第13章 全等三角形（考点专练）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第13章 全等三角形（考点专练） 考点一 命题（共4题） 1．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（   ）． A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”与“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据假命题举例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【详解】解：A．，，则，故不符合题意； B．，则，故不符合题意；     C．，有，但，可说明原命题是假命题． D．，则，故不符合题意；     故选：C． 2．（23-24八年级上·山东聊城·期末）下列语句中，属于命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 【详解】解：A、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； B、是问句，未做判断，故本选项不符合； C、符合命题的概念，故本选项符合； D、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； 故选：C． 3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）下列命题是真命题的是（    ）． A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；B．对顶角相等，邻补角互补； C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假、平行公理、对顶角、邻补角，根据平行公理、对顶角、邻补角的相关知识点逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； B、对顶角相等，邻补角互补，故原说法正确，为真命题，符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； 故选：B． 4．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）将命题“钝角大于它的补角”写成“如果...那么...”的形式：_________________________． 【答案】如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角 【分析】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，先写出命题的题设和结论，再写成“如果...那么...”的形式． 【详解】解：题设为：一个角是钝角，结论为：大于它的补角， 故写成“如果...那么...”的形式：如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角， 故答案为：如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角． 考点二 定理与证明（共4题） 1．（2022·江苏扬州·二模）数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 【答案】B 【分析】根据数学史，即可得到答案； 【详解】解：《几何原本》的作者是：欧几里得，故选：B． 【点评】本题考查了《几何原本》，早在公元前3世纪，希腊数学家欧几里得用由反复实践所证实而被认为不需要证明的少数命题为前提，用逻辑推理的方法，将前人在几何方面的研究成果整理成《几何原本》． 2．（21-22七年级下·河南商丘·期中）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析；(2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 4．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 考点三 全等三角形的判定（共4题） 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键．根据三角形全等的判定定理，，，，，分析每一个选项，只有C选项不能判定，由此得到答案． 【详解】选项中，，，，符合，可以判定，故本选项不符合题意； 选项中， ，，，符合，可以判定，故本选项不符合题意； 选项中，，，，不能判定，故本选项符合题意； 选项中，，得到，又，，符合，可以判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形全等的判定．根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：，， ， ∵， ∴， ∴， 要根据“”证明，还要添加一个条件是．故选：A． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，根据下列条件，能说明的是___________（填写正确的序号） ①，；②， ③，；④，    【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键：全等三角形的判定定理有． 【详解】解：由，结合，可以利用证明，故①正确； 由，结合，可以利用证明，故②正确； 由，，结合，可以利用证明，故③正确； 由，，结合，不可以利用证明，故④错误； ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 4．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为___________，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2．故答案为：2.4或2． 考点四 全等三角形的性质（共4题） 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点，在上，且．若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得到，推出，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故选：C． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，点，分别在边和边上，且△ABC与全等，与是对应边．若，，，则的长为（　　） A．1 B．2或3 C．1或2 D．3或4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质“对应边相等”即可求解，注意分类讨论． 【详解】解：当△ABC≌△MCN时， ∴， ∴； 当△ABC≌△NCM时， ∴， ∴； 综上，的长为1或2．故答案为：C． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与△BPQ全等．的值为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定得出两种情况，求出每种情况的x值即可． 【详解】解：要使与全等，有两种情况：①， 点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为， ； ②，， 时间为秒， 即， 所以的值是或， 故答案为：或． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为． 【答案】 【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：如图所示： 由图形可得：， ∵三个三角形全等， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是．故答案为：． 考点五 全等三角形的判定与性质综合（共4题） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）在△ABC中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作△ADE，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则______度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为_______． 【答案】 或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论． （1）先证，根据即可证明；可得，由进而可得； （2）分①点D在线段上，②点D在延长线上，③点D在的延长线上，分别加以讨论即可． 【详解】解：（1）， ， ， 在和中， ， ； ， ∵， ， （2）点D在线段上，如图： ， ， ， 在和中， ， ； ， 在△ABC中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在的延长线上时，如图：    ， ， ， 在和中， ， ， ， 在△ABC中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③当点D在的延长线上时，如图： 同理可得， ∴， 在△ABC中，， ∴， ∴． ∵， ∴； 综上所述α，β之间的数量关系为：或． 故答案为：（1）；（2）或． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是△ABC的中线，延长至点E，使，连接． (1)证明； (2)若，设，可得x的取值范围是________； 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用： （1）由三角形中线的定义得到，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形三边的关系可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵是△ABC的中线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故答案为：． 3．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为，，，.求的长. 【答案】. 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形常用的判定方法有：、、、、，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键.根据，，利用同角的余角相等得出，利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差关系即可得答案. 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴. 4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． (1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由． (2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． (4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明． 【答案】(1)，理由见解析；(2)仍成立，理由见解析；(3)210海里；(4)，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论； （2）延长到，使，连接，证明，再证明，则结论可求； （3）连接，延长、交于点，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合（2）具备的条件，则． （4）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，    在和中， ， ， ，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ，， ， ， ； （2）解：仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接，   ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， ． 在和中， ，， ， ， ； （3）解：连接，延长、交于点，如图3，    ，， ， ，， 在四边形中：，且， 四边形符合（2）中的条件， 结论成立，即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． （4）解：结论：． 理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，    ，， ，即 在和中， ， ， ，， ∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足（1）中的结论， 即， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ． 考点六 等腰三角形的性质（共4题） 1．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边△ABC中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为_________． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，根据题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成，则此等腰三角形的顶角是_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据题意进行分类讨论，当该等腰三角形为锐角三角形时，当该等腰三角形为钝角三角形时，画出对应的示意图，根据三角形内角和定理，即可解答． 【详解】解：当该等腰三角形为锐角三角形时，如图： ， ∴， ∴； 当该等腰三角形为钝角三角形时，如图： ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，该等腰三角形的顶角度数为或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，△ABC是等边三角形，高，P为上一动点，E为的中点，则的最小值为_________．   【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称—最短路线问题，由等边三角形的性质可得、两点关于直线对称，连接，则与的交点即为使是最小值的点，即的最小值为，求出即可得解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，为高， ∴、两点关于直线对称， 连接，则与的交点即为使是最小值的点，即的最小值为， ∵E为的中点， ∴，即为△ABC的高， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC和△ADE中，，将△ADE绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合等腰三角形的性质和平行线的性质分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论， 当点在点的左侧时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；         图①     图② 当点在点的右侧时，如图②， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当时，的度数为或． 考点七 等腰三角形的判定（共4题） 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，在△ABC中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【详解】解：的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在△ABC中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定；掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：6． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，，点分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)详见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可得，结合，，利用“边角边”证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）结合可得，，根据三角形内角和定理解得，进而可得，易知，然后由求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（15-16八年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，为△ABC中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．延长至点，使，连接．结合题意可证明，得到，．由，可得，结合，得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． 为△ABC的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ． 考点八 等腰三角形的判定与性质综合（共4题） 1．（22-23八年级上·吉林·期中）如图，在△ABC中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若△ABC的边长为1，，则线段的长___________． 【答案】(1)；(2)，见解析；(3)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质： （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交于点F，同（2 ）得是等边三角形，，则，即可得出答案． 【详解】解：（1）：，理由如下： ∵， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，∠AFE=∠ACB，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 同（2 ）得：是等边三角形，， ，， ， ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是△ABC的中线，且，延长至点，使，连接，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为________． (2)如图（2），在△ABC中，点在上，且，过作，且．求证：平分． 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法，进行作答即可； （2）延长至，使得，连接，先证明，得到，，平行线的性质，得到，等量代换结合等边对等角，得到，再利用等量代换，得到，即可． 【详解】（1）解：∵是△ABC的中线， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长至，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， ∴平分 4．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）（1）问题发现：如图①，△ABC和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，△ABC和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，△ABC和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和△ABC是等腰三角形，即可得到答案 【详解】（1）①∵△ABC和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下： ∵△ABC和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高 ∴ ∵ ∴                 （3）∵是等腰三角形， ∴ ∴ 同（1）可得： ∴ ∴ ∵△ABC是等腰三角形， ∴ ∴ 考点九 尺规作图（共4题） 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点M．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图过程可知，，则，根据平行线的性质可得．根据是边的中点，，可得点为的中点，即，进而可得答案．本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图过程可知，， 故A选项正确，不符合题意； ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； 是边的中点，， 点为的中点， ， 故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出， 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知 ，用直尺和圆规按照以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ； ②画射线 ，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④过点画射线 ； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本作图，结合三角形全等的判定解答即可． 本题考查了已知角的等角的基本作图，三角形全等的判定，熟练掌握基本作图，三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，由作图得，， 判定的依据是， 故选A． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，．用尺规作图法作△ABC的平分线交于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图——基本作图，利用尺规作出的平分线即可．解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法． 【详解】解：如图， 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知直线．在，所在的平面内求作直线l，使得，且l与间的距离恰好等于l与间的距离（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的作法、垂直平分线的作法等知识点，掌握垂直平分线的作法成为解题的关键． 利用尺规作图方法，过直线上任意一点作的垂线，再根据垂直平分线的作法即可作出直线l． 【详解】解：如图：即为所求． 考点十 互逆命题与互逆定理（共4题） 1．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 3．（22-23八年级上·广西百色·期末）下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理、三角形内角和定理，根据逆命题的定义、三角形内角和定理、真假命题的定义、互为逆命题的两个命题的真假没有关系进行判断即可． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，故不符合题意； B、“三角形的内角和等于”是真命题，故不符合题意； C、命题的逆命题不一定是正确的，故不符合题意； D、定理的逆命题不一定是真命题，因此每个定理不一定都有逆定理，故符合题意； 故选：D． 4．（21-22八年级上·北京·单元测试）写出下列命题的逆命题，并在后面的括号里判断逆命题是否正确． (1)同旁内角互补，两直线平行； ________________________（_________） (2)全等三角形的对应角相等． _______________________（_______） 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；正确；(2)对应角相等的三角形全等；不正确 【分析】本题考查了原命题与逆命题，以及判断命题的真假，将原命题的题设与结论互换，即可得到原命题的逆命题，继而利用定理判断命题的真假即可． 【详解】（1）解：逆命题为：两直线平行，同旁内角互补， 根据平行线的性质定理即可判断这是真命题； 故答案为：两直线平行，同旁内角互补，正确； （2）逆命题为：对应角相等的三角形全等， 根据全等三角形的判定定理可知这是假命题， 故答案为：对应角相等的三角形全等，不正确； 考点十一 线段的垂直平分线（共4题） 1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形底边上三线合一及三角形全等的判定，根据垂直平分线得到，，，根据可证，根据三线合一可得平分，即可得出结论． 【详解】解∶∵垂直平分， ∴，，， ∴平分， ∵，，， ∴， 由条件无法得, ∴选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，△ABC的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，先由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式得到，则的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，垂足为E，， ∴， ∵△ABC的周长为24， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在△ABC中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则________． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，过点作，先证明，得到，，再证明，得到，进而得到，推出，设，则，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，过点作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点评】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，正确的添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在△ABC中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （）先根据相等垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可. 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，对顶角相等，解题关键是熟练掌握知识点的应用. 【详解】（1）证明：如图所示， 连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，， ， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 考点十二 角平分线（共4题） 1．（11-12七年级下·浙江温州·期末）如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理判断作答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上， 如图， 三角形两个内角平分线的交点，三角形外角两两平分线的交点均为满足要求的点，共4处， 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，△ABC中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数． (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是18，求的面积． 【答案】(1)；(2)见解析；(3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在△ABC中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见详解 【分析】过点D分别作于点M，于点N， 根据，，可得，再证明，从而问题解决． 【详解】，理由如下： 过点D分别作于点M，于点N，如图， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ∵ ∴， ∴ 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，已知在四边形中，于B，于C，平分，且E为的中点． (1)求证：平分； (2)求的度数． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】本题考查角平分线的判定以及性质，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）过点E作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明； （2）求出，求出，根据角平分线定义得出，，求出，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于F， ∵，平分， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 又∵∠B=90°，， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 2 )京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 全等三角形（考点专练） 考点一 命题（共4题） 1．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（   ）． A．， B．， C． D．， 2．（23-24八年级上·山东聊城·期末）下列语句中，属于命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）下列命题是真命题的是（    ）． A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；B．对顶角相等，邻补角互补； C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 4．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）将命题“钝角大于它的补角”写成“如果...那么...”的形式：_________________________． 考点二 定理与证明（共4题） 1．（2022·江苏扬州·二模）数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 2．（21-22七年级下·河南商丘·期中）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 4．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 考点三 全等三角形的判定（共4题） 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（   ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，要根据“HL”判定 ，则需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，根据下列条件，能说明的是___________（填写正确的序号） ①，；②， ③，；④，    4．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为___________，可以使与全等． 考点四 全等三角形的性质（共4题） 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点，在上，且．若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，点，分别在边和边上，且△ABC与全等，与是对应边．若，，，则的长为（　　） A．1 B．2或3 C．1或2 D．3或4 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与△BPQ全等．的值为_______． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为． 考点五 全等三角形的判定与性质综合（共4题） 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）在△ABC中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作△ADE，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则______度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为_______． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是△ABC的中线，延长至点E，使，连接． (1)证明； (2)若，设，可得x的取值范围是________； 3．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为，，，.求的长. 4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． (1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由． (2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． (4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明． 考点六 等腰三角形的性质（共4题） 1．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边△ABC中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为_________． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成，则此等腰三角形的顶角是_________． 3．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，△ABC是等边三角形，高，P为上一动点，E为的中点，则的最小值为_________．   4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC和△ADE中，，将△ADE绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是_________． 考点七 等腰三角形的判定（共4题） 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，在△ABC中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_______． 2．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在△ABC中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为______． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，，点分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 4．（15-16八年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，为△ABC中线，点E在上，交于点F，，求证：． 考点八 等腰三角形的判定与性质综合（共4题） 1．（22-23八年级上·吉林·期中）如图，在△ABC中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若△ABC的边长为1，，则线段的长___________． 3．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是△ABC的中线，且，延长至点，使，连接，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为________． (2)如图（2），在△ABC中，点在上，且，过作，且．求证：平分． 4．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）（1）问题发现：如图①，△ABC和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，△ABC和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，△ABC和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 考点九 尺规作图（共4题） 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点M．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知 ，用直尺和圆规按照以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ； ②画射线 ，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④过点画射线 ； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，．用尺规作图法作△ABC的平分线交于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知直线．在，所在的平面内求作直线l，使得，且l与间的距离恰好等于l与间的距离（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 考点十 互逆命题与互逆定理（共4题） 1．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）下列说法错误的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是(   ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 3．（22-23八年级上·广西百色·期末）下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 4．（21-22八年级上·北京·单元测试）写出下列命题的逆命题，并在后面的括号里判断逆命题是否正确． (1)同旁内角互补，两直线平行； ________________________（_________） (2)全等三角形的对应角相等． _______________________（_______） 考点十一 线段的垂直平分线（共4题） 1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D．平分 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，△ABC的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是_______ 3．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在△ABC中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则________． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在△ABC中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 考点十二 角平分线（共4题） 1．（11-12七年级下·浙江温州·期末）如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，△ABC中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数． (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是18，求的面积． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在△ABC中，是角平分线，E，F分别为上的点，且．与有何数量关系？请说明理由． 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，已知在四边形中，于B，于C，平分，且E为的中点． (1)求证：平分； (2)求的度数． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$