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元 （3） ∵a=-10＜0   ∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5． ∵0＜x≤10且x为正整数， ∴当x=6时，30+x=36，y=2720， 当x=7时，30+x=37，y=2720． ∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元 【点睛】本题考查的是一元二次函数在利润型问题中的实际应用，能够依据题意列出函数关系式，并熟练解二次方程及求二次函数最值是解题关键． 6．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）某网店销售某款童装，每件的售价为60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件的成本为40元．设该款童装每件的售价为x（元），每星期的销售量为y（件） （1）求y与x之间的函数关系式； （2）试写出每星期的销售利润W（元）与售价x（元）之间的函数关系式，并求出每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）；（3）售价定为55元时，有最大利润，最大利润为6750元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意可得：该款童装每件的售价为x（元），可多卖 件，即可求解； （2）利用销售利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再由二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）． ∵ ， ∴当 时， 有最大值，最大值为6750， 即当售价定为55元时，有最大利润，最大利润为6750元． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 7．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）某商店销售一种销售成本为每件元的玩具，若按每件元销售，一个月可售出件，销售价每涨元，月销量就减少件．设销售价为每件元，月销量为件，月销售利润为元． （1）写出与的函数解析式和与的函数解析式； （2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1），；（2）当销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据月销售量（销售价，即可求出与的函数解析式，再利用月销售利润每件利润销售数量，即可求出与的函数解析式； （2）将关于的函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得． 【详解】解：（1）， ； （2）∵y≥0， ∴≥0， 解得：， 又∵， ∴， 由（1）得：， ，， 当时，取得最大值9000， 答：当销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，根据已知得出与和与之间的函数关系及熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 8．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．市场调查发现，该产品每天的销售价为25（元/千克）时，每天销售量为30（千克）．当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少2千克，设涨价x（元/千克）（x为正整数），每天销售量为y（千克）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）该农户想要每天获得128元的销售利润，销售价为多少？ （3）每千克涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝30－2x（0≤x＜15，且x为整数）；（2）36元；（3）每千克涨价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）设涨价x（元/千克），然后根据当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少2千克，进行求解即可； （2）设利润为z元，则由（1）可得每天销售量为（30－2x）千克，每天的每千克的获利为（x＋5），由此可得z＝（x＋25-20）（30－2x）=（x＋5）（30－2x），再把z=128代入进行求解即可； （3）由（2）得z＝（x＋5）（30－2x）＝－2（x－5）2＋200，然后利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）设涨价x（元/千克），则由题意得：y＝30－2x（0≤x＜15，且x为整数）； （2）设利润为z元， 则由题意得：z＝（x＋25-20）（30－2x）=（x＋5）（30－2x）， ∵该农户想要每天获得128元的销售利润， ∴（x＋5）（30－2x）＝128   解得：x1＝11，x2＝－1（舍去） ∴销售价为36元． 答：销售价为36元； （3）∵z＝（x＋5）（30－2x）＝－2（x－5）2＋200， ∴当x=5时，z有最大值，最大值为200 ∴每千克涨价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 答：每千克涨价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确读懂题意找到关系式进行求解． 9．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件．销售价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元． （1）当销售价为每件60元时，月销量为　 　件，月销售利润为　 　元； （2）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式； （3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）400；8000；（2）w＝﹣10x2＋1400x﹣40000，（50≤x≤100）；（3）销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据月销售量＝500﹣（定价﹣50）×10，即可求出当销售单价定为60元时的月销售量，再利用月销售利润＝每件利润×销售数量，即可求出当销售单价定为60元时的月销售利润； （2）根据以上所列等量关系可得函数解析式； （3）将w关于x的函数解析式配方成顶点，再利用二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）当销售价为每件60元时，月销量为500﹣10×（60﹣50）＝400（件）， 月销售利润为400×（60﹣40）＝8000（元）， 故答案为：400，8000； （2）由题可得：y＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x＋1000， ＝（x﹣40）（﹣10x＋1000）＝﹣10x2＋1400x﹣40000，（50≤x≤100）； （3）由题可得＝﹣10x2＋1400x﹣40000＝﹣10＋9000， ∵﹣10＜0， ∴当x＝70时，取得最大值9000， 故销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题关键是读懂题意找准等量关系正确列出函数关系式，在利用二次函数的性质解答 10．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式． 【答案】（1）；（2） 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意先分类讨论，当售价超过50元但不超过80元时，上涨的价格是元，就少卖件，用原来的210件去减得到销售量；当售价超过80元，超过80的部分是元，就少卖件，用原来的210件先减去售价从50涨到80之间少卖的30件再减去得到最终的销售量． （2）根据利润=（售价-成本）销量，现在的单件利润是元，再去乘以（1）中两种情况下的销售量，得到销售利润关于售价的式子． 【详解】（1）当时，，即． 当时，，即，则 （2）由利润=（售价-成本）×销售量可以列出函数关系式为 【点睛】本题考查二次函数实际应用中的利润问题，关键在于根据题意列出销量与售价之间的一次函数关系式以及熟悉求利润的公式，需要注意本题要根据售价的不同范围进行分类讨论，结果要写成分段函数的形式，还要标上的取值范围． 11．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 【答案】（1）w＝－10x2＋700x－10000；（2）即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；（3）A方案利润更高． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据利润（销售单价进价）销售量，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3）分别求出方案、中的取值范围，然后分别求出、方案的最大利润，然后进行比较． 【详解】解：（1）由题意得，销售量， 则 ； （2）． ， 函数图象开口向下，有最大值， 当时，， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大； （3）方案利润高．理由如下： 方案中：， 故当时，有最大值， 此时； 方案中：， 故的取值范围为：， 函数，对称轴为直线， 当时，有最大值， 此时， ， 方案利润更高． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，解题的关键是掌握最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 12．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200． （1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）； （2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】y=﹣10x2+1600x﹣48000；80元时，最大利润为16000元． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可； （2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润． 【详解】解：（1）S=y（x﹣20） =（x﹣40）（﹣10x+1200） =﹣10x2+1600x﹣48000； （2）S=﹣10x2+1600x﹣48000 =﹣10（x﹣80）2+16000， 则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． 13．（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌 粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 （元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=-20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【详解】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获的利润×销售量列出函数关系式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可． 试题分析： 试题解析：（1）由题意得，y=700-20（x-45）=-20x+1600； （2），∵x≥45，抛物线的开口向下，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元． 考点：二次函数的应用． 14．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣20x2+100x+6000，0≤x＜20（或0＜x＜20）；（2）当降价2.5元时，利润最大且为6125元． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意找出等量关系列式计算即可得； （2）根据二次函数的性质进行解答即可得． 【详解】解：（1）y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x） = = 因为降价要确保盈利，所以40＜60﹣x≤60（或40＜60﹣x＜60也可）， 解得0≤x＜20（或0＜x＜20）； （2）当时， y有最大值， 即当降价2.5元时，利润最大且为6125元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系和掌握二次函数的性质． 投球问题（实际问题与二次函数） 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】(1)； (2)球出手时，他跳离地面的高度为0.2m 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×+3.5． 【详解】（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝a+3.5， 由图知图象过以下点：（1.5，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， 解得：a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm， 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m， ∴h+2.05＝﹣0.2×+3.5， ∴h＝0.2（m）． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，确定二次函数的解析式是解题的关键． 1． （23-24九年级上·新疆伊犁·期中）如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（3）（，4）或（，4）或（1，﹣4）． 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值． （2）根据S△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3， ∴﹣1+3=﹣b， ﹣1×3=c， ∴b=﹣2，c=﹣3， ∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3． （2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）． （3）设P的纵坐标为|yP|， ∵S△PAB=8， ∴AB•|yP|=8， ∵AB=3+1=4， ∴|yP|=4， ∴yP=±4， 把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3， 解得，x=1±2， 把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3， 解得，x=1， ∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8． 【点睛】1．待定系数法求二次函数解析式；2．二次函数的性质；3．二次函数图像上点的坐标特征． 2． （23-24九年级上·新疆昌吉·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣3），该图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为﹣1． （1）求该二次函数的表达式； （2）点P是直线BC下方，抛物线上的一个动点，当△PBC面积取得最大值时，求点P的坐标和△PBC面积的最大值． 【答案】（1）；（2）．最大面积 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用抛物线的顶点式表达式，即可求解； （2）利用二次函数表达式求出B、C的坐标，得到直线BC的表达式；再利用△PBC面积S＝S△PHB+S△PHC＝×PH×（xB﹣xC），进而求解． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k， 则函数的顶点坐标为：（2，﹣3）， 则y＝a（x﹣2）2﹣3， ∵点A的横坐标为﹣1，则点A（﹣1，0），将点A的坐标代入上式并解得：a＝， 故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣3＝x2﹣x﹣； （2）过点P作y轴的平行线交BC于点H， 由（1）知：y＝x2﹣x﹣；令y＝0，则x＝﹣1或5，x＝0，则y＝﹣， 故点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，﹣）， 设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：， 故直线BC的表达式为：y＝x﹣； 设点P的坐标为：（x，x2﹣x﹣），则点H（x，x﹣）， △PBC面积S＝S△PHB+S△PHC＝×PH×（xB﹣xC）＝×5×（x﹣﹣x2+x+）＝﹣x2+x， ∵﹣＜0，故S有最大值，最大值为：，此时x＝， 故点P（，﹣）． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，其中，正确确定△PBC面积的表达式，是本题解题的关键． 3． （23-24九年级上·新疆伊犁·期中）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值； （2）设点E的坐标为，则点F的坐标为，则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标． 【详解】（1）解： 点，， ，， ， ， 把和代入二次函数中得： ，解得：， 二次函数的解析式为：； （2）如图，直线AB经过点，， 设直线AB的解析式为， ，解得：， 直线AB的解析式为：， 二次函数， 设点，则， ， 当时，EF的最大值为， 点E的坐标为． 4． （23-24九年级上·新乌鲁木齐·期中）已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，求出的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）把和点，代入，建立关于b，c的二元一次方程组，求出b，c即可； （2）先求出抛物线的对称轴，又因为A，B关于对称轴对称，所以连接与对称轴的交点即为所求P点． 【详解】（1）把和点，代入， 得， 解得 （2）∵ ∴对称轴 又∵A，B关于对称轴对称， ∴连接与对称轴的交点即为所求P点． 过D作轴于F将代入， 则， ∴ ∴ 中 ∵ ∴ 故的最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！68 学科网（北京）股份有限公司 $$