专题03 全等三角形（考题猜想，易错必刷30题8种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

专题03全等三角形（易错必刷30题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 全等三角形的性质 · 全等三角形的判定 · 全等三角形的判定与性质 · 角平分线的性质 · 等腰三角形的性质 · 等腰三角形的判定 · 等腰三角形的判定与性质 · 等边三角形的判定与性质 一．全等三角形的性质（共1小题） 1．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（　　） A．70° B．68° C．65° D．60° 二．全等三角形的判定（共5小题） 2．已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 3．如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE交于点F，已知AB＝AD，若要使△ABC≌△ADE，应添加条件中错误的是（　　） A．BC＝DE B．AC＝AE C．∠ACB＝∠AED＝90° D．∠BCD＝∠DEB 4．如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，则以下结论：①△BCD≌△ACE；②△ABD≌△BCD；③∠BAE＝∠CFE；④∠ABD＝∠AEC．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，等腰三角形ABC中，腰长为20cm，底边BC的长为16cm，E为AB的中点．P，Q两点同时从C点出发，如果点P在线段CB上以4cm/s的速度由C点向B点匀速运动，点Q在线段CA上由C点向A点匀速运动，那么当点Q的运动速度为 　 　cm/s时，能够使以C，Q，P为顶点的三角形与△BPE在某一时刻全等． 三．全等三角形的判定与性质（共8小题） 7．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若，则△ABC的面积等于（　　） A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．不能确定 8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　） A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④ 10．如图，AB＝AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BC，BD；若BC＝4，则△BCD的面积为 　 　． 11．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠BAD和∠ABC的角平分线恰好与CD交于点P．若∠BAD＝70°，则∠ABP的度数为 　 　度，若AB＝8，BC＝2，则AD＝　 　． 12．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D、E分别在BC、AC上（点D不与B、C两点重合），且∠1＝∠C，若AD＝DE，则AE的长为 　 　． 13．【模型构建】 （1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，点N在线段BC的延长线上，连接AN，则在△ABN和△ACN中，边AN的对角∠ABN和∠ACN之间的数量关系为 　 　； 【模型应用】 （2） 如图②，在△ABC和△DEF中，∠B为锐角，∠C＝∠F，∠B+∠E＝180°，AC＝DF，试说明：AB＝DE． 14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． （1）求证：BE＝CG； （2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 四．角平分线的性质（共3小题） 15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．60 B．30 C．15 D．10 16．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 17．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AD＝2CD，AC＝6，点E是AB上一点，连接DE，则DE的最小值为 　 　． 五．等腰三角形的性质（共8小题） 18．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 19．如图，D为BC延长线上一点，点E在AB上，连结DE交AC于点F．若DB＝DE，∠A＝35°，∠D＝30°，则∠ACD的度数是（　　） A．115° B．110° C．105° D．95° 20．已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．10或11 21．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　） A． B． C．或2 D．或 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，∠B＝40°，下列结论中不正确的是（　　） A．AD⊥BC B．∠C＝40° C．AD平分∠BAC D．∠DAC＝40° 23．如图，O是△ABC内一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝70°，则∠1等于（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 24．已知等腰三角形ABC的底边BC＝6cm，且|AC﹣BC|＝3cm，那么△ABC的周长为（　　） A．12cm B．12cm或24cm C．24cm D．12cm或21cm 25．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝AE． （1）若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． （2）若∠BAC＝a（a＞30°），∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． （3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系．（不必证明） 六．等腰三角形的判定（共2小题） 26．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有 　 　个． 27．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有　 　个． 七．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 28．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 八．等边三角形的判定与性质（共2小题） 29．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 30．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． $$专题03全等三角形（易错必刷30题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 全等三角形的性质 · 全等三角形的判定 · 全等三角形的判定与性质 · 角平分线的性质 · 等腰三角形的性质 · 等腰三角形的判定 · 等腰三角形的判定与性质 · 等边三角形的判定与性质 一．全等三角形的性质（共1小题） 1．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（　　） A．70° B．68° C．65° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD， ∴∠1＝∠BAE＝40°， ∴△ABE中，∠B＝＝70°， ∴∠AED＝70°， 故选：A． 二．全等三角形的判定（共5小题） 2．已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【解答】解：甲，不符合两边对应相等，且夹角相等，∴甲和已知三角形不全等； 乙，符合两边对应相等，且夹角相等，乙和已知三角形全等； 丙，符合AAS，即三角形和已知图的三角形全等； 故选：B． 3．如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE交于点F，已知AB＝AD，若要使△ABC≌△ADE，应添加条件中错误的是（　　） A．BC＝DE B．AC＝AE C．∠ACB＝∠AED＝90° D．∠BCD＝∠DEB 【答案】A 【解答】解：A、若添加BC＝DE，SSA不能证明△ABC≌△ADE，故符合题意； B、若添加AC＝AE，则可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意； C、若添加∠ACB＝∠AED＝90°，则可利用AAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意； D、若添加∠BCD＝∠DEB，则可证明∠ACB＝∠AED，可利用AAS证明△ABC≌△ADE，故不符合题意； 故选：A． 4．如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，则以下结论：①△BCD≌△ACE；②△ABD≌△BCD；③∠BAE＝∠CFE；④∠ABD＝∠AEC．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∵△ABC与△DCE为等边三角形， ∴∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∠BCE是平角，BC＝AC，CD＝CE， ∴∠ACD＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE＝120°， ∴△BCD≌△ACE（SAS） 故①正确； ②∵△ABC与△DCE为等边三角形， ∴AB＝BC， ∵∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣∠CBD，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝60°﹣∠CBD， ∴∠BDC＝∠ABD， 不符合全等三角形SAS判定方法，无法确定△ABD≌△BCD， 故②错误； ③∵△ABC与△DCE为等边三角形， ∴∠ABC＝∠DCE＝60°， ∴AB∥CF ∴∠BAE＝∠CFE， 故③正确； ④∵△BCD≌△ACE， ∴∠AEC＝∠BDC 又∵∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣∠CBD，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝60°﹣∠CBD， ∴∠BDC＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠AEC， 故④正确； 所以①③④正确，故选C． 5．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个， 共3+0+1＝4个， 故选：D． 6．如图，等腰三角形ABC中，腰长为20cm，底边BC的长为16cm，E为AB的中点．P，Q两点同时从C点出发，如果点P在线段CB上以4cm/s的速度由C点向B点匀速运动，点Q在线段CA上由C点向A点匀速运动，那么当点Q的运动速度为 　5或　cm/s时，能够使以C，Q，P为顶点的三角形与△BPE在某一时刻全等． 【答案】5或． 【解答】解：∵△ABC为等腰三角形， ∴∠B＝∠C，AB＝AC＝20cm， ∵E为AB的中点， ∴BE＝10cm， 设点Q的运动速度为x cm/s，点Q的运动的时间为t s，则CP＝4t cm，CQ＝xt cm，BP＝（16﹣4t）cm， ∵∠B＝∠C， ∴当BE＝CQ，BP＝CP时，△BEP≌△CQP（SAS）， 即10＝xt，16﹣4t＝4t， 解得t＝2，x＝5； 当BE＝CP，BP＝CQ时，△BEP≌△CPQ（SAS）， 即10＝4t，16﹣4t＝xt， 解得t＝，x＝， 综上所述，点Q的运动速度为5cm/s或cm/s． 故答案为：5或． 三．全等三角形的判定与性质（共8小题） 7．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若，则△ABC的面积等于（　　） A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：延长AP交BC于点D， ∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠ABP＝∠DBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠DPB＝90°， ∵BP＝BP， ∴△BAP≌△BDP（ASA）， ∴AP＝DP， ∴△APC的面积＝△DPC的面积， ∵△BPC的面积＝12cm2， ∴△BPD的面积+△CPD的面积＝12， ∴△ABP的面积+△APC的面积＝12， ∴△ABC的面积＝24cm2， 故选：A． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC， ∵∠BAE＝∠GAE， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC＝∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE， ∴②是正确的； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED， ∴AE平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE， ∴①是不正确的； 设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x， ∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x， ∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°， ∴AE⊥AD， ∴③是正确的； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE， ∴④是正确的， 故选：B． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　） A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC， ∵∠BAE＝∠GAE， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC＝∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确； ∴AE平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE，故④是正确的， 综上所述：其中正确的有①③④． 故选：D． 10．如图，AB＝AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BC，BD；若BC＝4，则△BCD的面积为 　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC于点E，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F． ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEC＝∠CFD＝90°， ∵∠ACE+∠FCD＝90°，∠CDF+∠FCD＝90°， ∴∠ACE＝∠CDF， 在Rt△AEC和Rt△CFD中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△CFD（AAS）， ∴DF＝CE； ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴CE＝BE＝BC＝2， ∴DF＝2， ∴S△BCD＝BC•DF＝×4×2＝4． 故答案为：4． 11．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠BAD和∠ABC的角平分线恰好与CD交于点P．若∠BAD＝70°，则∠ABP的度数为 　55　度，若AB＝8，BC＝2，则AD＝　6　． 【答案】55；6． 【解答】解：延长BP交AD的延长线于点E， ∵BC∥AD， ∴∠CBP＝∠E，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝110°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝55°， ∴∠ABP＝∠E＝∠CBP， ∴AB＝AE＝8， ∵AP平分∠BAE， ∴BP＝PE， ∵∠CPB＝∠DPE， ∴△BCP≌△EDP（ASA）， ∴BC＝DE＝2， ∴AD＝AE﹣DE＝8﹣2＝6， 故答案为：55；6． 12．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D、E分别在BC、AC上（点D不与B、C两点重合），且∠1＝∠C，若AD＝DE，则AE的长为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：∵AB＝AC＝4， ∴∠B＝∠C， ∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B， ∵∠1＝∠C， ∴∠B＝∠1， ∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠1， ∴∠BAD＝∠EDC， ∵AD＝ED， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴AB＝CD＝4，BD＝CE， ∵BC＝6， ∴CE＝BD＝BC﹣CD＝6﹣4＝2， ∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2＝2， 故答案为：2． 13．【模型构建】 （1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，点N在线段BC的延长线上，连接AN，则在△ABN和△ACN中，边AN的对角∠ABN和∠ACN之间的数量关系为 　∠B+∠ACN＝180°　； 【模型应用】 （2）如图②，在△ABC和△DEF中，∠B为锐角，∠C＝∠F，∠B+∠E＝180°，AC＝DF，试说明：AB＝DE． 【答案】（1）∠B+∠ACN＝180°； （2）说明过程见解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠ACB+∠ACN＝180°， ∴∠B+∠ACN＝180°， 故答案为：∠B+∠ACN＝180°； （2）作AG＝AB，交BC于点G， ∴∠B＝∠AGB， ∵∠AGB+∠AGC＝180°，∠B+∠E＝180°， ∴∠AGC＝∠E， 在△AGC和△DEF中， ， ∴△AGC≌△DEF（AAS）， ∴AG＝DE， ∴AB＝DE． 14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F． （1）求证：BE＝CG； （2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵AB∥CG， ∴∠B＝∠DCG， 在△BDE和△CDG中， ∵∠BDE＝∠CDG， BD＝CD， ∠DBE＝∠DCG， ∴△BDE≌△CDG（ASA）， ∴BE＝CG； （2）BE+CF＞EF．理由： 如图，连接FG， ∵△BDE≌△CDG， ∴DE＝DG， 又∵FD⊥EG， ∴FD垂直平分EG， ∴EF＝GF， 又∵△CFG中，CG+CF＞GF， ∴BE+CF＞EF． 四．角平分线的性质（共3小题） 15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．60 B．30 C．15 D．10 【答案】C 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝3， ∵AB＝10， ∴△ABD的面积＝AB•DE ＝×10×3 ＝15， 故选：C． 16．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 【答案】A 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：A． 17．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AD＝2CD，AC＝6，点E是AB上一点，连接DE，则DE的最小值为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：如图：当DE⊥AB时，DE有最小值， ∵AD＝2CD，AC＝6， ∴CD＝AC＝2， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC， ∴DE＝DC＝2， ∴DE的最小值为2， 故答案为：2． 五．等腰三角形的性质（共8小题） 18．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 【答案】C 【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角＝180°﹣100°＝80°； ②若100°是底角的外角，则底角＝180°﹣100°＝80°，那么顶角＝180°﹣2×80°＝20°． 故选：C． 19．如图，D为BC延长线上一点，点E在AB上，连结DE交AC于点F．若DB＝DE，∠A＝35°，∠D＝30°，则∠ACD的度数是（　　） A．115° B．110° C．105° D．95° 【答案】B 【解答】解：∵DB＝DE，∠D＝30°， ∴∠B＝∠DEB＝＝75°， ∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝35°+75°＝110°， 故选：B． 20．已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．10或11 【答案】D 【解答】解：∵|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0， ∴x2﹣9＝0，y﹣4＝0， 解得：x＝±3，y＝4， ∵x、y是等腰三角形的两边长， ∴x＝3，y＝4， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时， ∴这个三角形的周长＝3+3+4＝10； 当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时， ∴这个三角形的周长＝3+4+4＝11； 综上所述：三角形的周长为10或11， 故选：D． 21．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为8时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴它的底边长＝20﹣8﹣8＝4， ∴它的“优美比”＝＝； 当等腰三角形的底边长为8时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴它的腰长＝×（20﹣8）＝6， ∴它的“优美比”＝＝； 综上所述：它的“优美比”为或， 故选：D． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，∠B＝40°，下列结论中不正确的是（　　） A．AD⊥BC B．∠C＝40° C．AD平分∠BAC D．∠DAC＝40° 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°， ∵点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAC＝50°， 故A、B、C都正确，D不正确， 故选：D． 23．如图，O是△ABC内一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝70°，则∠1等于（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【答案】A 【解答】解：∵OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠1＝∠OCB，∠OAC＝∠OCA， ∵∠BAC＝70°， ∴∠OAB+∠OAC＝70°， ∴∠OBA+∠OCA＝70°， ∴∠1+∠OCB＝180°﹣∠BAC﹣（∠OBA+∠OCA）＝40°， ∴∠1＝∠OCB＝20°， 故选：A． 24．已知等腰三角形ABC的底边BC＝6cm，且|AC﹣BC|＝3cm，那么△ABC的周长为（　　） A．12cm B．12cm或24cm C．24cm D．12cm或21cm 【答案】C 【解答】解：∵|AC﹣BC|＝3cm，BC＝6cm， ∴AC＝9cm或AC＝3cm， 分两种情况： 当等腰三角形ABC的腰长AC＝AB＝3cm时， ∵3+3＝6， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形ABC的腰长AC＝AB＝9cm时， ∴△ABC的周长＝9+9+6＝24（cm）， 综上所述：△ABC的周长为24cm， 故选：C． 25．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝AE． （1）若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． （2）若∠BAC＝a（a＞30°），∠BAD＝30°，求∠EDC的度数． （3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系．（不必证明） 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝45°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+30°＝75°， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣30°＝60°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAC）＝60°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣60°＝15°， 答：∠EDC的度数是15°． （2）解：与（1）类似：∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣α， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°﹣α+30°＝120°﹣α， ∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝α﹣30°， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAC）＝105°﹣α， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝（120°﹣α）﹣（105°﹣α）＝15°， 答：∠EDC的度数是15°． （3）∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC＝∠BAD． 六．等腰三角形的判定（共2小题） 26．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有 　8　个． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）． ③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8； ∴符合条件的点有8个． 故答案为：8． 27．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有　4　个． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B＝30°， ∴AD＝DB，△ADB是等腰三角形， 在Rt△ACD和Rt△AED中有∠ACD＝∠AED＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，AC＝AC， ∴Rt△ACD≌Rt△AED， ∴CD＝DE，AE＝AC， ∴△CDE，△AEC是等腰三角形， ∵∠BAC＝60°， ∴△AEC是等边三角形， ∴∠ACE＝60°， ∴∠ECB＝∠B＝30°， ∴△BEC是等腰三角形． 即图中的等腰三角形共有4个． 故填4． 七．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 28．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【答案】（1）说明过程见解答； （2）①说明过程见解答； ②如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 八．等边三角形的判定与性质（共2小题） 29．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°， ∵∠AFE＝∠ABC＝120°， ∴∠AFD＝∠ABD＝90°， 在Rt△ABD和RtAFD中 ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°， ∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°， ∴AD∥EF， ∵G、I分别为AF、DE中点， ∴GI∥EF∥AD， ∴∠FGI＝∠FAD＝60°， ∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM＝60°＝∠M， ∴ED＝EM， 同理AF＝QF， 即AF＝QF＝EF＝EM， ∵等边三角形QKM的边长是a， ∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的， 过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI， ∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF＝ZN＝a， ∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证）， ∴∠GFZ＝30°， ∴GZ＝GF＝a， 同理IN＝a， ∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a； 同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a； 同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a； 第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a； 第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a， 即第六个正六边形的边长是×a， 故选：A． 30．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　＝　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　＝　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）故答案为：＝． （2）过E作EF∥BC交AC于F， ∵等边三角形ABC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， 即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝AF， ∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°， ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠BED＝∠ECF， 在△DEB和△ECF中 ， ∴△DEB≌△ECF（AAS）， ∴BD＝EF＝AE， 即AE＝BD， 故答案为：＝． （3）解：CD＝1或3， 理由是：分为两种情况：①如图1 过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AB＝1，AE＝2， ∴AB＝BE＝1， ∵EN⊥DC，AM⊥BC， ∴∠AMB＝∠ENB＝90°， 在△ABM和△EBN中， ， ∴△AMB≌△ENB（AAS）， ∴BN＝BM＝， ∴CN＝1+＝， ∴CD＝2CN＝3； ②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AM∥EN， ∴＝， ∴＝， ∴MN＝1， ∴CN＝1﹣＝， ∴CD＝2CN＝1， 即CD＝3或1． $$