第23章 图形的相似 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第23章 图形的相似 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二十三章（图形的相似）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，分别是边，的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 8．两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是（    ） A． B．或 C．或 D．或 9．如图，在矩形中，过点作，垂足为，设，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为厘米，则，两地间的实际距离是 千米． 12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 13．已知，，则将点A向上平移 个单位可得到点B． 14．，P是的黄金分割点， ． 15．已知小颖身高，她的影子长度．若与此同时，小东的影子比小颖的影子长，则小东的身高是 ． 16．如图，，，则的长为 ． 17．如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为 ． 18．如图，点D是的斜边上一点， 且， ，以为斜边作等腰，使E，C在同侧， 连接，当取最小值时，的面积是 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 20．为了更好地开展岳池县农家生态文化旅游区规划工作，郑家村把游客中心，稻田酒店，东邻西舍，桃花岛，房车营地等5个景观分别用点A，B，C，D，E来表示，利用坐标确定了这5个景观的位置，并且设置了导航路线． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景观A，B的位置分别表示，； (2)在建立的平面直角坐标系中，直接写出景观C的坐标； (3)在坐标系中标出，的位置，连接，则与有怎样的位置关系？ 21．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 22．如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且． (1)求证：； (2)求与四边形的面积比． 23．在等腰三角形中，，，平分，于点，过点作交于点． (1)求的度数； (2)若是的中点，连接，求的长． 24．【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 25．（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 图形的相似 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二十三章（图形的相似）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．点关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，根据“关于y轴对称的点，横坐标相反，纵坐标不变”即可求解，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：B． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解，熟知比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故选：C． 3．已知a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义列出算式，求出解即可． 【详解】∵a，b，c，d是成比例的线段， ∴． ∵， ∴， 解得． 故选：D． 4．如图，在中，，分别是边，的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，分别是边，的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ A、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； B、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； C、当时，可通过“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意； D、当时，无法证明两个三角形相似，故符合题意； 故选：D ． 6．如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【详解】解：A．， ，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项不符合题意； C．， ，故本选项不符合题意； D．， ，故本选项符合题意； 故选：D． 7．已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 8．两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方． 根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意列出比例式，解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的面积比是， 两个相似三角形的相似比是， 两个相似三角形的周长比是， 令另外一个三角形周长为，分两种情况：或者， 解得或． 故选：． 9．如图，在矩形中，过点作，垂足为，设，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法．由矩形的性质得，则，所以，则，再证明，得，则，所以，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ， 整理得， 或（不符合题意舍去）， ， 故答案为：A． 10．如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设交于点，设，利用勾股定理求出（用表示），再利用相似三角形的性质求出（用表示），可得结论． 【详解】解：如图，设交于点，设， ， 可以假设，， 四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 由翻折的性质可知，，，，， 在中，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为厘米，则，两地间的实际距离是 千米． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的定义，设实际距离为千米，根据比例尺图上距离：实际距离计算即可得答案． 【详解】解：设实际距离为千米，厘米千米， ∵比例尺为，图上距离为， ∴， 解得：(千米)， 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是 故答案为： 13．已知，，则将点A向上平移 个单位可得到点B． 【答案】 【分析】本题考查了平移和坐标的知识；解题的关键是熟练掌握平移和坐标的性质，从而完成求解． 【详解】解：将点A向下平移个单位可得到点B． 即将点A向上平移个单位可得到点B． 故答案为：． 14．，P是的黄金分割点， ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．掌握黄金分割的定义是解题的关键．直接根据黄金分割的定义计算． 【详解】解：∵是线段的黄金分割点， ∴． 故答案为：． 15．已知小颖身高，她的影子长度．若与此同时，小东的影子比小颖的影子长，则小东的身高是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时物体的高度和影长成正比例是解答此题的关键． 设小东的身高为，根据三角形相似的性质得出同一时刻同一地点物体的高度和影长的比相等得出，求解即可． 【详解】解：设小东的身高为, 由题意得，， 解得：， 故答案为：． 16．如图，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，得到，进而得到，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：12． 17．如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、正方体展开图．由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，证明，得出，证明，得出，求出，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】如图： 由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，， ，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：16． 18．如图，点D是的斜边上一点， 且， ，以为斜边作等腰，使E，C在同侧， 连接，当取最小值时，的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，过点C作，使，连接，如图，则为等腰直角三角形，证明，则，得到，当取最小值时，最小，过点H作，由于垂线段最短，点D和点重合时，最小，得到，连接，过点作于点K，求出,证明是等腰直角三角形，得到的面积,即可得到答案． 【详解】解：过点C作，使，连接，如图，则为等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 当取最小值时，最小， 过点H作，由于垂线段最短，点D和点重合时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 连接，过点作于点K， ∴， ∴，， ∴, ∵是等腰直角三角形， ∴的面积, 即取最小值时，的面积是， 故答案为： 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可： （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 20．为了更好地开展岳池县农家生态文化旅游区规划工作，郑家村把游客中心，稻田酒店，东邻西舍，桃花岛，房车营地等5个景观分别用点A，B，C，D，E来表示，利用坐标确定了这5个景观的位置，并且设置了导航路线． (1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景观A，B的位置分别表示，； (2)在建立的平面直角坐标系中，直接写出景观C的坐标； (3)在坐标系中标出，的位置，连接，则与有怎样的位置关系？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际问题中的应用，正确的建立坐标系是解题关键． （1）根据，即可求解； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）连接，即可判断； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图可知：景观C的坐标为 （3）解：由图可知： 21．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）如图，为所作． （2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 22．如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且． (1)求证：； (2)求与四边形的面积比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ （2）解：∵，， ∴ ∴ 23．在等腰三角形中，，，平分，于点，过点作交于点． (1)求的度数； (2)若是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质可得，进而解答即可． （2）由角平分线的定义及平行线的性质可得，即可证明，再利用直角三角形的性质可证明，即可得是的中位线，进而可证明结论． 【详解】（1）解：平分， ， ∵， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ∵， ， ； （2）解：， ， ， 是的中点， 是的中位线， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的中位线等知识的综合运用． 24．【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 【答案】问题1：证明见解析；问题2： 【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得； 问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解． 【详解】问题1：由题可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同 问题2：由（1）可得      ∵ ∴ ∴ 答：②号“”的高度应为 25．（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系． （2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接． ①求的值； ②延长交于点，交于点．若，，求的长． 【答案】(1) ，理由见解析；(2)；(3)①；② 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）证明，进而得出结果； （3）①先证明，再证得，进而得出结果；②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵，设， ∴． ∴， ， ∴， ∴， ∴； ②由①得：，，，则 ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$