第14章 勾股定理（考点专练）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第14章 勾股定理（考点专练） 考点一 勾股定理的证明方法（共4题） 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C．D． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 3．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，，，且、、三点在同一条直线上，试利用这个图形证明勾股定理公式． 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）某学习小组参照教材上的材料进行勾股定理的项目式探究，并制表如下： 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达·芬奇证明勾股定理的剪拼法． 步骤 ①在纸片上绘制两个边长分别为a、b的正方形 ②将左右两部分剪开 ③将右侧部分翻折，并平移 ④左右两部分拼接在一起 说明：①中大小正方形公共顶点的邻边分别在一条直线上；步骤①中多边形的面积为，步骤④中多边形的面积为．111 问题解决 任务 （1）请用含a，b，c的代数式分别表示，； （2）请利用等积法证明勾股定理． 考点二 以弦图为背景的计算题（共4题） 1．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则______． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为_______．    3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 4．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 考点三 勾股数问题（共4题） 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）下面三组数中是勾股数的一组是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 3．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为________．（结果用含的式子表示）    4．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦；当勾时，股，弦； 请根据发现的规律写出7，24，25股和弦的算式． (2)请你根据（1）发现的规律用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦_______，猜想他们之间的相等关系，并对你的猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦． 考点四 以直角三角形三边为边长的图形面积（共4题） 1．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为_______． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，五个正方形放在直线上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为_________． 3．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为__________． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形） (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：_________________记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：____________记为结论③： (2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式__________________，结合结论②和结论③，可以得到一个等式_________________； (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值． 考点五 用勾股定理解三角形（共4题） 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）直角三角形中，两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高长是（   ） A． B．5 C．10 D．24 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，D为上一点，连接，且，则为________． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：斜边的中垂线交边于点E，若，，求的长． 4．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知是的三边长，，满足，求的值． 考点六 用勾股定理求线段的平方和差（共4题） 1．（20-21八年级上·甘肃兰州·期中）在中，斜边，则_______． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 3．（21-22八年级·江苏·假期作业）如图，在△ABC中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断△BCF的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 4．（23-24九年级上·全国·开学考试）如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部． (1)求 的度数． (2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 考点七 勾股定理与折叠问题（共4题） 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为_______． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为______． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 4．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）长方形中，，，将长方形折叠，使得点B落在线段上，求线段的长． 考点八 勾股定理与网格问题（共4题） 1．（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，为上任意一点，的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，则的值是（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 3．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，小方格都是边长为2的正方形，则△ABC中边上的高是（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3 4．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在小正方形网格线的交点上．求△ABC的周长及边上的高． 考点九 勾股定理的逆定理（共4题） 1．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）△ABC的三条边分别为，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 2．（2023八年级上·甘肃白银·学业考试）已知，，是△ABC的三边长，且满足关系，则△ABC的形状是_______________． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，在四边形中，，，，，求的度数． 4．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知正方形网格中的△ABC，若每个小方格的边长为，请你根据所学的知识解答下列问题． (1)求△ABC的面积； (2)判断△ABC是什么形状？并说明理由． 考点十 勾股定理的应用（共4题） 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径是_________． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图1，一架云梯斜靠在一面竖直的墙上，云梯的长为25米，云梯顶端离地面15米． (1)这架云梯的底端离墙面有多远？ (2)如图2，如果梯子的顶端下滑了8米，那么梯子的底端向右滑动了多少米？ 4．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 考点十一 勾股定理的逆定理的应用（共4题） 1．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图所示的，小明制作一个模具，，，，，，求这个模具的面积． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）近年来，河南嵩县通过人居环境的不断提质发展，城乡绿化覆盖率达到以上，助力城乡人居环境提质“美颜”．如图，现有一块四边形空地，计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，A、C之间的距离是． (1)求的长度． (2)若种植草皮需要100元，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 考点十二 反证法（共4题） 1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是__________. 2．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色． 小雅说：“红色球在我手上”； 小培说：“红色球不在我手上”； 小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”． 三个同学只有一个说对了，则红色球在_______的手上． 3．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设_____________． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，是△ABC的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 勾股定理（考点专练） 考点一 勾股定理的证明方法（共4题） 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等知识．熟练掌握勾股定理的证明，完全平方公式是解题的关键． 由弦图可知，，则四边形和四边形是正方形，由，可得，整理得． 【详解】证明：由弦图可知，， ∴四边形和四边形是正方形， ∵， ∴， ， ∴． 3．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，，，且、、三点在同一条直线上，试利用这个图形证明勾股定理公式． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理证明．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理． 【详解】证明：∵， ， ， ， 三个直角三角形其面积分别为和． 直角梯形的面积为． 由图形可知：， 整理得， ∴． 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）某学习小组参照教材上的材料进行勾股定理的项目式探究，并制表如下： 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达·芬奇证明勾股定理的剪拼法． 步骤 ①在纸片上绘制两个边长分别为a、b的正方形 ②将左右两部分剪开 ③将右侧部分翻折，并平移 ④左右两部分拼接在一起 说明：①中大小正方形公共顶点的邻边分别在一条直线上；步骤①中多边形的面积为，步骤④中多边形的面积为．111 问题解决 任务 （1）请用含a，b，c的代数式分别表示，； （2）请利用等积法证明勾股定理． 【答案】（1），；（2）证明见解析． 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息． （1）根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题； （2）根据（1）的结果及可证明勾股定理． 【详解】解：（1）， ； （2）由得， ， 所以． 考点二 以弦图为背景的计算题（共4题） 1．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，得出，则，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成， ∴， ∴， 故答案为：2． 2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为_______．    【答案】13 【分析】根据题意，得是大正方形大的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴． 故答案为：13． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查数学文化与几何概型，涉及到全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式变形求值．根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 【详解】如图， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴，即阴影部分的面积为，故答案为：． 4．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【答案】(1)；；(2)；(3)正方形的面积为39 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算． （1）由正方形面积公式即可得到答案； （2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案； （3）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：；； （2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； （3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． 考点三 勾股数问题（共4题） 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）下面三组数中是勾股数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A，不是正数，因此不是勾股数，不合题意； B，不是整数，因此不是勾股数，不合题意； C，，因此是勾股数，符合题意； D，，因此不是勾股数，不合题意； 故选C． 2．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 3．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为________．（结果用含的式子表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律． 根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值． 【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，    则． ， 即， 同理可得：， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦；当勾时，股，弦； 请根据发现的规律写出7，24，25股和弦的算式． (2)请你根据（1）发现的规律用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦_______，猜想他们之间的相等关系，并对你的猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦． 【答案】(1)股的算式为：；弦的算式为：；(2)，，；证明见解析；(3)股表示为：；弦为： 【分析】本题主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键． （1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可； （2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可； （3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可． 【详解】（1），；，； ，24，25的股的算式为：； 弦的算式为：； （2）当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 猜想他们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股弦； 故答案为：，，； （3）4，3，5的股、弦表示为：，； 6，8，10的股、弦表示为：，； 为勾，股表示为：；弦为：． 考点四 以直角三角形三边为边长的图形面积（共4题） 1．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为_______． 【答案】72 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理和正方形的性质可知， ， ， ， ， 正方形A、B、C、D、E、F的面积之； 故答案为：72． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，五个正方形放在直线上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为________． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理的几何意义可得：，，得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义可得：，， ∴， ∵正方形A、C、E的面积依次为3、5、4， ∴正方形B、D的面积之和为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为_______． 【答案】14 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握与勾股定理有关图形面积计算是解题关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式由可得，由，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：14． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形） (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：_________________记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：____________记为结论③： (2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式__________________，结合结论②和结论③，可以得到一个等式_________________； (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值． 【答案】(1)，；(2)，；(3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何表示形式，勾股定理几何意义，圆面积公式，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据图形分别表示出图2中的大正方形的面积和图3中的大正方形的面积即可； （2）根据结论进行等量代换，即可解题； （3）根据图形和圆的面积公式分别表示出，，，再根据建立等式，结合求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ， 图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ， 故答案为：，． （2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式：； ，即， 所以结合结论②和结论③，可以得到一个等式：； 故答案为：，； （3）解：由图知， ，， ， ， ， ， ， 解得． 考点五 用勾股定理解三角形（共4题） 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）直角三角形中，两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高长是（   ） A． B．5 C．10 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理及直角三角形的面积，利用勾股定理求出斜边是解题的关键． 首先根据勾股定理求出斜边，然后利用三角形的面积求高即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为6和8， ∴斜边为． 设斜边上的高为， ， ， 故选：A． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，D为上一点，连接，且，则为________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．作于．设，则有：，由此构建方程求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于． ，， ，设， 则有：， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图：斜边的中垂线交边于点E，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，勾股定理；连接，由勾股定理得，由线段垂直平分线的性质得，由勾股定理得，即可求解；掌握线段垂直平分线的性质定理，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：连接， 在中， ， 是的中垂线， ， ， 在中， ， 即， 解得：． 4．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知是的三边长，，满足，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理，先利用完全平方公式得到据此得到，，再由得到为的斜边，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ，． 是的三边长，， 为的斜边． ． 考点六 用勾股定理求线段的平方和差（共4题） 1．（20-21八年级上·甘肃兰州·期中）在中，斜边，则_______． 【答案】2 【分析】根据勾股定理，可知两直角边的平方和等于斜边平方，进而得出答案． 【详解】∵在中，斜边 ∴ ∴ 故答案为：2． 【点评】本题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理，发现题干中． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 3．（21-22八年级·江苏·假期作业）如图，在△ABC中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．    (1)判断△BCF的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1) △BCF为等腰直角三角形，理由见解析；(2)证明见解析 【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键． （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明； （2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【详解】（1）解：△BCF为等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△BCF为等腰直角三角形； （2）解：在上取一点H，使，连接，    ∵△BCF为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴． 4．（23-24九年级上·全国·开学考试）如图，，直线 与 的两边分别交于 ， 两点，作等边三角形 ，使点 在 内部，在 外部． (1)求 的度数． (2)用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)；(2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形的外角性质，勾股定理，全等三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和定理和角的和差得到，然后根据邻补角的定义解题即可； （2）过B作，使，连接，．可以得到，进而得到，，，根据为等边三角形得到，即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）， 证明如下：过B作，使，连接，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 考点七 勾股定理与折叠问题（共4题） 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出的长是解题的关键．利用折叠和长方形得到，进而可得出，设则在中，利用勾股定理可求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积，则可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质，可知：，，，． ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 设则 在中， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，平行线的性质与判定，过点A作于H，则，（平行线间间距相等），再由折叠的性质得到，，由勾股定理得到，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， 由题意得，，则， ∴，（平行线间间距相等）， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：3． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理的综合应用． 根据折叠的性质可得，，，，在中，根据勾股定理可得，即可求得，设，在中，由勾股定理即可求得结果． 【详解】∵将直角边沿直线折叠， ∴，， ， 在中， ， ， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 解得， 即． 4．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）长方形中，，，将长方形折叠，使得点B落在线段上，求线段的长． 【答案】线段的长为． 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由折叠的性质可，，，利用勾股定理求得，进而得到，设，则再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在长方形中，，， 由折叠的性质得，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即线段的长为． 考点八 勾股定理与网格问题（共4题） 1．（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，为上任意一点，的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 先根据勾股定理用表示出，用表示出，再把代入进行计算即可． 【详解】解：∵与是直角三角形，， ， ． 故选：D． 2．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，则的值是（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 用勾股定理分别求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 3．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，小方格都是边长为2的正方形，则△ABC中边上的高是（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，以及等面积法求高，设△ABC中边上的高是，利用割补法求出△ABC的面积，再利用勾股定理求出的长，利用△ABC的面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设△ABC中边上的高是， 小方格都是边长为2的正方形， ， ， ， ， 故选：C． 4．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在小正方形网格线的交点上．求△ABC的周长及边上的高． 【答案】周长为；高为 【分析】此题考查了勾股定理，等面积法求线段长度， 首先根据网格的特点和勾股定理求出，，，然后根据三角形周长公式求解，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：由题意可得， 由勾股定理可得， 的周长为． 设边上的高为， ∴ 则， 边上的高是． 考点九 勾股定理的逆定理（共4题） 1．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）△ABC的三条边分别为，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B.∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C.设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D.∵，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2023八年级上·甘肃白银·学业考试）已知，，是△ABC的三边长，且满足关系，则△ABC的形状是_______________． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握二次根式，绝对值的非负性是解题的关键． 首先根据二次根式，绝对值的非负性得出，，的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：， ，， ，， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，在四边形中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理得出，由等腰直角三角形的性质得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，即，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴． 4．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知正方形网格中的△ABC，若每个小方格的边长为，请你根据所学的知识解答下列问题． (1)求△ABC的面积； (2)判断△ABC是什么形状？并说明理由． 【答案】(1)；(2) △ABC是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理， （1）根据△ABC所在长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答； 解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：先确定最长边，算出最长边的平方；计算另两边的平方和比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．． 【详解】（1）解：∵正方形网格中的每个小方格的边长为， ∴ ， ∴△ABC的面积为； （2）△ABC是直角三角形． 理由：∵正方形网格中的每个小方格的边长为， ∴，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 考点十 勾股定理的应用（共4题） 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知楼梯长，高，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的基本应用，能够正确计算是解题关键． 先通过勾股定理算出楼梯的水平宽度，再通过“地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和”即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是． 故选：D． 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径是_________． 【答案】 【分析】根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可． 本题考查了几何体的展开图，勾股定理，熟练掌握展开图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，长方体的长，宽，高， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得， ； 第二种展开图中，根据题意，得 ； 第三种展开图中，根据题意，得， ； 故爬行的最短路程为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图1，一架云梯斜靠在一面竖直的墙上，云梯的长为25米，云梯顶端离地面15米． (1)这架云梯的底端离墙面有多远？ (2)如图2，如果梯子的顶端下滑了8米，那么梯子的底端向右滑动了多少米？ 【答案】(1)这架云梯的底端离墙面有20米； (2)梯子的底端向右滑动了4米． 【分析】此题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理求解即可； （2）首先求出（米），然后根据勾股定理求出（米），进而求解即可． 【详解】（1）解：∵米，米，， ∴（米）， ∴这架云梯的底端离墙面有20米； （2）解：∵梯子的顶端下滑了8米， ∴米， ∴（米）， ∵梯子长度不变 ∴米， ∴（米）， ∴（米）． ∴梯子的底端向右滑动了4米． 4．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为21.6米；(2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米)， 答：风筝的高度为21.6米； （2）解：由题意得，米， 米， （米)， （米)， 他应该往回收线8米． 考点十一 勾股定理的逆定理的应用（共4题） 1．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明． 【答案】(1)供水点到喷泉需要铺设的管道长为；(2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）在中，勾股定理求得，进而求得的长，在中，勾股定理求得的长，进而即可求解； （2）勾股定理的逆定理证明，根据点到直线的距离即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知 在中， ∴． 在中， ∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图所示的，小明制作一个模具，，，，，，求这个模具的面积． 【答案】这个模具的面积为 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．连接，勾股定理求得，进而勾由股定理逆定理得出是直角三角形，进而根据即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 则在中，根据勾股定理得： ， 在△ABC中，，，， ∴， ∴△ABC为直角三角形，， ∴， 答：这个模具的面积是． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受到台风影响，理由见解析；(2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）过点C作于D点，根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，再由三角形的面积公式可得，即可求解； （2）当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点， ∵， ∴， ∴△ABC为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）近年来，河南嵩县通过人居环境的不断提质发展，城乡绿化覆盖率达到以上，助力城乡人居环境提质“美颜”．如图，现有一块四边形空地，计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，A、C之间的距离是． (1)求的长度． (2)若种植草皮需要100元，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 【答案】(1)；(2)3600元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． （1）连接，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理逆定理得到，利用求出四边形空地的面积，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，，A、C之间的距离是， ∴， 即的长度； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形空地种植草皮需要元． 考点十二 反证法（共4题） 1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是__________. 【答案】③④①② 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于， 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 则四个步骤正确的顺序是③④①②，故答案为：③④①②． 2．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色． 小雅说：“红色球在我手上”； 小培说：“红色球不在我手上”； 小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”． 三个同学只有一个说对了，则红色球在_______的手上． 【答案】小培 【分析】本题考查了逻辑推理与论证．解题的关键在于对信息的综合理解．分别假设小雅、小培、小粹的说法正确，由此进行推理，判断是否符合题意即可． 【详解】解：由题意知，假设小雅正确，则小培正确，小雅、小培同学说法正确，故不符合题意； 假设小培正确，小培和小粹也有一人说法正确，故不符合题意； 假设小粹正确，小雅、小培说法错误，则红色球不在小雅手上，在小培手上，符合题意， ∴当三个同学中只有一个说对了，则红色球在小培的手上，故选：小培． 3．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）用反证法证明命题：“已知，求证：．”第一步应先假设_____________． 【答案】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】解：第一步应先假设，故答案为：． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，是△ABC的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质． 假设点D与点E重合．根据是△ABC的中线，，则，与相矛盾，即可得出结论． 【详解】证明：假设点D与点E重合． ∵是△ABC的中线，， ∴垂直平分， ∴，与相矛盾， ∴点D与点E不重合． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$