浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷

浙江强基联盟2024年10月高三联考 数学卷参考答案与评分标准 1.C 因为A-xl-1 x5),所以AOB=0,2,4.故选C 2.A 因为 (1-i)=(-1-i(1-i)-(-i)-1=-2.故选A. 3.C 因为 a+b = a-b,等价于4a·b-0,即等价于a |b.故选C 1-2sin{一1-2()}-.故选A. 5.B 因为T-C()(2)'-c$2^-15×16-240.故选B. ###### cos({+)和ytanx的图象均关于(,o)中心对称且在 (.2)上有两个交点,故函数f(x)在区间(一x,2i)上有4个零点,所以四个零点的和为2n.故选B. 7 , 所以不等式成立.故选D 故选ABC. 10.AB只要直线AC和直线B,D.不平行(也不重合),则过空间中一点都是有且仅有一条直线与它们垂直 故A正确;只要直线AC和直线B.D.异面,且直线AC与平面MB.D.不平行,直线BD 与平面MAC也 不平行,都有过点M有且仅有一条直线与直线AC,B.D.都相交,故B正确;因为AC一BD,又因为M到 AC1平面MB.D,所以对任意M恒有平面MAC1平面MB;D,故D错误.故选AB 11.ACD对于x十一y一x,将x,y替换为一x,一y,所得等式与原来等价,故A正确; 取x-0,可以求得y=0,y-1,y=-1均可,故B错误;由x。+=-, x[-1,1],易知函数-在[-1],[] 上单调递减,在 #()# ,所以有|.xol<,故C正确;当yo[o,1]时,x。+x。{-y一 w30,又xo+xo3>2ro{},-3%3<2y-2y*,所以xo<y-y.曲线-y-} 【数学卷参考答案 第1页(共4页)】 与y轴围成半圆,又曲线C的图象关于原点对称,则曲线C与y轴围成图形的面积小于,故D正确.故 选ACD. 13.2 切线/为y-ex,则它与曲线y-a+lnx的切点为(,1),即a-1-1,所以a-2. [4x-3x. [4.x-3<. 解得x(-,-2)U(1,十). 2ab .'sin(C-B)=cos A.' sin(2-B)-cos(-B)=sin(B+).$$ (2)'BC边上的高h=bsinC=csinB.*'b-2.c=/. ......................................分 1bsinA-3-3 2: 4 ._...: 16.解:(1)由离心率e=6得$- 5a,直线AB:y=15x-10, ..................................分 代入双曲线方程5xr*--5^{,得-2r{+2v6x-2-^{}-0. 由题意,△-24-8(2+a^*)-0→a?-1. 所以双曲线C的方程:x- -1. ......................................................分 5 10分 又F:F."... T'.F...,'..F..F.'T.△'T.F.,.故 .'TF.. T'.F................. 15分 17.(1)证明:如图分别取AD与PB中点O.N.连接PO.OB.ON,MN. 易知,为.. ..,....B,四..形OD.N.是..行四......................3分. :.AD 平面POB.:ONC平面POB...AD ON.:DM//ON. ..AD1DM. (2)解:由(1)知 POB为二面角P-AD-B的平面角,即 POB=60{*,以 .2 O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图. 设AB-2,则A(1,0,0),D(-1,0,0),C(-2./3,0),B(o.③,0) P#o), -一-) ) 0)09 A-(-1.v3.0),PB-(0.^,-),假设平面PAB的一个法向量为 n一(x,yz). 【数学卷参考答案 第2页(共4页)】 1-x十③-0. 则 进而求得个法向量为n.(............................................................ 12分 13y-3-0. 设直线DM与平面PAB所成角为a. 1Dm.nl 093 213 则sina-- ...................................................................... ## DM|nl 15分 13. 18.解:(1)因为a=2,所以f(x)=(x-2)e,求导得f(x)=(x-1)e. 所以函数/(x)的单调递减区间为(一,1),单调递增区间为(1,十), 最小值为/(1)一一e,无最大值. ...................................................................................分 (2)易知/()-(x-a+1)e,所以/(-1)--,又/(-1)-1+a e 所以g(x)--(c十1)- e 令u(r)=/(x)-g(c)=(x-a)e+1+2a, e 则a'(x)=(x-a+1)e+,'(x)=(x-a+2)e,这里'(x)表示a(x)的导函数. 当:变化时,”(x)与u'(x)的变化情况如下表 。 (-.a-2) a-2 (a-2.十。o) _() 0. 士 () 单调递减 -_一?___ 单调递增 。 所以当x-a-2时,函数u'(c)有极小值,极小值为--2十,也是最小值, 因为当x→-co时,u(x)无限趋向于“<0,所以当x<a-2时,(x)<0. 又a'(-1)-0,此时,u(x)在(一,一1)上单调递减,在(-1,+)上单调递增 所以u(x)>u(一1)=0,即不等式g(x)</(x)恒成立. ............................................ 11分 (3)因为函数n(x)=(r-1)e-(r*-x)在(,2)上有两个极值点, 所以/(c)在(,2)上有两个变号零点, aret (xe)2 r2e 所以函数H()在(.,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,....13分 -H) 图象, ............................................................... 设两个交点的横坐标分别为.x。,且&x, 15分 【数学卷参考答案 第3页(共4页)】 所以函数h(x)在(,xi)上单调递增,在(xi,xo)上单调递减,在(x。,2)上单调递增, 此时,函数/(x)有两个极值点,合乎题意. 19.解;(1)数列a.;1,3,5,7,9的“左右1型间隔数列”为1,2,4,6,9或1,2,4.8,9或1,2,6,8,9或 (2)由b+b十..+b。=c十c十..十co,可得b+b十.+b=c+c十..十c。 即a+a十..+as+8k=a+a+...+ao-8k,即a+a+l6k-a。+ao. 即16168×9×88x10×9.所以-80...................................................................... 10分 (3)当ie.,...,n-1时,由.-..-4.-4,可知.-(ann-3.......... 13分 又因为对任意i,j(2,3,..,n-1),都有a十b字十aj, 即当i/2,3,..,n-1时,b-a两两不相等. 因为a.-a十(a-a)十(a-a)十..十(a-a-) -7+(4+b-a)+(4十b-a)十.十(4+b,-a) -7+4(n-2)十(b-a)十(b-a)十..十(b,-a-) >4n-1十(-3)十(-2)+(-1)+.十(n-6) _(n-3)8. 2 . i-1. 另外,当数列(a。)的通项a一 {ii-3)8,2<i<n 2 -1或i-n. 间隔数列(b的通项6一 i(i-1)3,2<n-1, 时也符合题意. ................................................................. ..分 【数学卷参考答案 第4页(共4页)】浙江强基联盟2024年10月高三联考 数学 试题 浙江强基联盟研究院命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 中 题区域内作答超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 如 合题目要求的 1.已知集合A={xx°-4x-5<0},集合B=(-2,0,2,4,10},则A∩B= A.{-2,0,2,4 B.{-2,10 C.{0,2,4} D.{2,4} 2.已知=一1一i,则x(1一i)= 都 A.-2 B.1 C.2 D.2 3.已知非零向量a,b,则“a十b=|a一b”是“向量a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若过点(2√5,0)与圆x十3y=4相切的两条直线的夹角为a,则cosa A号 B. 号 5.二项式(+) 的展开式中的常数项为 A.480 B.240 C.120 D.15 【数学第1页（共4页）】 6.已知底面半径为2的圆锥SO,其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则 此圆柱侧面积与圆锥SO侧面积的比值为 A.1 B③ 2 c. 7.函数fx)=sin一c0sxc0s(受+圣)在区间（一，2x)上的所有零点之和为 A.π B.2π C.3π D.4 8.已知函数f(x)的定义域为[0,1]，当x=0或x=1或x是无理数时，f(x)=0:当x=”(m< m,m,n是互质的正整数)时，f(x)=.那么当a,b,a十b,ab都属于[0,1门时，下列选项恒成 立的是 A.f(a+b)≤f(a)+f(b) B.f(a+b)≥f(a)·f(b) C.f(ab)≥f(a)+f(b) D.f(ab)≥f(a)·f(b) 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布，且XN(2,1),Y一B(4,0.5),则 A.P(X≤0)=P(X≥4) B.P(Y≤0)=P(Y>≥4) C.E(X)=E(Y) D.P(X≤2)=P(Y≤2) 10.在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，AB=2AA,点M是棱DD,上的动点（不含端点），则 A.过点M有且仅有一条直线与直线AC,B,D都垂直 B.过点M有且仅有一条直线与直线AC,B,D,都相交 C.有且仅有一个点M满足△MAC和△MB,D的面积相等 D.有且仅有一个点M满足平面MAC⊥平面MB,D, 11.已知P(xo,yo)是曲线C:x十y3=y一x上的一点，则下列选项中正确的是 A,曲线C的图象关于原点对称 B.对任意x。∈R,直线x=x与曲线C有唯一交点P C对任意。∈[-1,1门，恒有x,<司 D.曲线C在一1≤y≤1的部分与y轴围成图形的面积小于开 【数学第2页（共4页）】 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知椭圆行+苦=1的左、右焦点分别为F,F,椭圆上一点P满足PF,⊥FF,则线段 3 PF:= 13.已知曲线y=e在x=1处的切线l恰好与曲线y=a十lnx相切，则实数a的值 为 14.数学老师在黑板上写上一个实数x。,然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就 将黑板上的数x乘以一2再加上3得到x1,并将x。擦掉后将x1写在黑板上：如果反面向 上，就将黑板上的数x除以一2再减去3得到x1,也将x。擦掉后将x1写在黑板上.然后老 师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为x2.现已知x2>x。的概率为0.5，则 实数x。的取值范围是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c2=a十b2十ab,sin(C-B)=cosA. (1)求角C和角B. (2)若边BC上的高为w3,求△ABC的面积. 16.(15分) 已知双曲线C号-若=1a>0,6>0)与过点A停0小，B0,-)的直线有且只有-个 公共点T,且双曲线C的离心率e=√6. (1)求直线AB和双曲线C的方程： (2)设F1,F:为双曲线C的左、右焦点，M为线段AF:的中点，求证：∠MTF=∠TFA. 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面PAD是正三角形，M 是棱PC的中点. (1)证明：AD⊥DM: (2)若二面角P-AD-B为60°，求直线DM与平面PAB所成角 的正弦值. 【数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知函数f(x)=(x-a)e. (1)若a=2,求函数f(x)的单调区间和最值： (2)若a≤0，且一次函数y=g(x)的图象和曲线y=f(x)相切于x=一1处，求函数g(x)的 解析式并证明：g(x)≤f(x)恒成立. (3)若a=1,且函数h(x)=f(x)-(x-)在x∈(22)上有两个极值点，求实数1的取值 范围 19.(17分) 已知整数n≥4，数列{an}是递增的整数数列，即a1,a,…,a.∈Z且a1<a2<…<am.数列 {bn)满足b1=a1,bn=a.若对于i∈(2,3，…，n一1}，恒有b,一a-1等于同一个常数k,则称数 列{b.}为{a}的“左k型间隔数列”：若对于i∈{2,3，…，n一1}，恒有a+1一b:等于同一个常 :长 数k,则称数列{b}为{an)的“右k型间隔数列”：若对于i∈{2,3，…，n一1}，恒有a+1一b,=k 或者b,一a-1=k,则称数列(b}为{a}的“左右k型间隔数列” (1)写出数列{an}:1,3,5,7,9的所有递增的“左右1型间隔数列”； (2)已知数列{a.}满足a.=8n(n一1)，数列{b.}是{aw}的“左k型间隔数列”，数列{c.}是{a.} 的“右k型间隔数列”，若n=10,且有b,十b2十…十bn=c1十c2十…十cw,求k的值： (3)数列{am}是递增的整数数列，且a1=0,a=7.若存在{a.}的一个递增的“右4型间隔数 列{bn}”,使得对于任意的i,j∈{2,3，…，n一1}，都有a:十b,≠b,十a,,求a.的关于n的最 小值（即关于n的最小值函数f()). 【数学第4页（共4页）】