3.1.1方程的根与函数的零点课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修1

成才之路·数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教A版 · 必修1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 函数的应用 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 函数的应用 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 函数的应用 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 函数的应用 课前自主预习 方法警示探究 思路方法技巧 探索延拓创新 课堂基础巩固 课后强化作业 名师辩误做答 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 课前自主预习 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 思路方法技巧 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 探索延拓创新 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 名师辩误做答 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 课堂基础巩固 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 课后强化作业（点此链接） 第三章 3.1 3.1.1 成才之路 · 数学 · 人教A版 · 必修1 第三章 函数的应用 3．1　函数与方程 第三章 第三章 3．1.1　方程的根与函数的零点 (2，－7) 温故知新 1．方程x2－2x－3＝0的根为_________________；函数y＝x2－2x－3与x轴的交点为______________． 2．函数y＝2x2－8x＋1的对称轴为_______，顶点坐标为_____________． x1＝－1，x2＝3 (－1,0)，(3,0) x＝2 新课引入 二次函数是我们很熟悉的一类函数，以前我们曾研究过其图象与性质，请大家画几个函数的图象(画草图即可)：(1)y＝x2－2x－3；(2)y＝x2－2x＋1；(3)y＝x2－2x＋3. 画完以后，请说出你能知道的知识．如果我们把二次函数与其相关的方程：x2－2x－3＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋3＝0放在一起观察，又会有什么发现呢？你能再找几个函数与相应的方程看看我们的想法是否正确吗？ 自主预习 问题1：观察下列三个函数图象，如下图． (1)y＝x2－2x－3与x轴有2个交点．(2)y＝x2－2x＋1与x轴有一个交点．(3)y＝x2－2x＋3与x轴没有交点，对此x2－2x－3＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋3＝0三个方程的解，你会有什么发现呢？ 探究：(1)容易知道函数y＝x2－2x－3与x轴有两个交点，方程x2－2x－3＝0有两个实根，交点坐标为(－1,0)、(3,0)，方程的根为x1＝－1，x2＝3.会发现：交点的横坐标与方程的根数值相同． (2)函数y＝x2－2x＋1与x轴有一个交点，坐标为(1,0)，方程x2－2x＋1＝0有两等根为x＝1. (3)函数y＝x2－2x＋3与x轴没有交点，方程没有实根． 观察可知，二次函数f(x)与x轴的交点的横坐标恰好是相应方程f(x)＝0的根，这种关系对一般的一元二次函数与其相应的方程之间的情况也成立，即方程ax2＋bx＋c＝0的实根就是f(x)＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标． 总结：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 【归纳提升】　(1)函数的零点是数值，不是点的坐标，要区分清楚函数的零点与函数图象与x轴的交点是两回事． (2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)求函数y＝f(x)的零点就是令f(x)＝0求方程的实根． 问题2：再观察函数y＝x2－2x－3的图象，由问题1的探究知道，其存在两个零点x＝－1和x＝3，观察两个零点周围的函数值有什么变化，写出你的发现，你能再举个例子验证一下吗？ 探究：对于零点x＝－1来说，其左侧附近的函数值大于零，比如f(－2)>0；其右侧附近的函数值小于零，比如f(0)<0，于是我们发现，只要零点x0在区间(a，b)上，就有f(a)·f(b)<0.我们对另一个零点x＝3，也取其附近的区间来研究，发现有同样的规律．反过来，只要我们取的区间(a，b)，有f(a)·f(b)<0，那么函数在(a，b)上一定有零点． 总结：一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续的，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c使f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实根． 【归纳提升】　(1)这个定理是告诉我们一种寻找零点的方法，我们只要探求出一个区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0，则其一定在此区间(a，b)内有零点．反之则不一定成立． (2)这个定理只告诉我们，存在c∈(a，b)，使f(c)＝0，即c是函数的零点，但没有告诉我们有几个．事实上，如右图所示，我们知道f(a)·f(b)<0，在区间(a，b)上有3个零点． 通过以上所学，完成下列练习． 1．求下列函数的零点： (1)f(x)＝3x＋2； (2)f(x)＝x2－3x－4； (3)f(x)＝log2x. [解析]　(1)令f(x)＝0，即3x＋2＝0，∴x＝－eq \f(2,3). ∴f(x)＝3x＋2的零点是－eq \f(2,3). (2)令f(x)＝x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1. ∴f(x)＝x2－3x－4的零点是4，－1. (3)令f(x)＝log2x＝0，得x＝1， ∴f(x)＝log2x的零点为1. 2．判断下列方程在区间(eq \f(1,2)，8)上是否存在实数解并说明理由：(1)eq \f(2,x)＋2x＝0；(2)log2x＋3x－2＝0. [解析]　(1)f(x)＝eq \f(2,x)＋2x，f(eq \f(1,2))＝5>0， f(8)＝eq \f(65,4)>0，且f(x)＝eq \f(2,x)＋2x在(eq \f(1,2)，8)上恒大于零， 所以该方程为(eq \f(1,2)，8)上不存在实数解． (2)f(x)＝log2x＋3x－2，f(eq \f(1,2))＝－eq \f(3,2)<0，f(8)＝25>0，且f(x)在(eq \f(1,2)，8)上连续，所以该方程在(eq \f(1,2)，8)上有实数解． 命题方向1 函数零点的概念和一次、二次函数的零点 [例1]　研究下列函数的零点． (1)f(x)＝4x－3； (2)f(x)＝x2－3x＋2； (3)f(x)＝2x； (4)f(x)＝log2(x＋1)． [分析]　根据函数零点的定义，令y＝0，解出定义域内的x就是零点． [解析]　函数零点就是相应方程的实数根，可用求根公式或分解因式求解． ∴(1)由4x－3＝0得x＝eq \f(3,4)，零点是eq \f(3,4). (2)f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0， ∴f(x)零点为1和2. (3)函数y＝2x没有零点． (4)函数y＝log2(x＋1)的零点是x＝0. (1)指出下列函数的零点： ①f(x)＝x2－2x－3零点为________． ②g(x)＝lgx＋2零点为________． (2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝________. [答案]　(1)①3，－1　②eq \f(1,100)　(2)－6 [解析]　(1)①f(x)＝(x－3)(x＋1)的零点为3和－1， ②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝eq \f(1,100). 故g(x)的零点为eq \f(1,100). (2)由条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f－1＝0,f4＝0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－b－4＝0,16a＋4b－4＝0))， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－3))，∴f(1)＝a＋b－4＝－6. 命题方向2 函数零点个数的判断 [例2]　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数． [分析]　 eq \x(一题多解)—eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(—\x(\a\al(函数单,调性))—\x(\a\al(结合函数零点存在性判定定,理，判断零点存在性及个数)),—\x(图象法)—\x(\a\al(观察函数图象判,断方程根的个数)))) [解析]　解法一：因为f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2≈2.48>0，所以由函数零点存在性判定定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零点． 又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)＝0有且只有一个实根，即函数f(x)仅有一个零点． 解法二： 在同一坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象，如右图所示，由图象可知h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2与x轴有且只有一个交点，即函数f(x)仅有一个零点． (1)直接求出函数的零点进行判断； (2)结合函数图象进行判断； (3)借助函数的单调性及函数零点存在性判定定理进行判断：若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点． 判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点的个数． [解析]　 解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象，如右图所示． 由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点． 解法二：因为f(3)＝ln3>0，f(2)＝－1＋ln2＝lneq \f(2,e)<0，所以f(3)·f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋lnx在区间(2,3)内有零点． 又f(x)＝x－3＋lnx在(0，＋∞)内是增函数，所以原函数只有一个零点. 命题方向3 判断函数的零点、方程的根所在的区间 [例3]　(2010·天津)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　) A．(－2，－1)　　　　　　B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) [分析]　函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解． [解析]　因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2>0，所以f(0)·f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)． [答案]　C 方程lgx＋x＝0的根所在的区间可能是(　　) A．(－∞，0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,4) [答案]　B [解析]　由于lgx有意义，所以x>0.令f(x)＝lgx＋x，显然f(x)在定义域内为增函数，又f(0.1)＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故f(x)在区间(0.1,1)内有零点，故选B. 命题方向4 一元二次方程根的分布 [例4]　已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围． [分析]　借助于二次函数的图象，讨论间端点对应的函数值的符号，列出不等式组，即可解得实数m的取值范围． [解析]　 由题意知，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)， 观察图象可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f0＝2m＋1<0,f－1＝2>0,f1＝4m＋2<0,f2＝6m＋5>0))， 解得－eq \f(5,6)<m<－eq \f(1,2). 所以m的取值范围是(－eq \f(5,6)，－eq \f(1,2))． b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f0>0,f1>0,Δ≥0,0<－m<1))INCLUDEPICTURE"ZJ.TIF" 规律总结：这类题目一般是从几何角度入手，利用代数方法解决．若题目改为函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的两个零点均在区间(0,1)内，则需满足不等式组(这里0<－m<1是因为对称轴x＝－m应在区间(0,1)内)． 若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不同的实数根，且只有一根在[1,2]内，求a的取值范围． [解析]　令f(x)＝x2－2ax＋2＋a， (1)若f(1)·f(2)<0，此时2<a<3，方程在(1,2)内只有一根． (2)若f(1)＝0，此时a＝3，方程的两根为x1＝1，x2＝5，符合题意． (3)若f(2)＝0，此时a＝2，方程的两根为x1＝x2＝2，不符合题意． 综上所述，a的取值范围是2<a≤3. 1．混淆了零点与点的概念 [例5]　函数f(x)＝x2－5x＋6的零点是________． [错解]　(2,0)，(3,0) 由题意，得x2－55x＋6＝0，∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是(2,0)和(3,0)． [思路分析]　零点不是一个点，而是函数图象与x轴交点的横坐标，零点是一值． [错因分析]　该解法中混淆了零点与点的概念． [正解]　x＝2，x＝3 由题意，得x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3， ∴函数的零点是2,3. 2．判断零点个数时出现逻辑错误 [例6]　求函数f(x)＝x2－5x＋6在[1,4]上的零点个数． [错解]　错解一：由题意，得f(1)＝2>0，f(4)＝2>0，因此函数f(x)＝x2－5x＋6在[1,4]上没有零点，即零点个数是0. 错解二：∵f(1)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(1,2.5)内有一个零点； 又∵f(4)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(2.5，4)内有一个零点， ∴函数在[1,4]上有两个零点． [错因分析]　对于错解一，是错误地类比零点存在定理，f(a)·f(b)>0时，(a，b)中的零点情况是不确定的，而错解二出现了逻辑错误，当f(a)·f(b)<0时，(a，b)中存在零点，但个数不确定． [思路分析]　要想准确地判断函数零点的个数，要么把它们全部求出来，要么利用函数图象来判断，这才是正确的方法． [正解]　由题意，得x2－5x＋6＝0， ∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是2,3 ∴函数在[1,4]上的零点的个数是2. 1．函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点个数是(　　) A．0　　　　　　　　　　　B．1 C．2 D．不确定 [答案]　C [解析]　2x2－5x＋2＝0即(x－2)(2x－1)＝0，∴x＝2或eq \f(1,2)，故选C. 2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、c异号，则函数的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．不确定 [答案]　C [解析]　∵方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac，a、c异号，∴ac<0，∴b2－4ac>0，故方程有2个互异实根．∴函数有2个零点． 3．在区间[3,5]上有零点的函数是(　　) A．f(x)＝2xln(x－2)－3 B．f(x)＝－x3－2x＋5 C．f(x)＝2x－4 D．f(x)＝－eq \f(1,x)＋2 [答案]　A [解析]　把3,5这两个端点值代入选项函数，看f(3)·f(5)<0是否成立． 4．函数f(x)＝lnx－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(1，eq \f(1,e))和(3,4) D．(e，＋∞) [答案]　B [解析]　可用验证法． 5．若方程ax2－x－1＝0在(0,1)内有解，则a的取值范围为________． [答案]　a>2 [解析]　方程在(0,1)内有解，即函数f(x)＝ax2－x－1在(0,1)内有零点，故解f(0)·f(1)<0，求出a即可． 由ax2－x－1＝0在(0,1)内有解，即函数f(x)＝ax2－x－1在(0,1)内有零点，故f(0)·f(1)<0，即－1×(a－2)<0，解得a>2. 6．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________． [思路点拨]　由题目可获取以下主要信息： ①函数f(x)＝ax－b有一个零点3； ②求g(x)＝bx2＋3ax的零点． 解答本题可通过f(x)的零点确定a，b的关系，进而解g(x)＝0，求得g(x)的零点． [答案]　－1,0 [解析]　∵函数f(x)＝ax－b的一个零点是3， ∴x＝3是方程ax－b＝0的根， ∴b＝3a. 于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx ＝bx(x＋1)， 令g(x)＝0， 得x＝0或x＝－1. 7．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝eq \f(x＋3,x)； (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x. [分析]　分别令各个解析式等于0，根据方程是否有根来确定函数的零点． [解析]　(1)令eq \f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝eq \f(x＋3,x)的零点是－3. (2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根， 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x＝log23， 所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23. (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3. $$