第14章 勾股定理（12类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第14章 勾股定理（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 知识点02 勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　，所以． 知识点03 勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 特别说明：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3）（是自然数）是直角三角形的三条边长； 知识点04 勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 知识点05 如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点06 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题 立体图形表面的最短路线的一般解题步骤： 知识点07 反证法 反证法，就是首先假定所要证明的命题不成立，然后再在这个假定下进行 逻辑推理，直至得出矛盾的结论，由此推翻假定，从而得出所要证明的结论是正确的，应用 反证法有如下三个步骤： （1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面； （2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可 以与正常生活中的事实相矛盾，等等； （3）结论——肯定原命题正确. ( 03 题型归纳 ) 题型一　勾股定理的证明方法 例题：（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 巩固训练 1．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）已知：如图，直角三角形中，，，，．请你用两种方法证明． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：． 题型二　以弦图为背景的计算题 例题：（2024八年级上·浙江·专题练习）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则_______． 巩固训练 1．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 2．（22-23八年级下·浙江嘉兴·开学考试）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积________ 题型三　勾股数问题 例题：（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整：①______，8，10；②9，______，15；③9，40，______． (2)小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，，请你帮小明证明这三个数，，是勾股数组． (3)如果28，96，100是满足上述小明发现的规律的勾股数组，则______． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．2，5，6 D．9，40，41 2．（2024七年级上·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组：___________． 题型四　以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图1，图案1是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：______． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． (3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，，则（    ） A． B．25 C．30 D．35 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（    ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．（22-23八年级下·河南漯河·期中）勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程： (1)填空： ①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______． ②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______． (2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果） 题型五　用勾股定理解三角形 例题：（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，、、的边分别为、、， (1)若，，求，的值． (2)若，，求的值． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线l上有三个正方形a，b，c．若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（    ） A．6 B．16 C．4 D．55 2．（13-14八年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（    ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在△ABC中，于点D，，求的长． 题型六　用勾股定理求线段的平方和差 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 巩固训练 1．（21-22八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_______． 2．（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，△ABC和都是等腰直角三角形，，，△ABC的顶点A在的斜边上，则的值为_______．    3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是______． 题型七　勾股定理与折叠问题 例题：（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将△ADE沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长等于（　　 ） A．2 B． C． D．3 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（     ） A．7 B． C． D．15 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知长方形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型八　勾股定理与网格问题 例题：（22-23八年级下·云南昆明·阶段练习）如图，每个小正方形边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上． (1)求△ABC的周长； (2)求△ABC的面积． 巩固训练 1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图， △ABC的顶点 A，B，C 在边长为1 的正方形网格的格点上， 于点 D，求 BD 的长 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1、图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 【操作发现】小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积． （1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长的平方分别是 _________，_________，___________，△ABC的面积为_________； 【解决问题】 （2）已知在△ABC中， ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出 △ABC，并直接写出△ABC的面积． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． (1)如图1所示， ①在边长为1的方格纸中，线段的长度为______； ②在图（1）找到一点C，使得△ABC的两条边长分别为，，则三角形的面积为______． (2)我们将（1）中的构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积（用含a、b的代数式表示）． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式的最小值． 题型九　勾股定理的逆定理 例题：（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）若a，b，c为△ABC的三条边，且满足，则△ABC是________三角形． 巩固训练 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）下列数据中，可作为边长构成直角三角形的是（    ） A．9、16、25 B． C．0.3、0.4、0.5 D．6、6、6 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）满足下列条件的△ABC一定能构成直角三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）一块钢板形状如图所示，若，，，，，则这块钢板的面积为________． 题型十　勾股定理的实际应用 例题：（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为_______s． 题型十一　勾股定理的逆定理的应用 例题：（22-23八年级·山东枣庄·阶段练习）如图所示的一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 巩固训练 1．（22-23八年级下·重庆长寿·期中）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 2．（21-22八年级下·全国·单元测试）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．下图是他们搭建帐篷的支架示意图．在△ABC中，支架从帐篷顶点A支撑在水平的支架上，且于点D．经测量得知：按照要求，帐篷支架与所夹的角度需为直角．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 题型十二　反证法 例题：（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序____________． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设（   ） A．没有一个角是钝角或直角 B．至多有一个钝角或直角 C．没有一个角是锐角 D．没有一个角是钝角 2．（23-24八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设______________． 3．（20-21九年级·江苏南京·自主招生）求证：对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有且只有一个数是p的整数倍． ( 18 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 勾股定理（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 特别说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 知识点02 勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　，所以． 知识点03 勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 特别说明：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3）（是自然数）是直角三角形的三条边长； 知识点04 勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 特别说明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 知识点05 如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 特别说明：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点06 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题 立体图形表面的最短路线的一般解题步骤： 知识点07 反证法 反证法，就是首先假定所要证明的命题不成立，然后再在这个假定下进行 逻辑推理，直至得出矛盾的结论，由此推翻假定，从而得出所要证明的结论是正确的，应用 反证法有如下三个步骤： （1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面； （2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可 以与正常生活中的事实相矛盾，等等； （3）结论——肯定原命题正确. ( 03 题型归纳 ) 题型一　勾股定理的证明方法 例题：（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)，；(2)，，证明见解析 【分析】本题考查了图形的面积计算以及勾股定理的证明 （1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可； 熟知数形结合思想的运用是关键 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； ， ， 故答案为：90，； （2）方法一∶ 方法二： 根据上面的方法可得出 巩固训练 1．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）已知：如图，直角三角形中，，，，．请你用两种方法证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的证明方法有很多种，熟练掌握应用面积法证明勾股定理的方法是解题的关键．解法一构造正方形求解；解法二构造直角梯形求解． 【详解】解法一：如图，， ， ； 解法二：如图，， ． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，连接， 首先说明再用两种方法表示出四边形的面积，化简即可，运用两种方法表示四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵两个三角形全等， ∴四边形的面积为： ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据四边形面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴即． 题型二　以弦图为背景的计算题 例题：（2024八年级上·浙江·专题练习）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则_______． 【答案】108 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，则，，，先证明，再证明，即可得到答案． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b，且， 由题意可知：，，， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴ ，故答案为：108． 巩固训练 1．（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可． 【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积， ∴， ∴，故选：B． 2．（22-23八年级下·浙江嘉兴·开学考试）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了以“赵爽弦图”为背景的勾股定理的运用，正方形面积的计算，根据设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边长为c，由此可得，小正方形的边长为，，由此可求出，图形结合，及正方形面积的计算方法，含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，故②正确； 当时，，即， ∴，故③正确； 当点是的中点时，，即， ∴，即， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，故选：D ． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积________ 【答案】21 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为．故答案为：21 题型三　勾股数问题 例题：（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整：①______，8，10；②9，______，15；③9，40，______． (2)小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，，请你帮小明证明这三个数，，是勾股数组． (3)如果28，96，100是满足上述小明发现的规律的勾股数组，则______． 【答案】(1)6，12，41；(2)见详解；(3)7 【分析】本题考查勾股数的定义，以及整式的运算，完全平方公式，理解题意，准确结合材料定义进行分析是解题关键． （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可； （3）先对原三个数约去公因数化简，然后拆分化简后的偶数，根据化简后剩余的两个数依次确定出m，n的值即可求解． 【详解】（1）解：①设空缺的数为x， 则有三种情况：，，， 解得：，， ∵x要为正整数， ∴仅有满足题意， 同理，对于②③，可求得空缺的数为：12，41， 故答案为：6，12，41； （2）证明：， ， ， 显然，， 即：， ∴，，是勾股数组； （3）解：28，96，100约去公因数4，得到7，24，25， 其中，， ∵，， ∴，， ∴，故答案为：7． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．2，5，6 D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．想要判定是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成勾股数，故该选项不符合题意； B、，不能构成勾股数，故该选项不符合题意； C、，不能构成勾股数，故该选项不符合题意； D、，能构成勾股数，故该选项符合题意． 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理求勾股数是解题的关键． 由题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵为正整数， ∴为偶数， 设其股是，则弦为， 由勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：A． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组：___________． 【答案】 【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键． 根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为， 故答案为：． 题型四　以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图1，图案1是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：______． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． (3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 【答案】(1)；(2)120；(3)6 【分析】本题考查勾股定理，以直角三角形的三边构成的图形的面积问题： （1）利用圆的面积公式，结合勾股定理进行求解即可； （2）根据周长公式和勾股定理求出的长，分割法求出面积即可； （3）利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴； （2）解：设：，由题意，得：， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴飞镖状图案的面积为； （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：， ∴ ， ∴， ∴． 巩固训练 1．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作直角三角形，且，，，这三个直角三角形的面积分别为，且，，则（    ） A． B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．根据为直角三角形且，可得到，同理可得到及，在中，由勾股定理得出：，继而可得，代入计算即可． 【详解】解：∵为直角三角形，且， ∴在中，有， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图的形状，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（    ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，图形类变化规律，根据勾股定理得出规律经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得： “生长”次，“生长”出的两个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”次，“生长”出的四个正方形面积和等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； …， 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是， ∴“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为， 故选：B． 3．（22-23八年级下·河南漯河·期中）勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对（）进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程： (1)填空： ①如图1，将放置在边长都为1的正方形网格中，则之间的关系是______． ②如图2，假设以的三边向形外作等边三角形为：，若，则之间的关系是_______． (2)如图3，以的三边为直径向形外作半圆，若，那么你在（1）中所发现的之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)如图4，以的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为8，则______．（直接填写出结果） 【答案】(1)①；②；(2)还成立，理由见解析；(3)8 【分析】（1）①根据正方形的面积公式、勾股定理，理由网格计算，得到答案； ②由勾股定理和等边三角形的面积公式可求解； （2）由勾股定理和半圆的面积公式可求解； （3）由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：①，理由如下： 由网格可知：，，， 、、之间的关系是， 故答案为：； ②，理由如下： ，，，， ； 故答案为：； （2）解：还成立，理由如下： ，，，， ； ； （3）解：图中阴影部分的面积，， ． 故答案为：8． 【点评】此题是三角形综合题，考查了勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理找到面积的数量关系是解题的关键． 题型五　用勾股定理解三角形 例题：（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，、、的边分别为、、， (1)若，，求，的值． (2)若，，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． （1）设，则，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论． （2）根据勾股定理可得a，b，c的数量关系，再把已知条件代入即可求出a的值． 【详解】（1）解：中，，、、的对边分别为、、，且， 设，则． ，即， 解得， ，； （2）解：中，，、、的对边分别为、、， ， ， ∴， ∵， ， 解得：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线l上有三个正方形a，b，c．若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（    ） A．6 B．16 C．4 D．55 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理可得出，进而计算即可． 【详解】解：有三个正方形a，b，c， ，， ， ， ，， ， ，， 在中，勾股定理得：， ． ∴ 故选A． 2．（13-14八年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（    ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，正确分两种情况讨论是解题关键． 分两种情况：①边长为4的边是直角边，②边长为4的边是斜边，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：①当边长为4的边是直角边时，第三边长的平方是， ②当边长为4的边是斜边时，第三边长的平方是， 综上，第三边长的平方是25或7，故选：D． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在△ABC中，于点D，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理和线段的和差，首先根据勾股定理求出长，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：∵于点D， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型六　用勾股定理求线段的平方和差 例题：（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析；(2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 巩固训练 1．（21-22八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_______． 【答案】69 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2， CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2， MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）， ＝132−102＝69． 故答案为：69． 【点评】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2． 2．（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，△ABC和都是等腰直角三角形，，，△ABC的顶点A在的斜边上，则的值为_______．    【答案】8 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故；故答案为： 【点评】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是______． 【答案】2 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴．故答案是∶2． 题型七　勾股定理与折叠问题 例题：（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将△ADE沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质及用勾股定理解三角形，熟练掌握长方形的性质折叠的性质及勾股定理是解题关键． 根据长方形的性质得到，，由折叠性质得到，，然后利用股股定理，得到，设，则，再根据勾股定理得，列出关于的方程，求解即可得出答案． 【详解】解：四边形为长方形，，， 将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处， ，， 在中，， ， 设，则，， 在中，， 即，解得：，即的长为，故选：C 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长等于（　　 ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，在中，根据勾股定理先求出的值，设，由折叠得，在中，利用勾股定理可求出x的值，即为的长． 【详解】解：在中，， ， 由折叠得，， 设，则，， 在中，， ，解得，即，故选：B． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（     ） A．7 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得：，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， 设，则， 在中，， ∴，解得，故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知长方形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，平行线的性质，等角对等边，根据长方形的性质可得，则由平行线的性质和折叠的性质可证明得到，设，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由长方形的性质可得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴，故选：C． 题型八　勾股定理与网格问题 例题：（22-23八年级下·云南昆明·阶段练习）如图，每个小正方形边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上． (1)求△ABC的周长； (2)求△ABC的面积． 【答案】(1)；(2)11 【分析】本题考查了网格与勾股定理，利用网格求三角形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理算出每个边长，再加起来，即可作答． （2）运用割补法求面积，即可作答． 【详解】（1）解： ∴△ABC的周长； （2）解：△ABC的面积． 巩固训练 1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图， △ABC的顶点 A，B，C 在边长为1 的正方形网格的格点上， 于点 D，求 BD 的长 【答案】 【分析】根据题意，，计算即可． 本题考查了网格与勾股定理，掌握网格与勾股定理的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ， ∴． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1、图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 【操作发现】小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积． （1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长的平方分别是 _________，_________，___________，△ABC的面积为_________； 【解决问题】 （2）已知在△ABC中， ，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出 △ABC，并直接写出△ABC的面积． 【答案】（1）25，17，10，；（2） 画图见解析，． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据进行计算即可得到答案； （2）结合勾股定理画出△ABC，再用割补法求出面积即可， 本题考查了勾股定理，利用网格图求三角形的面积，熟练掌握勾股定理以及利用网格求三角形面积的求法是解题的关键． 【详解】解：（1）由勾股定理得： ，，， ， 故答案为：25，17，10，， （2）作△ABC如图所示：    ． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． (1)如图1所示， ①在边长为1的方格纸中，线段的长度为______； ②在图（1）找到一点C，使得△ABC的两条边长分别为，，则三角形的面积为______． (2)我们将（1）中的构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积（用含a、b的代数式表示）． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式的最小值． 【答案】(1)①；②作图见详解，；(2)；(3)25 【分析】本题考查的是勾股定理，三角形的三边关系求最值，整式的乘法和减法运算，解题的关键在于学会利用分割法求三角形面积． （1）运用勾股定理求解，利用割补法求面积； （2）利用勾股定理作图，利用割补法求面积； （3）构造直角三角形，应用勾股定理表示，再将问题转化为三角形的三边关系求最值，最后再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①由勾股定理得，，故答案为：； ②解：如图，点C即为所求， ∵，， ∴点C即为所求， ∴， 故答案为：； （2）解：如图：记小矩形的长为，宽为， 则，，，则即为按题意构造的三角形， ∴； （3）解：如图，作线段，，且分别在的上方和下方，且，设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值即为的最小值， ∵，当点三点共线时，等号成立， ∴最小值即为， 补全长方形得：， ∴在中，， ∴的最小值为25． 题型九　勾股定理的逆定理 例题：（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）若a，b，c为△ABC的三条边，且满足，则△ABC是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．明确非负数的性质：如果一组非负数的和为0时，则每一个非负数都等于0． 首先根据求出a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴解得 ∵， ∴ ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角． 巩固训练 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）下列数据中，可作为边长构成直角三角形的是（    ） A．9、16、25 B． C．0.3、0.4、0.5 D．6、6、6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理逐项分析即可． 【详解】A． ，不能构成直角三角形； B．，不能构成直角三角形： C．，能构成直角三角形； D．，不能构成直角三角形 故选C． 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）满足下列条件的△ABC一定能构成直角三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定方法，三角形内角和定理和勾股定理逆定理的实际运用，灵活的应用知识点是解决问题的关键．运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或当两边的平方和等于第三条边的平方时，可得出它是直角三角形，对每个选项分别判定即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，无法得到或为， ∴△ABC不一定是直角三角形； B、∵，， ∴，，， ∴△ABC不是直角三角形； C、∵， ∴设，，（）， ∴， ∴△ABC不是直角三角形； D、∵，即， ∴， ∴△ABC是直角三角形，且是斜边． 故选：D 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）一块钢板形状如图所示，若，，，，，则这块钢板的面积为________． 【答案】36 【分析】四边形是不规则图形无法直接计算，连接，将四边形分割成两个直角三角形进行计算．先算出，再运用勾股逆定理得出，故这块钢板的面积，即可作答．本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】如解图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴钢板的面积． 故答案为：36 题型十　勾股定理的实际应用 例题：（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求出，然后求出求出速度，再进行比较即可． 【详解】解：这辆小汽车没有超速．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车没有超速． 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变． 先利用勾股定理求出，再根据顶端下滑4分米求出，根据勾股定理求出，即可得出底部平滑的距离． 【详解】解：在中，根据勾股定理 分米， 当梯子的顶端沿墙下滑4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离：分米， 在中根据勾股定理 分米， 则梯子的底部将向外平滑距离：分米． 故选：D 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 连接，交于点F，此时点、 、在同一条直线上， 则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， 依题意，， 此时． 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：C． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为_______s． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用及等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间路程速度．设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束，在中求出，继而得出，再由卡车的速度可得出所需时间． 【详解】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响． 则有， 在中，， ， 则该校受影响的时间为：． 该学校受影响的时间为24秒．故答案为：24 题型十一　勾股定理的逆定理的应用 例题：（22-23八年级·山东枣庄·阶段练习）如图所示的一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 【答案】这块地的面积为24米 【分析】考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用，关键是作出辅助线得到直角三角形．连接，利用勾股定理可以得出和△ABC是直角三角形，△ABC的面积减去的面积就是所求的面积． 【详解】解：连接． 由勾股定理可知 （米． 又， 是直角三角形， 故所求面积的面积的面积（米）． 答：这块地的面积为24米． 巩固训练 1．（22-23八年级下·重庆长寿·期中）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)测量的是A，C两点之间的距离，理由见解析；(2)元． 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答． 【详解】（1）连接， 技术人员测量的是A，C两点之间的距离， 理由测量的是A，C两点之间的距离， 理由如下：∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∴， ， ∴ ∴绿化这片空地共需花费元． 2．（21-22八年级下·全国·单元测试）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析；(2)2.5千米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．下图是他们搭建帐篷的支架示意图．在△ABC中，支架从帐篷顶点A支撑在水平的支架上，且于点D．经测量得知：按照要求，帐篷支架与所夹的角度需为直角．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 【答案】帐篷符合要求，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，是解题的关键．利用勾股定理求出与的长，从而得出的长，再利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，，进而得出结论． 【详解】解∶ 帐篷符合要求． 理由如下： 在中，，， ， 在中，，， ， ， ，， ． 是直角三角形，． 帐篷符合要求． 题型十二　反证法 例题：（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序___________． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设（   ） A．没有一个角是钝角或直角 B．至多有一个钝角或直角 C．没有一个角是锐角 D．没有一个角是钝角 【答案】C 【分析】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角不是锐角”时第一步应假设：没有一个角是锐角． 故选C． 2．（23-24八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设_____________． 【答案】两条直线相交，有两个或两个以上交点 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：用反证法证明“两条直线相交，只能有一个交点”，应假设两条直线相交，有两个或两个以上交点， 故答案为：两条直线相交，有两个或两个以上交点． 3．（20-21九年级·江苏南京·自主招生）求证：对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有且只有一个数是p的整数倍． 【答案】见详解 【分析】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数，使得三个数中没有一个数是的整数倍或有两个或三个的整数倍， 取，显然，任意连续的三个正整数，有且只有一个数是3的整数倍， 所以假设不成立， 所以对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数，使得三个数中有且只有一个数是的整数倍． ( 37 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$