第13章 全等三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第13章 全等三角形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 2．对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．有下列说法：等边三角形是等腰三角形；三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心；连接多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；三角形的三条高相交于一点；各边都相等的多边形为正多边形；所有的等边三角形全等，其中正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 4．如图，有一池塘，要测池塘两端的距离，可先在平地上取一个直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接，那么量出的长，就是的距离．我们可以证明出，进而得出，那么判定△ABC和全等的依据是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，，，直线过与的交点，则图中全等三角形有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 6．如图， 在△ABC中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．如图，，添加条件后能用“”判定是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，平分，作于点H．，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C． D． 9．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 10．如图，点 E是的中点，，平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将命题“邻补角互补”写成“如果……，那么……”的形式________________________． 12．在如图所示的正方形网格中，等于_______．    13．如图，中，于，于，与相交于，若，若，，则________． 14．如图、用尺规作一个已知角的角平分线的原理如下：依据_______判定和全等，进而得到．（从中选择其一填空） 15．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是________．（填写序号） 16．如图，在△ABC中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，△ABC的面积为，则的最小值为_________． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)． 18．如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 19．如图，已知点、是△ABC内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 20．如图1，在中，于点 C，，在上截取，连接、，并延长交于点P． (1)求证：； (2)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化？若不变，请说明理由． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，在△ABC的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为． 22．如图，，点E在上． (1)求证：平分； (2)求证：． 23．如图，△ABC中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)请判断是否平分，并说明理由； (3)若，，且，求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．我们知道：三角形全等的判定方法有：“”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图，把一条一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？    这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．        (1)如果这两个三角形都是直角三角形，则“”成立．如图1，在和中，．根据________，可直接证得； (2)如果这两个三角形都是锐角三角形，则“”也成立，如图2，在锐角和锐角中，．求证：． 证明：作，垂足分别为G，H， 在和中，． ∴． …… 请你完成余下的证明过程： (3)如果这两个三角形都是钝角三角形，则“”仍然成立．如图3，在钝角和钝角中，，求证：．请简要叙述你的证明思路． 25．如图（1），已知在△ABC中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 △ABC两边、的距离分别为m，n， △ABC的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 全等三角形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了真假命题的判断、内错角、对顶角、平方根以及不等式性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、不等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．“对顶角相等”，这个命题是真命题，故符合题意； B．“内错角相等”，这个命题是假命题，两直线平行，内错角相等才是真命题，故不合题意； C．“若，则”，这个命题是假命题，“若，则”是真命题，故不符合题意： D．“若，则”，这个命题是假命题，“若，则”才是真命题，故不合题意． 故选：A． 2．对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理的知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，符合题意， ∴当，时，不符合若，不符合题意， 故选：C． 3．有下列说法：等边三角形是等腰三角形；三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心；连接多边形的两个顶点的线段叫做多边形的对角线；三角形的三条高相交于一点；各边都相等的多边形为正多边形；所有的等边三角形全等，其中正确的个数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的概念，三角形的重心，三角形的分类，正多边形，全等三角形，根据多边形的概念，三角形的重心，三角形的分类，正多边形，全等三角形进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：等边三角形是等腰三角形，原说法正确，符合题意； 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，原说法错误，不符合题意； 连接多边形的不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，原说法错误，不符合题意； 三角形的三条高或三条高所在直线相交于一点，原说法错误，不符合题意； 各边都相等且各角都相等的多边形是正多边形，原说法错误，不符合题意； 所有的等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； 综上正确的个数有个， 故选：． 4．如图，有一池塘，要测池塘两端的距离，可先在平地上取一个直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接，那么量出的长，就是的距离．我们可以证明出，进而得出，那么判定△ABC和全等的依据是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意即可判断求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在△ABC和中， ， ∴， ∴判定△ABC和△DEC全等的依据是， 故选：B． 5．如图，，，直线过与的交点，则图中全等三角形有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．先由平行线的性质得出，，，，然后结合全能三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 同理可证， ∴． ∵，， ∴， ∴，． 同理可证△AOB≌△COD(AAS)． ∵，，， ∴． 同理可证． 故选C． 6．如图， 在△ABC中， ，，观察图中尺规作图的痕迹， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 根据作图过程可得是线段的垂直平分线，垂直平分线上的点与线段两个端点距离相等可得，进而可得的长． 【详解】解：根据作图过程可知：是线段的垂直平分线， ， ，， ， 故选：C． 7．如图，，添加条件后能用“”判定是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据（一组斜边和一组直角边对应相等的两个三角形全等）判断即可．本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是理解的意义，属于中考常考题型． 【详解】解：，， ， ， 当时，． 故选：A． 8．如图，在四边形中，，平分，作于点H．，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，过点D作交延长线于E，证明，得到，，再证明，得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于E， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 9．如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． 10．如图，点 E是的中点，，平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；根据即可判断①是否正确；由可判断③正确． 【详解】解：如图，过E作于F，      ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴ 在和中，， ∴， ∴，，，故②正确； ∴，故④正确； ∵， ∴，故①正确． ∵， ∴，故③正确． 综上，四个结论中成立的是①②③④， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．将命题“邻补角互补”写成“如果……，那么……”的形式________________________． 【答案】如果两个角是邻补角，那么它们互补 【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答． 【详解】解：把命题“邻补角互补”改写为“如果…那么…”的形式是：如果两个角是邻补角．那么它们互补， 故答案为：如果两个角是邻补角．那么它们互补． 12．在如图所示的正方形网格中，等于_______．    【答案】 【分析】根据图形和正方形的性质可知，，，再把它们相加可得的度数． 【详解】解：观察图形可知与所在的三角形全等，二角互余，与所在的三角形全等，二角互余，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【点评】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中，，是解题的关键． 13．如图，中，于，于，与相交于，若，若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够找到全等三角形是解题关键． 先证得，进而得到，，可得，即可得到答案． 【详解】解：∵于，于， ∴，，， ∴，， 又∵（对顶角相等）， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：． 14．如图、用尺规作一个已知角的角平分线的原理如下：依据_______判定和全等，进而得到．（从中选择其一填空） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，根据作图得到结合，证明三角形全等，即可得出结论． 【详解】解：由作图可知： 又∵， ∴； 故答案为：． 15．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是________．（填写序号） 【答案】①③④⑤． 【分析】①根据△ACD≌△BCE(SAS)即可证明AD＝BE；②根据△ACN≌△BCM(ASA)即可证明AN＝BM，从而判断AP≠BM；③根据∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根据△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知. 【详解】①∵△ABC和△CDE都是等边三角形 ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60° ∴∠ACE＝60° ∴∠ACD＝∠BCE＝120° 在△ACD和△BCE中 ∴△ACD≌△BCE(SAS) ∴AD＝BE； ②∵△ACD≌△BCE ∴∠CAD＝∠CBE 在△ACN和△BCM中 ∴△ACN≌△BCM(ASA) ∴AN＝BM； ③∵∠CAD+∠CDA＝60° 而∠CAD＝∠CBE ∴∠CBE+∠CDA＝60° ∴∠BPD＝120° ∴∠APM＝60°； ④∵△ACN≌△BCM ∴CN＝BM 而∠MCN＝60° ∴△CMN为等边三角形； ⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图 ∵△ACD≌△BCE ∴CQ＝CH ∴CP平分∠BPD. 故答案为：①③④⑤． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键. 16．如图，在△ABC中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，△ABC的面积为，则的最小值为_________． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在△ABC中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)． 【答案】（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析． 【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假． 【详解】解：（1）有：如果那么； 如果那么； 如果，那么； （2）如图： ∵AB∥CD， ∴∠B=∠CDF， ∵∠B=∠C， ∴∠C=∠CDF， ∴CE∥BF， ∴∠E=∠F， ∴如果那么为真命题； ∵AB∥CD， ∴∠B=∠CDF， ∵∠E=∠F， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠CDF， ∴∠B=∠C， ∴如果那么为真命题； ∵∠E=∠F， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠CDF， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠CDF， ∴AB∥CD， ∴如果，那么为真命题． 【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 18．如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）由全等三角形的判定定理证得，则对应角，可证明结论； （2）根据，可以证得，进而得出结论． 【详解】（1）证明：如图：在△ABC和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， 在△BCF和中， ， ∴， ∴． 19．如图，已知点、是△ABC内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． （1）先由推导出，再根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由求得，再由全等三角形的对应角相等求得，则，再由求得的度数． 【详解】（1）， ， ， 在和中， ， ∴≌． （2）， ， ， ． 20．如图1，在中，于点 C，，在上截取，连接、，并延长交于点P． (1)求证：； (2)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化？若不变，请说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)位置不发生变化，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后证明出，即可得到； （2）如图所示，设与交于点F，根据题意证明出，得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ 又∵，， ∴ ∴； （2）位置不发生变化，理由如下： 如图所示，设与交于点F， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，在△ABC的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)4 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，与三角形高相关的计算． （1）根据，得到，结合，利用即可证明； （2）由（1）知，推出，即可证明； （3）根据，且的面积为1，可求出的面积为，再根据（2）知得到点到的距离与点到的距离相等，推出的面积与的面积相等，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ； （3）解：，且的面积为1， 的面积为， 由（2）知， 点到的距离与点到的距离相等， 的面积与的面积相等， 四边形的面积为． 22．如图，，点E在上． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】（1）由题中条件易知：运用证明，可得平分； （2）利用（1）的结论，运用证明，得出． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用三角形全等的判定方法，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键． 【详解】（1）解：依题意， 在△ABC与中， ， ， 即平分； （2）解：由（1）得， 在与中， ， ， ． 23．如图，△ABC中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)求的度数； (2)请判断是否平分，并说明理由； (3)若，，且，求的面积． 【答案】(1)；(2)平分，理由见解析；(3)的面积为9 【分析】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积． （1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解； （2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论； （3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解：平分，理由如下： 过点分别作于，与， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分； （3）解：，，， ， 即， 解得， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．我们知道：三角形全等的判定方法有：“”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图，把一条一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？    这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．        (1)如果这两个三角形都是直角三角形，则“”成立．如图1，在和中，．根据________，可直接证得； (2)如果这两个三角形都是锐角三角形，则“”也成立，如图2，在锐角和锐角中，．求证：． 证明：作，垂足分别为G，H， 在和中，． ∴． …… 请你完成余下的证明过程： (3)如果这两个三角形都是钝角三角形，则“”仍然成立．如图3，在钝角和钝角中，，求证：．请简要叙述你的证明思路． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析 【分析】（1）根据题意即可得出； （2）同理可证，再根据即可证明； （3）根据条件证明和即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：根据，可证得； （2）证明：作，垂足分别为G，H， 在和中， ， ∴．， ∴， 同理可证，， ∴， ∴，即， ∴； （3）证明：延长，过点A作，延长，过点D作，如图所示，    ∵，， ∴， ∴. ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【点评】本题考查三角形全等的应用，正确理解题意是关键． 25．如图（1），已知在△ABC中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 △ABC两边、的距离分别为m，n， △ABC的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 【答案】(1)证明见解析；(2)，证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）当点P与点M重合时，过点M作于点D，于点E，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论； （2）连接，根据可得出结论； （3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 【详解】（1）解：当点P与点M重合时，， 理由：过点M作于点D，于点E， 如图，则，，    ∵且 ∴△ABC是等边三角形， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 如图②，连接，则 ，    ∴，即， 又∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，则 ，    ∴，即 ， 又∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 两边同时除以2022得，， ∴，即． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用，运用等积法建立关系式是解题的关键． ( 22 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$