第11讲 分式及其性质（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第11讲 分式及其性质（2024）（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 知识点2．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 题型强化 题型一．分式的定义 1．（2023秋•青浦区校级期中）在代数式，，，，，中，分式的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2022秋•宝山区期末）下列各式中，属于分式的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•浦东新区校级期末）从整式、2、、中，任选两个构造一个分式 　　． 题型二．分式的基本性质 4．（2023秋•宝山区期末）如果将分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值　　 A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 5．（2023秋•宝山区期末）对于分式，如果，那么的取值范围是 　　． 6．（闵行区校级月考）（1）完成填空 （2）从上面的两个等式中找规律，若．则必然成立． 题型三、分式的判断 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）在代数式，，，，，中，分式的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）在下列式子：﹣5x，，a2﹣b2，，中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四、最简分式、约分 9．（23-24七年级上·上海青浦·期末）下列代数式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 分层练习 一、单选题 1．下列式子中，是分式的是（   ） A． B．2 C． D．t 2．下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，分式的个数有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 4．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若分式值为0，则x的值为（    ） A． B．1 C． D．0 6．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D．＝﹣1 二、填空题 7．约分： ． 8．若分式的值为零，则 ． 9．若分式有意义，则x满足的条件是 ． 10．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 11．分式的值恒为正，则x的取值范围是 ． 12．当的值为 时，分式的值为0． 13．已知，且，则的值是 ． 14．已知，则分式的值为 ． 15．分式与的最简公分母是 ． 16．当 时，分式有意义． 17．下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有 个． 18．在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简： ． 三、解答题 19．运输一批物资，原计划每天运，n天运完．实际每天比原计划多运，则实际运输了多少天？ 20．要配制一种盐水，将盐完全溶解于水后仍然达不到所需的含盐量，又加入盐完全溶解后才符合要求，请问：要配制的盐水的含盐量是多少？ 21．某村种植了玉米，总产量为；水稻的种植面积比玉米的种植面积多，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位：）的式子． 22．用水清洗蔬菜上残留的农药，设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．现有单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后分两次清洗．试问哪种方法清洗后，蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由． 23．今年某厂的生产总值逐月增长，每月的增长率都为p．求今年3月该厂的生产总值与1、2月份这两个月生产总值之和的比．当时，这个比值是多少？ 24．一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐率变为；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐率变为；第三次加入同样多的水，盐水的含盐率将变为百分之几？ 25．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 26．“探究比例的性质” 【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项． 【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力： 【理论支撑】等式的性质，分式的运算． 【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明? （1）已知：．求证：． 【证明】， 等式两边同乘得，． （2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗?你能得出几种式子? 除了外还有 ①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则． ②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，． （3）除了上述结论还有哪些结论? ③合比性质：已知：．求证：． 【证明】设，则，， ，， ． 请用上面的证明方法证明下面三个结论： ①分比性质：． ②和分比性质：． ③等比性质：若， 则． 实践应用 已知，则___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 分式及其性质（2024）（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 知识点2．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 题型强化 题型一．分式的定义 1．（2023秋•青浦区校级期中）在代数式，，，，，中，分式的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式的定义即可得． 【解答】解：代数式，，都是整式， 代数式，，的分母中都含有字母，都是分式，共有3个， 故选：． 【点评】本题考查了分式的定义，“如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式”，熟记分式的定义是解题关键． 2．（2022秋•宝山区期末）下列各式中，属于分式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【解答】解：．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意； ．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意； ．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意； ．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，分母中含有字母的代数式，叫分式． 3．（2023秋•浦东新区校级期末）从整式、2、、中，任选两个构造一个分式 　（答案不唯一）　． 【分析】根据分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式 【解答】解：2和可构造分式． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数． 题型二．分式的基本性质 4．（2023秋•宝山区期末）如果将分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值　　 A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 【分析】利用分式的性质计算即可． 【解答】解：由题意可得， 即将原分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：． 【点评】本题考查分式的基本性质，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 5．（2023秋•宝山区期末）对于分式，如果，那么的取值范围是 　　． 【分析】将代入原分式后根据分式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：， ， 则， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 6．（2019秋•闵行区校级月考）（1）完成填空 （2）从上面的两个等式中找规律，若．则必然成立． 【分析】（1）根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数除外），分数的大小不变，据此逐个空填上即可． （2）由（1）中数字的规律，结合分式的基本性质，可得答案． 【解答】解：（1）完成填空 故答案为：2，3，4，5；8，12，16，28，35． （2）从上面的两个等式中找规律，若．则必然成立． 故答案为：，． 【点评】本题考查了分数的基本性质和分式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 题型三、分式的判断 7．（23-24七年级上·上海青浦·期中）在代数式，，，，，中，分式的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式“如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式”，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义即可得． 【详解】解：代数式，，都是整式， 代数式，，的分母中都含有字母，都是分式，共有3个， 故选：C． 8．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）在下列式子：﹣5x，，a2﹣b2，，中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】根据分式的定义，逐个分析判断即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键． 题型四、最简分式、约分 9．（23-24七年级上·上海青浦·期末）下列代数式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题主要考查最简分式，熟练掌握分式的性质是解题的关键；因此此题可根据分式的性质进行求解． 【详解】解：A、，所以不是最简分式，故不符合题意； B、是最简分式，故符合题意； C、，所以不是最简分式，故不符合题意； D、，所以不是最简分式，故不符合题意； 故选B． 10．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【知识点】约分、最简分式 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 分层练习 一、单选题 1．下列式子中，是分式的是（   ） A． B．2 C． D．t 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 【详解】解：，2，t都不是分式，只有是分式， 故选C． 2．下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：A．是整式，故此选项不符合题意； B．是整式，故此选项不符合题意； C．是整式，故此选项不符合题意； D．是分式，故此选项符合题意． 故选：D． 3．在中，分式的个数有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】根据分式的定义，即分母中含有字母，逐一判断即可作答． 【详解】中，分式有， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x-1≠0，解得x的范围． 【详解】根据题意得：x-1≠0， 解得：x≠1， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0． 5．若分式值为0，则x的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件 【分析】分式的值为零，即分子为零，且分母不为零． 【详解】解：分式值为0，则 ，且 即， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的值为零，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 6．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D．＝﹣1 【答案】D 【知识点】约分、判断分式变形是否正确 【分析】约去公因式a3可对A进行判断；利用最简分式的定义可对B、C进行判断；约去公因式（x+y）可对D进行判断． 【详解】解：A、原式＝a3，所以A选项不符合题意； B、为最简分式，所以B选项不符合题意； C、为最简分式，所以C选项不符合题意； D、原式＝＝﹣1，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 二、填空题 7．约分： ． 【答案】/ 【知识点】约分 【分析】先找出分式的分子和分母的公因式，再根据分式的基本性质进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了约分，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键． 8．若分式的值为零，则 ． 【答案】-5 【知识点】分式值为零的条件 【分析】根据分式为0时分子为0且分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：且， ∴， 故答案为：-5． 【点睛】本题考查了分式为0的条件：分子为0且分母不为0． 9．若分式有意义，则x满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：x+1≠0， ∴x≠-1． 故答案是：x≠-1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 10．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．分式的值恒为正，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式的求值 【分析】根据分式的值恒为正，可得，，求解即可． 【详解】解：∵分式的值恒为正， ∴，， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是正确列出不等式，本题属于基础题型． 12．当的值为 时，分式的值为0． 【答案】－4 【知识点】分式值为零的条件 【分析】根据分式值为零的条件可得x+4＝0，且x≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x+4＝0，且x≠0， 解得：x＝﹣4， 故答案为：x＝﹣4． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 13．已知，且，则的值是 ． 【答案】8 【知识点】分式的求值 【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解∶，且， ， ． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．已知，则分式的值为 ． 【答案】/0.6 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的求值，由得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【详解】解：分式与分母分别是，，所以最简公分母， 故答案为：． 16．当 时，分式有意义． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据，计算即可，本题考查了分式有意义条件，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：分式有意义． 故， 解得， 故答案为：． 17．下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有 个． 【答案】2 【知识点】分式的判断 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：（1﹣x），，，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式． +x，，分母中含有字母，因此是分式． 分式有两个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以，不是分式，是整式． 18．在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】约分 【分析】在这几个式子中任意选一个作分母，任意另选一个作分子，就可以组成分式．因而可以写出的分式有很多个，把分式的分子分母分别分解因式，然后进行约分即可． 【详解】解：. 故填：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式的化简，掌握最简分式的定义及分式化简的方法是解题的关键． 三、解答题 19．运输一批物资，原计划每天运，n天运完．实际每天比原计划多运，则实际运输了多少天？ 【答案】天 【知识点】按要求构造分式 【分析】此题考查了列分式，首先求出物资总量，然后除以每天运送的吨数即可求解． 【详解】∵运输一批物资，原计划每天运，n天运完 ∴物资总量为， ∵实际每天比原计划多运， ∴实际每天运送， ∴实际运输了天． 20．要配制一种盐水，将盐完全溶解于水后仍然达不到所需的含盐量，又加入盐完全溶解后才符合要求，请问：要配制的盐水的含盐量是多少？ 【答案】 【知识点】按要求构造分式 【分析】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出代数式． 根据有m克盐完全溶解于n克水后，又加入5克盐，得出总盐有克，盐水有克，即可得出答案． 【详解】解：∵将盐完全溶解于水后仍然达不到所需的含盐量，又加入盐完全溶解后才符合要求 ∴要配制的盐水的含盐量是． 21．某村种植了玉米，总产量为；水稻的种植面积比玉米的种植面积多，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位：）的式子． 【答案】， 【知识点】按要求构造分式 【分析】利用总产量除以总面积得单位面积产量可分别用分式表示出玉米和水稻的单位面积产量． 【详解】解：由题意得，玉米和水稻的单位面积产量分别为：，水稻：． 【点睛】本题考查了列代数式（分式）：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 22．用水清洗蔬菜上残留的农药，设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．现有单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后分两次清洗．试问哪种方法清洗后，蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由． 【答案】第二种 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题主要考查了分式的应用，解题的关键是根据题意列出算式．先根据题意列出两种情况下农药残留量，然后比较大小即可． 【详解】解：设最先的农药量为1，第一种方案残留的农药量为， 第二种方案残留的农药量为， ∵， ∴， 第二种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少． 23．今年某厂的生产总值逐月增长，每月的增长率都为p．求今年3月该厂的生产总值与1、2月份这两个月生产总值之和的比．当时，这个比值是多少？ 【答案】 【知识点】按要求构造分式、分式的求值 【分析】本题考查的是增长率的含义，分式的求值，先设1月份的生产总值为α，则2月份的生产总值为a(1＋p)， 3月份的生产总值为 ，再进一步的列式计算即可． 【详解】解：设1月份的生产总值为α，则2月份的生产总值为a(1＋p)， 3月份的生产总值为 ， 故今年3月份该厂的生产总值与1，2月份这两个月生产总值之和的比为 ． 当 时， ； 24．一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐率变为；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐率变为；第三次加入同样多的水，盐水的含盐率将变为百分之几？ 【答案】 【知识点】用代数式表示式、约分 【分析】本题考查列代数式，分式的除法等知识，根据题意设出未知数并列式是解题的关键．设第一次加水后盐水的质量为，则盐的质量是，再根据“第二次又加入同样多的水，盐水的含盐率变为”求出每次加水的质量，从而得解． 【详解】设第一次加水后盐水的质量为，则盐的质量是， 第二次加水后的盐的质量不变， ∴第二次加水后盐水的质量为：， ∴每次加水的质量为：， ∴第三次加水后，盐水的含盐率为：， 答：盐水的含盐率将变为． 25．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． （1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【详解】（1）解：观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． 即：． 故答案为：． （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子为：． 证明：∵左边， 右边， ∴左边边右边． ∴等式成立． 故答案为：． 26．“探究比例的性质” 【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项． 【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力： 【理论支撑】等式的性质，分式的运算． 【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明? （1）已知：．求证：． 【证明】， 等式两边同乘得，． （2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗?你能得出几种式子? 除了外还有 ①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则． ②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，． （3）除了上述结论还有哪些结论? ③合比性质：已知：．求证：． 【证明】设，则，， ，， ． 请用上面的证明方法证明下面三个结论： ①分比性质：． ②和分比性质：． ③等比性质：若， 则． 实践应用 已知，则___________． 【答案】（3）见解析；【实践应用】 【知识点】约分、判断分式变形是否正确 【分析】根据等式的性质及材料提供的方法即可． 【详解】（3）④设，则，， ，， ． ⑤设，则，， ，，． （6）设， 则，，…，， ， ． 【实践应用】解：， 设， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质，分式的运算，熟练运用等式的性质是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$