第12讲 分式的运算（2024）（3个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第12讲 分式的运算（2024）（3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点2．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 题型强化 题型一．分式的乘除法 1．（2022秋•嘉定区校级期末）计算的结果为　　 A． B．1 C． D． 2．（浦东新区校级月考）若有意义，则的取值范围是　　． 3．（2022秋•嘉定区校级期末）如表，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为代数式，若该题化简的结果为． （1）求代数式； （2）该题化简的结果能等于吗？为什么？ 化简：的结果为____． 题型二．分式的加减法 4．（2023秋•普陀区期末）计算：　　． 5．（2022秋•虹口区校级月考）已知、为实数且满足，，设，，则下列两个结论　　 ①时，，时，；时，．②若，则． A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错 6．（2023秋•浦东新区期末）已知：，求的值． 题型三．分式的混合运算 7．（2023秋•松江区期末）下列分式化简正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•宝山区校级月考）现有咖啡50克，用350克开水冲泡一壶热咖啡，则这壶咖啡的浓度为　　． 9．（2020秋•杨浦区校级期中）． 题型四、分式乘方 10．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 11．（21-22七年级上·上海·期末）计算： 题型五、零指数幂 12．（22-23七年级上·上海青浦·期末）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，的值是1 D．当时，的值是1 13．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）计算： ． 14．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 分层练习 一、单选题 1．的值是（　　） A． B． C．3 D． 2．的相反数是（    ） A． B． C．-2 D．2 3．下列等式成立的是（　　） A．（﹣3）﹣2＝﹣9 B．（﹣3）﹣2＝ C．（a12）2＝a14 D．a2•a5＝a6 4．将，，这三个数从小到大排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（  ） A．3 B． C． D． 6．已知，，，都是正实数，且，其中，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．计算： ． 8．当 时，有意义． 9．化简： ． 10．计算：＝ · ÷ = · = ． 11． ． 12．计算： ． 13．计算的结果为 ． 14．化简： ． 15．计算＝ ． 16．已知，则 ． 17．若，，，，用“<”将a，b，c，d连接起来 ． 18．计算 ； ； ； ． 三、解答题 19．福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为的正方形去掉一块边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基他是边长为的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？ 20．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 21．现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ 22．先化简，再求值：，其中． 23．有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为，乙筐水果的质量为（其中）．售完后，两筐水果都卖了150元． (1)哪筐水果卖的单价高？ (2)高的单价是低的单价的多少倍？ 24．有，两箱水果，箱水果质量为，箱水果质量为（其中），售完后，两箱水果都卖了120元． (1)哪箱水果的单价要高些？ (2)两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？ 25．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)．并证明． 26．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式：反之、称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； (1)下列分式中、属于真分式的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式； (3)当整数 时，分式的值为整数． 27．阅读材料： 在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式，的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 解答问题： (1)现有大、小两艘轮船，小船每天运吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务． ①大船、小船完成运送任务所需天数分别为___________天，___________天（均用含的代数式表示）； ②通过计算说明哪艘轮船完成任务所用的时间少？ (2)比较与的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 分式的运算（2024）（3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 知识点2．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 知识点3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 题型强化 题型一．分式的乘除法 1．（2022秋•嘉定区校级期末）计算的结果为　　 A． B．1 C． D． 【分析】原式先算乘方运算，再算乘除运算即可求出值． 【解答】解：原式 ． 故选：． 【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（浦东新区校级月考）若有意义，则的取值范围是　且且　． 【分析】根据分母不能为0，可得，，，解即可求的取值范围． 【解答】解：若有意义， 那么，，， 即，1，． 故答案为且且． 【点评】本题考查了分式有无意义的要求，主要是根据分母不能为0来计算． 3．（2022秋•嘉定区校级期末）如表，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为代数式，若该题化简的结果为． （1）求代数式； （2）该题化简的结果能等于吗？为什么？ 化简：的结果为____． 【分析】（1）根据分式的乘除运算法则即可求出答案． （2）根据分式方程的解法即可求出答案． 【解答】解：（1） ， ． （2）令， 解得：， 原分式有意义时，不能取，此时分式的值为0， 故化简结果不可以等于． 【点评】本题考查分式的乘除运算法则以及分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式的方程的解法以及分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 题型二．分式的加减法 4．（2023秋•普陀区期末）计算：　　． 【分析】利用分式的加减法则计算即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2022秋•虹口区校级月考）已知、为实数且满足，，设，，则下列两个结论　　 ①时，，时，；时，．②若，则． A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错 【分析】①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可得结论； ②根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论． 【解答】解：，， ， ， ， ， ①当时，， ， 当时， ， ， 当时，，或， 或， 或； 当时，可能同号，也可能异号， 或， ， 或； ①不正确； ② ， 原式 ，，， ，． ②对． 故选：． 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用． 6．（2023秋•浦东新区期末）已知：，求的值． 【分析】先把方程的右边通分，然后得出，整理得到，于是得出，，从而求出、的值即可． 【解答】解：， ， ， 整理得，， ，， 解得，， ． 【点评】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 题型三．分式的混合运算 7．（2023秋•松江区期末）下列分式化简正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】首先把分子分母分解因式，再去约分化简即可． 【解答】解：、，故原题计算错误； 、，故原题计算正确； 、，故原题计算错误； 、不能约分，故原题计算错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了分式的混合运算，关键是正确把分子分母分解因式． 8．（2023秋•宝山区校级月考）现有咖啡50克，用350克开水冲泡一壶热咖啡，则这壶咖啡的浓度为　　． 【分析】用咖啡50克比上350克开水加上咖啡50克，再乘以百分之百，即可得出答案． 【解答】解：根据题意得： ； 则这壶咖啡的浓度为． 故答案为：． 【点评】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据题意列出代数式，咖啡的浓度是咖啡的量比上水加咖啡的量． 9．（2020秋•杨浦区校级期中）． 【分析】首先把除法运算转化成乘法运算，然后进行加减运算． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 题型四、分式乘方 10．（23-24七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】分式乘方、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的乘方； 根据负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，结合分式的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（21-22七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、分式乘除混合运算、分式乘方 【分析】根据即可求解，在根据分式的混合运算计算得出结果即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的分式的混合运算，解题关键在于的运用． 题型五、零指数幂 12．（22-23七年级上·上海青浦·期末）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，的值是1 D．当时，的值是1 【答案】D 【知识点】零指数幂 【分析】根据当时，有意义，且，即判断即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得， 即当时， 故选：D． 【点睛】本题考查了0次幂有意义的条件；熟练掌握0次幂有意义的条件是解题的关键． 13．（23-24七年级上·上海宝山·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查整数指数幂的运算及有理数的加减运算 ．熟知整数指数幂的运算法则是正确解决本题的关键． 根据及先进行整数指数幂的运算再按有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】4 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方运算 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，乘方运算，先计算乘方运算，零次幂，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式 分层练习 一、单选题 1．的值是（　　） A． B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】分别利用零指数幂和负指数幂计算，再相加． 【详解】解： = =3 故选C． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂和负指数幂的运算法则． 2．的相反数是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】B 【知识点】负整数指数幂、相反数的定义 【分析】先求出的值，再根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】 的相反数为 故本题选B． 【点睛】本题考查了相反数及负整指数幂的运算．熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 3．下列等式成立的是（　　） A．（﹣3）﹣2＝﹣9 B．（﹣3）﹣2＝ C．（a12）2＝a14 D．a2•a5＝a6 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、负整数指数幂 【分析】利用负整数指数幂计算即可判断A与B；利用幂的乘方性质可以判断选项C；利用同底数幂的乘法可以判断选项D． 【详解】A、（﹣3）﹣2＝＝，故此选项错误； B、（﹣3）﹣2＝，故此选项正确； C、（a12）2＝a24，故此选项错误； D、a2•a5＝a7，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了负整数指数幂的性质和同底数幂的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键. 4．将，，这三个数从小到大排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】根据0指数幂，负指数幂直接计算即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查0指数幂，负指数幂，解题的关键是熟练掌握，． 5．已知，则（  ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了非负数的性质以及负整数指数幂，根据非负数的性质求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ，， ，， ． 故选：C． 6．已知，，，都是正实数，且，其中，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法 【分析】作差，通分后利用同分母分式的减法法则计算，判断即可． 【详解】解：∵a、b、c、d都是正实数，， ∴ad＜bc，即bc-ad＞0， ∵B-C=- =， ∴B＞C， 故选A． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二、填空题 7．计算： ． 【答案】/0.5 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】，据此即可求解． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查零指数幂和负整指数幂的计算．熟记相关运算法则即可． 8．当 时，有意义． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】根据零指数幂的意义求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了零指数幂，掌握知识点是解题关键． 9．化简： ． 【答案】1 【知识点】同分母分式加减法 【分析】根据同分母分式的加法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了同分母分式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键． 10．计算：＝ · ÷ = · = ． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算、分式乘方 【分析】先算分式的乘方，再算乘除法即可求解． 【详解】解： 故答案为：；；；；； 【点睛】本题考查分式的乘方和乘除法运算．掌握相关运算法则是解题关键． 11． ． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】根据负整指数幂和零指数幂的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了零指数幂和负整指数幂的运算法则，正确化简各数是解题关键． 12．计算： ． 【答案】/ 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键，注意非零底数的零次幂结果为1． 13．计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： = = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 14．化简： ． 【答案】5 【知识点】同分母分式加减法 【分析】按照同分母分式的加法运算法则写成一个分式，再约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：5. 【点睛】本题考查了同分母分式的加法运算，属于基础知识的考查，比较简单． 15．计算＝ ． 【答案】6 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】先计算零指数幂与负整数指数幂，再计算乘法与加法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键，任何不等于0的数的0次幂都等于1是常考知识点，需重点掌握． 16．已知，则 ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法、分式的求值 【分析】由题意利用分式的运算法则对条件变形得出，进而整体代入结论即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，即， 则有， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握分式的运算以及结合整体思想进行分析是解题的关键． 17．若，，，，用“<”将a，b，c，d连接起来 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数大小比较，正确化简各数是解题的关键．首先利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，再利用有理数大小比较方法，进而得出答案． 【详解】解：，，，， 故用“<”号把a、b、c、d连接起来：． 故答案为． 18．计算 ； ； ； ． 【答案】 1 / 【知识点】零指数幂、幂的乘方运算、单项式乘多项式的应用、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，零指数幂，单项式乘以多项式，利用同底数幂乘法法则，零指数幂，单项式乘多项式法则，幂的乘方法则及同底数幂除法法则计算即可． 【详解】解：； ； ； 故答案为：；1；；． 三、解答题 19．福州市的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为的正方形去掉一块边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基他是边长为的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？ 【答案】“飘香2号”小麦的单位面积产量高，理由见解析 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】根据题意分别表示出飘香1号和2号的单位面积产量，比较即可． 【详解】解：“飘香1号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是； “飘香2号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是， ∵，即， ∴， ∴， 又由可得，， ∴， ∴“飘香2号”小麦的单位面积产量高． 【点睛】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键． 20．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 【答案】(1)两次共采购的件数为件 (2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍 【知识点】分式除法、分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式运算的实际应用： （1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可； （2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可． 【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为， 第二次采购该商品的件数为， 所以，两次共采购的件数为（件）． （2）， 第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍． 21．现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ 【答案】小李两次加油的平均单价更低 【知识点】异分母分式加减法、分式加减的实际应用 【分析】本题考查列代数式、分式的加减，正确列出代数式是解答的关键．先求解小李两次加油每次300元的平均单价，再求得小王两次加油30升的平均单价，然后作差比较大小即可得出结论． 【详解】解：根据题意，小李两次加油每次300元的平均单价为（元/升）， 小王两次加油30升的平均单价为（元/升）， ∴ ， ∵， ∴，则， 故小李两次加油的平均单价更低． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【知识点】分式化简求值 【分析】先计算分式的混合运算，再将字母的值代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，正确掌握分式混合运算法则是解题的关键． 23．有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为，乙筐水果的质量为（其中）．售完后，两筐水果都卖了150元． (1)哪筐水果卖的单价高？ (2)高的单价是低的单价的多少倍？ 【答案】(1)甲水果的单价卖得高； (2)高的单价是低的单价的倍． 【知识点】分式乘除混合运算、分式加减的实际应用 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）用甲框的单间减去乙框的单间，再进行整理即可得出答案； （2）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， 所以甲水果的单价卖得高； （2）根据题意得： ， 答：高的单价是低的单价的倍． 24．有，两箱水果，箱水果质量为，箱水果质量为（其中），售完后，两箱水果都卖了120元． (1)哪箱水果的单价要高些？ (2)两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？ 【答案】(1)箱水果的单价高些 (2) 【知识点】分式除法、分式加减的实际应用 【分析】本题考查了分式的减法的应用，分式的除法的应用，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． （1）根据单价总价数量，列出算式，计算即可得出答案； （2）根据题意列出算式，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴箱水果的单价高些； （2）解：由题意得：， ∴两箱水果中高的单价是低的单价的倍． 25．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)．并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】有理数四则混合运算、分式加减乘除混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据所给的等式的规律和形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式，再把式子的左边进行整理即可求证． 【详解】（1）由题意根据规律可得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）猜想：第n个等式为：， 证明：等式左边 右边， 故猜想成立，等式成立． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 26．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式：反之、称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； (1)下列分式中、属于真分式的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式； (3)当整数 时，分式的值为整数． 【答案】(1)②④ (2) (3)或 【知识点】分式化简求值、整式的判断 【分析】本题考查了整式的定义，分式的化简，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意将四个分式分别化简，可以化简成整式与真分式的和的形式，为假分式，反之为真分式． （2）现将分子中凑出分母，即，再化简即可． （3）由于，故当分式的值为整数时，为整数即可，然后分情况讨论，或即可求解． 【详解】（1）①∵，故其是假分式． ②，分子整式的次数是，分母整式的次数是． ③，故其是假分式． ④，分子整式的次数是，分母整式的次数是． 根据真分式的定义，属于真分式的是：②④． 故答案为：②④． （2）按照题意可得． （3）∵， ∴当分式的值为整数时，为整数， ∵为整数， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 27．阅读材料： 在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式，的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 解答问题： (1)现有大、小两艘轮船，小船每天运吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务． ①大船、小船完成运送任务所需天数分别为___________天，___________天（均用含的代数式表示）； ②通过计算说明哪艘轮船完成任务所用的时间少？ (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；；②小轮船完成任务所用的时间少 (2)见解析 【知识点】运用平方差公式进行运算、异分母分式加减法 【分析】（1）①根据大船比小船每天多运10吨货物，得出大船每天运吨货物，进而可得解答； ②通过作差法求解即可； （2）通过作差法求解之后，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）①∵小船每天运吨货物， ∴大船每天运吨货物， ∴大船完成运送任务所需天数为，小船完成运送任务所需天数为， 故答案为：；； ②根据题意得， ， ∵， ∴， ∴小轮船完成任务所用的时间少； （2） ， 当且时，更大，当时，更大，当时，无解． 【点睛】本题考查了作差法，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$