第12讲 函数的表示法（1个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第12讲 函数的表示法（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 题型强化 题型一．函数的表示方法 1．某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度与小车下滑时间之间的关系如下表所示： 支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是　　 A．支撑物的高度为，小车下滑的时间为 B．支撑物的高度越大，小车下滑时间越小 C．若小车下滑的时间为，则支撑物的高度在至之间 D．若支撑物的高度每增加，则对应的小车下滑的时间每次至少减少 2．某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶．在行驶过程中，油箱的余油量（升与行驶时间（小时）之间的关系如表：由表格中与的关系可知，当汽车行驶 　　小时，油箱的余油量为40升． （小时） 0 1 2 3 （升 100 92 84 76 3．如图，在中，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接．设的面积为，的长为，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了如下的数据： 0 3 6 3 0 3 请根据以上信息，解答下列问题： （1）题中的自变量和因变量分别是什么？当时，的值是多少？直接写出的值； （2）当的面积为面积的时，求出的值． 题型二、函数的三种表示方法 4．（19-20八年级·上海静安·课后作业）某次物理实验中，测得变量和的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（     ） 1 2 3 4 5 6 2.41 4.9 10.33 17.21 25.93 37.02 A． B． C． D．． 5．（19-20八年级上·上海·单元测试）表示函数的方法常用的有 、 、 三种． 6．（19-20八年级上·上海·单元测试）一根弹簧的长度为厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） …… 弹簧的长度（厘米） …… (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式； (2)如果拉力是千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是厘米？ 分层练习 一、单选题 1．在圆的面积公式中，变量是（    ） A．， B．， C．， D．只有 2．小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ） A．单价和金额 B．重量和金额 C．重量和单价 D．重量，单价和金额 3．芳芳从家出发去看电影．当她走了大约一半的路程时，发现没带电影票，于是她立刻跑回家取票，之后又赶紧跑到电影院，看完电影，再走回家．下面图（　　）符合题目中所描述的情况．        A．① B．② C．③ D．④ 4．点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系如表： （分） （厘米） 这根蜡烛最多能燃烧的时间为（ ） A．分 B．分 C．分 D．分 5．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）之间有下面的关系： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 二、填空题 7．若长方形的周长为16，长为y，宽为x，则y与x的关系式为 ． 8．一根弹簧长，它所挂的物体质量不能超过，并且所挂的物体每增加弹簧就伸长，则挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量（）之间的表达式为 ． 9．某公交车每月的支出费用为4500元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元．请写出y与x之间的关系式 ． 10．某服装原价200元，降价x%后再优惠20元，现售价为y元，y关于x的函数关系式是 ． 11．等腰三角形顶角度数随底角度数的变化而变化．若设底角为，顶角为，则y与x的关系式为 ． 12．汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的关系是 ，其中的常量是 ，变量是 ． 13．米店买米，数量x（千克）与售价y（元）之间的关系如下表： x/千克 0.5 1 1.5 2 … y/元 … 则售价y与数量x之间的关系式是 ． 14．河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系： 行驶路程s（千米） 0 50 100 150 200 … 剩余油量Q（升） 40 35 30 25 20 … 则该汽车每行驶100千米的耗油量为 升． 15．一空水池深，现以均匀的速度往进注水，注水时间与水池内水的深度之间的关系如表，由表可知，注满水池所需要的时间为 ． 注水时间 … 水的深度 … 16．某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是 ，因变量是 ； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； （4）图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； （5）图中点A表示 ． 17．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min)之间的关系如图2所示，根据图中的信息，回答问题： (1)根据图2补全表格： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高度y/m 5 ______ 5 ______ 5 … (2)如表反映的两个变量中，自变量是____，因变量是_____； (3)根据图象，摩天轮的直径为_____m，它旋转一周需要的时间为______min． 18．下表反映的是y与x的对应关系（x，y取正整数），根据表格中已有的规律，将表格填充完整．　 　 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 2 5 10 17 26 37 三、解答题 19．已知某易拉罐厂设计了一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与用铝量有如下关系： 底面半径 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 用铝量 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当易拉罐底面半径为时，易拉罐需要的用铝量是多少？ 20．已知张强家、体育场、文具店在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示时间，表示张强离家的距离． 根据图象回答下列问题： (1)本题中的自变量是_______，因变量是_______． (2)体育场离张强家_______，体育场离文具店__________； (3)张强在体育场锻炼了________，在文具店停留了________； (4)求张强从文具店回家的平均速度是多少？ 21．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如下面表格所示： 碗的数量/只 1 2 3 4 5 … 高度/ 4 … (1)用h（单位：）表示这摞碗的高度，用x（单位：只）表示这摞碗的数量，请用含有x的代数式表示h； (2)若一摞碗的高度为，求这摞碗的数量． 22．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量（只） 高度（）    (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用表示这摞碗的高度，用x（只）表示这摞碗的数量，请用含有x的代数式表示h； (3)若这摞碗的数量为7只，求这摞碗的高度 23．1~6个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重和月龄x（月）的关系可以用（a，b都是常量）来表示，其中a是婴儿每月增加的体重，b是婴儿出生的体重． 下表是体重和月龄x（月）之间的一组不完整数据： 月龄x/月 1 2 3 4 5 6 体重y/g 4450 5150 5850 6550 ________ ________ (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)利用表中数据直接写出该体重和月龄x（月）之间的数量关系； (3)当时，求体重的值，并补全统计表中的数据． 24．宝鸡文化艺术中心新建的剧院观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 50 54 58 62 … (1)按照上表所示的规律，当排数为8时，此时座位数为多少？ (2)写出座位数y与排数x之间的关系式． 25．为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 26．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是　 ，因变量是　 　． （2）当所悬挂重物为3kg时，弹簧的长度为　 　cm；不挂重物时，弹簧的长度为　 　cm． （3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为36cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内） 27．小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．    (1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________； x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … … m -2 n 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量x的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； ③求证：当时，y随x的增大而增大． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 函数的表示法（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．函数的表示方法 函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化． 题型强化 题型一．函数的表示方法 1．某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度与小车下滑时间之间的关系如下表所示： 支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是　　 A．支撑物的高度为，小车下滑的时间为 B．支撑物的高度越大，小车下滑时间越小 C．若小车下滑的时间为，则支撑物的高度在至之间 D．若支撑物的高度每增加，则对应的小车下滑的时间每次至少减少 【分析】根据函数的表示方法对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、由图表可知，当时，，故不符合题意； 、支撑物高度越大，小车下滑时间越小，故不符合题意； 、若小车下滑时间为，则支撑物高度在至之间，故不符合题意； 、若支撑物的高度每增加，则对应的小车下滑的时间每次不一定减少，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了函数的表示方法，观察表格获得信息是解题关键． 2．某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶．在行驶过程中，油箱的余油量（升与行驶时间（小时）之间的关系如表：由表格中与的关系可知，当汽车行驶 　7.5　小时，油箱的余油量为40升． （小时） 0 1 2 3 （升 100 92 84 76 【分析】由表格数据可得每小时的油耗，据此写出关于的函数关系式，当时，求出的值即可． 【解答】解：由表格数据可知，每小时的油耗是8升， ． 当时，即当时，． 故答案为：7.5． 【点评】本题考查函数的表示方法，根据有关数据写出变量之间的函数关系式是本题的关键． 3．如图，在中，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接．设的面积为，的长为，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了如下的数据： 0 3 6 3 0 3 请根据以上信息，解答下列问题： （1）题中的自变量和因变量分别是什么？当时，的值是多少？直接写出的值； （2）当的面积为面积的时，求出的值． 【分析】（1）根据条件和图表信息，直接回答即可； （2）利用面积列出关于的方程，解出即可． 【解答】解：（1）由题目信息可知，自变量是长，因变量是三角形的面积， 当时，， 由图表信息可知，当时，，即点与点重合时，三角形的面积为0， 点是边的中点， ． （2）由图表信息可知，时， ， 三角形边上的高， ； ， ． 当点在点左侧时，，即． 综上，或． 【点评】本题考查了函数的表示方法，求函数值．读懂题目，理清各个量之间的关系是关键． 题型二、函数的三种表示方法 4．（19-20八年级·上海静安·课后作业）某次物理实验中，测得变量和的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（     ） 1 2 3 4 5 6 2.41 4.9 10.33 17.21 25.93 37.02 A． B． C． D．． 【答案】A 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出与之相近的关系式． 【详解】解：有四组数据可找出规律，2.41-1=1.41，接近12； 4.9-1=3.9，接近22； 10.33-1=9.33，接近32； 17.21-1=16.21，接近42； 25.931=24.93，接近52； 37.021=36.02，接近62； 故m与v之间的关系最接近于v=m2+1． 故选：A． 【点睛】本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的律，然后再答案中找出与之相近的关系式． 5．（19-20八年级上·上海·单元测试）表示函数的方法常用的有 、 、 三种． 【答案】 解析法 列表法 图像法 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题考查了表示函数的方法，根据“表示函数的方法常用的有解析法、列表法、图像法”得出答案即可，熟练掌握表示函数的方法是解题的关键． 【详解】解：表示函数的方法常用的有解析法、列表法、图像法三种． 故答案为：解析法；列表法；图像法． 6．（19-20八年级上·上海·单元测试）一根弹簧的长度为厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） …… 弹簧的长度（厘米） …… (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式； (2)如果拉力是千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是厘米？ 【答案】(1) (2)厘米 (3)当拉力是千克时，弹簧长度是厘米 【知识点】函数解析式、函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数的实际应用，根据表格数据得出函数解析式、正确求函数值和自变量的值是解题的关键． （1）由表格得：拉力每增加千克，弹簧的长度增加厘米，得出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式即可； （2）把代入（1）所求函数解析式，求出弹簧长度即可； （3）把代入（1）所求函数解析式，求出此时的拉力即可． 【详解】（1）解：由表格得：拉力每增加千克，弹簧的长度增加厘米， ∴弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式为：； （2）解：把代入得：， 答：如果拉力是千克，那么弹簧长度是厘米； （3）解：把代入得：， 解得：， 答：当拉力是千克时，弹簧长度是厘米． 分层练习 一、单选题 1．在圆的面积公式中，变量是（    ） A．， B．， C．， D．只有 【答案】B 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据变量的定义，即在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，即可求解． 【详解】解：在圆的面积公式中，变量是，常量是， 故选：B． 【点睛】本题考查了变量，熟记变量的定义是解题关键． 2．小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ） A．单价和金额 B．重量和金额 C．重量和单价 D．重量，单价和金额 【答案】B 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查实际生活中的变量，读懂题意，理解水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化，即可得到答案，熟记数学概念在生活中的运用是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，小华同学在市场买某种水果，图中称重时电子秤的数据显示牌，中具有重量、单价和金额，显然水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化， 其中的变量是重量和金额， 故选：B． 3．芳芳从家出发去看电影．当她走了大约一半的路程时，发现没带电影票，于是她立刻跑回家取票，之后又赶紧跑到电影院，看完电影，再走回家．下面图（　　）符合题目中所描述的情况．        A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】根据路程和时间的关系图象逐项判断即可． 【详解】解：图①中符合芳芳这段时间离家距离变化，符合题意； 图②中表示芳芳走了超过一半的路程又回家取的电影票，不符合题意； 图③中芳芳从电影院回家需要一段时间，而图中表示芳芳看完电影后，直接就到了家，不符合题意； 图④中表示的不是芳芳从家出发的，不符合题意； 综上分析可知，符合芳芳这段时间离家距离变化的是①，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用图象表示变量之间的关系，解题的关键是数形结合，熟练掌握路程和时间关系图象． 4．点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系如表： （分） （厘米） 这根蜡烛最多能燃烧的时间为（ ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】A 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】观察表格可知，蜡烛两分钟燃烧厘米，即分钟燃烧厘米，从而可以得出关系式；当时，即蜡烛最多能燃烧的时间． 【详解】解：根据表格可知，蜡烛分钟燃烧厘米，即分钟燃烧厘米， 蜡烛的长度为厘米， 所以关系式为， 当时，即蜡烛最多燃烧时间， ， （分）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数关系式的表示，观察表中数据之间的规律是解决本题的关键． 5．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】由航行，休息，航行可得此函数图象将分三个阶段，逐段进行分析即可得答案． 本题考查了实际问题的函数图象，解决本题的关键是抓住相同路程用时不同得到相应的函数图象． 【详解】解：第一个阶段，逆水航行，用时较多； 第二个阶段，在乙地停留一段时间，随着时间的增长，路程不再变化，函数图象将与x轴平行； 第三个阶段，顺水航行，所走的路程继续增加，相对于第一个阶段，用时较少， 故选：C． 6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）之间有下面的关系： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了表格法表示两个变量的关系，根据表格数据逐项判断即可． 【详解】解：A、由表得：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，则正确，故不符合题意； B、由表得：当时，，则弹簧不挂重物时的长度为，则正确，故不符合题意； C、由表得：当时，，则，则物体质量每增加，弹簧长度y增加，则正确，故不符合题意； D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，则错误，故符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．若长方形的周长为16，长为y，宽为x，则y与x的关系式为 ． 【答案】y＝−x＋8 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题根据长方形的周长＝2（长＋宽），代入对应数据，对式子进行变形，即可解答． 【详解】解：由题意可得，2（x＋y）＝16， 整理可得，y＝−x＋8． 故答案为：y＝−x＋8． 【点睛】本题主要考查的是变量之间的关系，通过理解题意，列出等式是解决问题的关键． 8．一根弹簧长，它所挂的物体质量不能超过，并且所挂的物体每增加弹簧就伸长，则挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量（）之间的表达式为 ． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据“弹簧总长=挂上kg的物体后的弹簧伸长的长度+弹簧原来的长度”，列出表达式，即可得出结果． 【详解】解：∵所挂的物体每增加kg弹簧就伸长cm， ∴挂上kg的物体后，弹簧伸长cm， ∴弹簧总长， 故挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的表达式为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了用表达式表示变量之间的关系，解本题的关键在根据题意正确找出挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量的关系． 9．某公交车每月的支出费用为4500元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元．请写出y与x之间的关系式 ． 【答案】/ 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】根据差额票价人数支出费用进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，正确理解题意是解题的关键． 10．某服装原价200元，降价x%后再优惠20元，现售价为y元，y关于x的函数关系式是 ． 【答案】y=﹣2x+180 【分析】根据题中关系式：原价-降价-优惠=售价，可得答案． 【详解】解：由题意，得  y=200﹣x%×200﹣20， 即y=﹣2x+180， 故答案为y=﹣2x+180． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解原价减去降价、减去优惠价等于售价是解题关键． 11．等腰三角形顶角度数随底角度数的变化而变化．若设底角为，顶角为，则y与x的关系式为 ． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系、等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、利用关系式表示函数关系，熟练掌握三角形的内角和定理和等腰三角形的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的性质可得的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 则， ∵等腰三角形的底角为， ∴， 所以与的关系式为， 故答案为：． 12．汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的关系是 ，其中的常量是 ，变量是 ． 【答案】 Q=40-5t 40，5 Q，t 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【解析】略 13．米店买米，数量x（千克）与售价y（元）之间的关系如下表： x/千克 0.5 1 1.5 2 … y/元 … 则售价y与数量x之间的关系式是 ． 【答案】y＝2.6x＋0.1 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据观察，可发现规律：每增加0.5千克，售价增加1.3元，可得答案． 【详解】售价y与数量x之间的关系式是y＝2.6x＋0.1， 故答案为：y＝2.6x＋0.1． 【点睛】本题考查了函数关系式，观察发现规律是解题关键． 14．河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系： 行驶路程s（千米） 0 50 100 150 200 … 剩余油量Q（升） 40 35 30 25 20 … 则该汽车每行驶100千米的耗油量为 升． 【答案】10 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据表格中两个变量的变化关系得出函数关系式即可． 【详解】解：根据表格中两个变量的变化关系可知， 行驶路程每增加50千米，剩余油量就减少5升， 所以行驶路程每增加100千米，剩余油量就减少10升， 故答案为：10． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是正确解答的前提． 15．一空水池深，现以均匀的速度往进注水，注水时间与水池内水的深度之间的关系如表，由表可知，注满水池所需要的时间为 ． 注水时间 … 水的深度 … 【答案】 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】利用表格的信息求得每小时注入使水池的水升高的高度即可得出结论． 【详解】解：由表格可知：每小时注入使水池的水升高， (h)， 注满水池所需要的时间为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，充分利用表格信息是解题的关键． 16．某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是 ，因变量是 ； （2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； （4）图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； （5）图中点A表示 ． 【答案】 操控无人机的时间； 无人机的飞行高度； 5； 25； 2； 15； 在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米． 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可； （2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留时间为分钟即可； （3）根据“速度=路程÷时间”计算即可； （4）根据速速、时间与路程的关系式，列式计算求解即可； （5）根据点的实际意义解答即可． 【详解】解：（1）横轴代表的是无人机被操控的时间，纵轴是无人机飞行的高度，所以自变量是操控无人机的时间；因变量是无人机的飞行高度； （2）无人机在75米高的上空停留时间为分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为：米/分； （4）图中表示的数为：分钟；图中表示的数为分钟； （5）图中点A表示，在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米． 【点睛】本题考查变量之间的关系在实际中的应用，根据图象学会分析是解题重点． 17．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min)之间的关系如图2所示，根据图中的信息，回答问题： (1)根据图2补全表格： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高度y/m 5 ______ 5 ______ 5 … (2)如表反映的两个变量中，自变量是____，因变量是_____； (3)根据图象，摩天轮的直径为_____m，它旋转一周需要的时间为______min． 【答案】(1)70；54；(2)旋转时间x；高度y；(3)65；6． 【知识点】从函数的图象获取信息、函数的三种表示方法、函数的图象 【分析】（1）根据图象得到x＝3和x＝8时，y的值； （2）根据常量和变量的概念解答即可； （3）结合图象计算即可． 【详解】解：(1)由图象可知，当x＝3时，y＝70， 当x＝8时，y＝54， 故答案为70；54； (2)表反映的两个变量中，自变量是旋转时间x，因变量是高度y； 故答案为旋转时间x；高度y； (3)由图象可知，摩天轮的直径为：70﹣5＝65m，旋转一周需要的时间为6min． 故答案为65；6． 【点睛】本题考查的是函数的概念与图象，正确理解常量和变量的概念、读懂函数图象是解题的关键． 18．下表反映的是y与x的对应关系（x，y取正整数），根据表格中已有的规律，将表格填充完整．　 　 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 2 5 10 17 26 37 【答案】50　　65　　82 【知识点】初中数学综合库 【详解】根据表格，分析数据可得y与x之间的关系是y=x2+1；将x的值代入关系式即可求得y的值． 解：由表可得：y与x的关系式为： y=x2+1； 故当x=7时，y=50； 当x=8时，y=65； 当x=9时，y=82． 三、解答题 19．已知某易拉罐厂设计了一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与用铝量有如下关系： 底面半径 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 用铝量 6.9 6.0 5.6 5.5 5.7 6.0 6.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当易拉罐底面半径为时，易拉罐需要的用铝量是多少？ 【答案】(1)反映了易拉罐底面半径和用铝量的关系，其中，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量 (2) 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的表示方法及函数的有关概念，正确分析题意是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的概念求解即可； （2）根据表格中的数据求解即可． 【详解】（1）反映了易拉罐底面半径和用铝量的关系， 其中，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量； （2）由表格可得， 当易拉罐底面半径为时，易拉罐需要的用铝量是． 20．已知张强家、体育场、文具店在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示时间，表示张强离家的距离． 根据图象回答下列问题： (1)本题中的自变量是_______，因变量是_______． (2)体育场离张强家_______，体育场离文具店__________； (3)张强在体育场锻炼了________，在文具店停留了________； (4)求张强从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)时间，张强离家的距离 (2)，1 (3)15，20 (4) 【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用图象法表示变量之间的关系，正确读懂图象信息，熟练掌握路程、速度、时间的关系是解题的关键． （1）根据题意直接作答即可； （2）根据图象可知体育场离张强家的距离和文具店离张强家的距离，由此可算出体育场离文具店的距离； （3）根据图象直接作答即可； （4）根据图象可知文具店离张强家的距离和张强从文具店到家所用的时间，由此可计算出张强从文具店回家的平均速度． 【详解】（1）解：根据题意，本题中的自变量是时间，因变量是张强离家的距离， 故答案为：时间，张强离家的距离； （2）解：根据图象可知体育场离张强家的距离为；文具店离张强家的距离为， 体育场离文具店的距离， 故答案为：2.5，1； （3）解：根据图象可知张强在体育场锻炼的时间为；在文具店停留的时间为； 故答案为：15，20； （4）解：根据图象可知文具店离张强家的距离；张强从文具店到家所用的时间为， 张强从文具店回家的平均速度为， 答：张强从文具店回家的平均速度是． 21．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如下面表格所示： 碗的数量/只 1 2 3 4 5 … 高度/ 4 … (1)用h（单位：）表示这摞碗的高度，用x（单位：只）表示这摞碗的数量，请用含有x的代数式表示h； (2)若一摞碗的高度为，求这摞碗的数量． 【答案】(1) (2)这摞碗有7个 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，考查学生对常量与变量的理解，根据表格中变量的变化规律得出函数关系式是解决问题的关键． （1）根据表格列出这摞碗的高度和碗的数量的关系式； （2）利用关系式求出当时，x的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知，x每多1只，h增加， ， ； （2）解：当时，， 解得： 答：这摞碗有7个． 22．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量（只） 高度（）    (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用表示这摞碗的高度，用x（只）表示这摞碗的数量，请用含有x的代数式表示h； (3)若这摞碗的数量为7只，求这摞碗的高度 【答案】(1)碗的数量；高度 (2) (3) 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、函数的概念 【分析】本题考查了函数的概念，函数解析式，求函数值； （1）根据碗的高度随着碗的数量变化而改变，即可判断； （2）求出每只碗增加的高度即可解答； （3）根据（2）中和的关系式代入求值即可． 【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，碗的高度随着碗的数量变化而变化，则碗的数量是自变量，高度是因变量； 故答案为：碗的数量；高度． （2）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加， ， ； （3）解：， ∴当时， 这摞碗的高度为． 23．1~6个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重和月龄x（月）的关系可以用（a，b都是常量）来表示，其中a是婴儿每月增加的体重，b是婴儿出生的体重． 下表是体重和月龄x（月）之间的一组不完整数据： 月龄x/月 1 2 3 4 5 6 体重y/g 4450 5150 5850 6550 ________ ________ (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)利用表中数据直接写出该体重和月龄x（月）之间的数量关系； (3)当时，求体重的值，并补全统计表中的数据． 【答案】(1)上表反应了体重 y（g）​和月龄x（月） 的关系，自变量是婴儿月龄x​（月），因变量是婴儿的体重y（g）​ (2)y＝700x＋3750 (3)当时，体重为6200g；统计表见解析 【知识点】用关系式表示变量间的关系、用表格表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据变量与常量的定义，结合具体的问题情境进行解答即可； （2）根据表格中两个变量对应值的变化规律可得函数关系式； （3）代入计算即可． 【详解】（1）解：上表反应了体重 y（g）​和月龄x（月） 的关系，自变量是婴儿月龄x​（月），因变量是婴儿的体重y（g）​． （2）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，婴儿的月龄每增加1个月，其体重就增加700g， ∴y＝4450＋700（x−1）＝700x＋3750， 答：体重 y（g）​和月龄x（月）​的之间数量关系式为y＝700x＋3750． （3）解：当 x＝3.5​时， y＝700×3.5＋3750＝6200； 当 x＝5​时， y＝700×5＋3750＝7250；​ 当 x＝6​时， y＝700×6＋3750＝7950．​ 月龄x/月 1 2 3 4 5 6 体重y/g 4450 5150 5850 6550 7250 7950 答：当x＝3.5时，体重 y的值为6200． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解函数的定义，发现表格中两个变量的变化规律是解决问题的关键． 24．宝鸡文化艺术中心新建的剧院观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 50 54 58 62 … (1)按照上表所示的规律，当排数为8时，此时座位数为多少？ (2)写出座位数y与排数x之间的关系式． 【答案】(1)排数为8时，此时座位数为78 (2) 【知识点】用关系式表示变量间的关系、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，用关系式表示的变量间关系．根据表格知每增加一排，座位增加4个是解题关键． （1）由表格可知每增加一排，座位增加4个，由此可求解； （2）由（1）可直接得出座位数y与排数x之间的关系． 【详解】（1）解：∵当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，， 即排数为8时，此时座位数为78； （2）解：由（1）题结果可得， 座位数y与排数之间的关系式． 25．为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 【答案】(1)离开家的时间，离家的距离 (2)900；4 (3)李老师家访完后到学校的骑车速度为150米/分 【知识点】用图象表示变量间的关系、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． （1）根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）观察图象计算李老师家访完后到学校的骑车路程除以所用的时间即可． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离开家的时间，因变量是离家的距离， 故答案为：离开家的时间，离家的距离； （2）解：由图象可知：李老师家到小明家的路程是900米， 李老师在小明家停留了（分钟）， 故答案为：900；4； （3）解：由图象可知：李老师家访完后到学校的骑车速度为（米/分）． 26．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是　 ，因变量是　 　． （2）当所悬挂重物为3kg时，弹簧的长度为　 　cm；不挂重物时，弹簧的长度为　 　cm． （3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为36cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内） 【答案】（1）所挂物体的质量xkg，弹簧的长度ycm；（2）24，18；（3）y＝2x+18，弹簧的长度为36cm时，此时所挂重物的质量是9kg 【知识点】用表格表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、函数解析式 【分析】（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量，弹簧的长度ycm是因变量； （2）设y＝kx+b，然后将表中的数据代入求解即可，从图表中直接得出当所挂重物为3kg时，弹簧的长度和不挂重物时弹簧的长度； （3）把y＝36代入（2）中求得的函数关系式，求出x的值即可； 【详解】解：（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量，弹簧的长度ycm是因变量． （2）设弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式为y＝kx+b， 将x＝0，y＝18；x＝1，y＝20代入得： k＝2，b＝18， ∴y＝2x+18． 当x＝3时，y＝24；当x＝0时，y＝18． 所以，当所挂重物为3kg时，弹簧有24cm长；不挂重物时，弹簧有18cm长．    （3）把y＝36代入y＝2x+18，得出：x＝9， 所以，弹簧的长度为36cm时，此时所挂重物的质量是9kg． 【点睛】本题考查函数，自变量的定义，写函数解析式、利用解析式计算函数值、自变量的值、根据实际问题写函数解析式是关键. 27．小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对于函数的图像和性质进行探究．    (1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________； x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 … … m -2 n 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： (2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察图形并分析表格，解决下列问题： ①自变量x的取值范围是__________； ②函数图象关于点___________中心对称； ③求证：当时，y随x的增大而增大． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)①②③见详解 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、用描点法画函数图象 【分析】（1）将，代入函数解析式即可求解； （2）用光滑的曲线顺次连接起来，即可求解； （3）①由得，分母不为，即可求解；②由表格可得第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数，即可求解；③设，可得，，可求，，，，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ； 故答案：，． （2）解：如图，用光滑的曲线顺次连接起来，      （3）①解：由得 自变量x的取值范围是， 故答案：； ②解：由表格得： 与，与，与，， 第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数， 函数图像关于点中心对称， 故答案：． ③证明：设， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了通过作函数图象，通过图象来研究函数性质：自变量取值范围、对称性、增减性，掌握函数增减性的证明方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$