专题05 创新和新定义压轴题（2基础2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题05 创新和新定义压轴题 1、 基本考点 1、集合新定义 2、函数新定义 2、 提升考点 1、 集合新定义关于参数和最值问题 2、函数新定义关于参数和最值问题 集合新定义 1．（23-24高一上·北京·期中）定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件： ①；②；③，若，则. 则称集合A为“减i集” （1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？ （2）证明：不存在“减2集”； （3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由. 2．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，且集合具有以下性质： ①中的元素有正整数，也有负整数； ②中的元素有奇数，也有偶数； ③若，则； ④. 回答下列问题. (1)若，求证：； (2)判断集合是有限集还是无限集，并说明理由； (3)判断0和2与集合的关系，并说明理由. 3．（23-24高一上·北京·期中）设函数其中P，M是非空数集．记f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}． （Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)； （Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M； （Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明． 4．（23-24高一上·北京·期中）已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：；. (1)当n=3时，设，，写出α-β，并计算； (2)若集合S满足，且，，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论； (3)若α，，且，任取，求的值. 5．（23-24高一上·北京·期中）设整数集合,其中 ，且对于任意，若，则 （1）请写出一个满足条件的集合; （2）证明:任意; （3）若,求满足条件的集合的个数. 6．（23-24高一上·北京·期中）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 7．（23-24高一上·北京·阶段练习）给定整数，如果非空集合满足： 一：，， 二：，，若，则，那么称集合为“减集”. (1)是否为“减0集”？是否为“减1集”？ (2)是否存在“减2集”？如存在，求出所有“减2集”；如不存在，请证明. (3)是否存在“减1集”？如存在，求出所有“减1集”；如不存在，请证明. 8．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合中的元素有个且均为正整数，将集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合，即，其中.若集合中元素满足，则称集合为“完美集合”. (1)若集合，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由. (2)若集合为“完美集合”，求正整数的值以及相应的集合. 函数新定义 1．（22-23高一上·北京·期中）已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”． (1)若函数是“类函数”，求实数的值； (2)若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值； (3)已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由． 2．（23-24高一上·北京·期中）新定义：若存在满足，且，则称为函数的次不动点.已知函数，其中. (1)当时，判断是否为函数的次不动点，并说明理由； (2)求出的解析式，并求出函数在上的次不动点. 3．（23-24高一上·北京·期中）对于区间[a,b](a<b),若函数同时满足：①在[a,b]上是单调函数，②函数在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数的“保值”区间 （1）求函数的所有“保值”区间 （2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由 4．（23-24高一上·北京·期中）若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数（）． (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值． 参考公式：，的中点坐标为． 5．（23-24高一上·北京·期中）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数． ①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； ②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x2与h（x）=2x﹣b是定义在[0，1]上的函数． （1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由； （2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合． 集合新定义关于参数范围和最值问题 1．（22-23高一上·北京东城·期末）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； (3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值. 2．（22-23高一上·北京海淀·期中）对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”． (1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）； (2)，证明：不能“任意双拆”； (3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值． 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 4．（23-24高一上·北京·期中）若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的t﹣增长函数. (1)已知函数，函数，判断和是否为区间上的﹣增长函数，并说明理由； (2)已知函数，且是区间上的n﹣增长函数，求正整数n的最小值； (3)请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分） ①如果对任意正有理数q，都是R上的q﹣增长函数，判断是否一定为R上的单调递增函数，并说明理由； ②如果是定义域为R的奇函数，当时，，且为R上的4﹣增长函数，求实数a的取值范围. 5．（23-24高一上·北京·期中）已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”. （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值； （3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或. 6．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 7．（22-23高二下·北京海淀·期中）对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定. (1)若，请直接写出集合和中元素的个数. (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由. (3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 8．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. （I）若，，，求； （II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由； （III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值. 9．（北京市清华大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题）设k是正整数，集合A至少有两个元素，且.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有，则称A具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，求证：A不可能具有性质； (3)若集合，且同时具有性质和，求集合A中元素个数的最大值. 函数新定义关于参数和最值问题 1．（23-24高一上·北京·期中）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， (1)求的值； (2)设函数 ①证明函数的图象关于点称； ②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 2．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”. (1)若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围； (2)若是“一阶比增函数”，求证：，，； (3)若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解. 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知函数的定义域为，且的图象连续不间断．若函数满足：对于给定的m（且），存在，使得，则称具有性质． (1)已知函数，，判断是否具有性质，并说明理由； (2)已知函数，若具有性质，求m的最大值. 4．（22-23高三上·北京丰台·期末）设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有．则称数列为数列． (1)判断以下两个数列是否为数列： 数列：3，5，8，13，21； 数列：，，5，10． (2)若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． (3)若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 创新和新定义压轴题 1、 基本考点 1、集合新定义 2、函数新定义 2、 提升考点 1、 集合新定义关于参数和最值问题 2、函数新定义关于参数和最值问题 集合新定义 1．（23-24高一上·北京·期中）定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件： ①；②；③，若，则. 则称集合A为“减i集” （1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？ （2）证明：不存在“减2集”； （3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由. 【详解】（1），，，，是“减0集” 同理，，，，，不是“减1集”． （2）假设存在是“减2集”，则若， 那么，当时，有， 则，一个为2，一个为4，所以集合中有元素6， 但是，，与是“减2集”，矛盾， 当时，则或，若， 为除1以外的最小元素，则，时，小于， 若要符合题意则，此时取时，不属于，故不符合题意； 时，，同样得出矛盾，综上所述，故不存在“减2集”. （3）存在“减1集”．． ①假设，则中除了元素1以外，必然还含有其它元素． 假设，，而，因此． 假设，，而，因此． 因此可以有，． 假设，，而，因此． 假设，，，，，因此． 因此可以有，3，． 以此类推可得：，3，5，，，，， 所以满足条件的集合：，，，3，， 2．（22-23高一上·北京·期中）已知集合，且集合具有以下性质： ①中的元素有正整数，也有负整数； ②中的元素有奇数，也有偶数； ③若，则； ④. 回答下列问题. (1)若，求证：； (2)判断集合是有限集还是无限集，并说明理由； (3)判断0和2与集合的关系，并说明理由. 【详解】（1）证明：由③知，若，则，. （2）集合是无限集. 由②知，中的元素有奇数.设，是奇数. 则由③及（1）可知，，. 显然集合是无限集. （3）由已知，，，且，， 则，，且，. 由（2）可知，，，所以，即. 假设，，且设是负奇数，即，是奇数. 则，，. 根据③可推得，与④矛盾，显然不可能； 假设，，且，，则，，若为负奇数，前面已说明不合适.现假设，，. 由，以及③可推得，，即. 又，则，，即. 由，，可知，即，与④矛盾，显然不可能. 综上所述，假设不成立，即. 3．（23-24高一上·北京·期中）设函数其中P，M是非空数集．记f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}． （Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)； （Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M； （Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明． 【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)， 所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)， 所以f(P)∪f (M)＝[0，+∞)． (Ⅱ)因为f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)＝0， 所以当x＜0时，f (x)＜0， 所以(﹣∞，0)⊆P．  同理可证(0，+∞)⊆P． 因为P∩M＝∅， 所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}． (Ⅲ)该命题为真命题．证明如下： 假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R． 首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M， 则0∉f (P)，且0∉f (M)， 即0∉f (P)∪f (M)，这与f (P)∪f (M)＝R矛盾． 若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M， 所以x0∉f (P)，且﹣x0∉f (M)． 因为f (P)∪f (M)＝R， 所以﹣x0∈f (P)，且x0∈f (M)． 所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M． 所以f (-x0)＝﹣x0，且f (-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0， 根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾． 综上，该命题为真命题． 4．（21-22高一上·北京丰台·期末）已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：；. (1)当n=3时，设，，写出α-β，并计算； (2)若集合S满足，且，，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论； (3)若α，，且，任取，求的值. 【详解】（1），. （2）最大值是4. 此时或. 若还有第5个元素，则必有，和，和，和，之一出现，其对应的，不符合题意. （3）证明：设，，， 所以，，，，（） 从而， 又， 当时，； 当时，. 所以， 所以. 5．（23-24高一上·北京·期中）设整数集合,其中 ，且对于任意，若，则 （1）请写出一个满足条件的集合; （2）证明:任意; （3）若,求满足条件的集合的个数. 【详解】（1）答案不唯一． 如； （2）假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． （3）设集合中有个元素，， 由题意，得，， 由（2）知，． 假设，则． 因为， 由题设条件，得， 因为， 所以由（2）可得， 这与为中不超过的最大元素矛盾， 所以， 又因为，， 所以．     任给集合的元子集，令， 以下证明集合符合题意： 对于任意，则． 若，则有， 所以，，从而． 故集合符合题意， 所以满足条件的集合的个数与集合的子集个数相同， 故满足条件的集合有个． 6．（23-24高一上·北京·期中）设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 【详解】（1）， （2）设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，此时中元素个数等于7个， 所以生成集B中元素个数的最小值为7. （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 也有，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 7．（23-24高一上·北京·阶段练习）给定整数，如果非空集合满足： 一：，， 二：，，若，则，那么称集合为“减集”. (1)是否为“减0集”？是否为“减1集”？ (2)是否存在“减2集”？如存在，求出所有“减2集”；如不存在，请证明. (3)是否存在“减1集”？如存在，求出所有“减1集”；如不存在，请证明. 【详解】（1）因为，，， 所以是“减0集”， 同理因为，，， 所以不是“减1集”. （2）假设存在“减2集”， 则，那么， 分以下两种情形来讨论： 情形一：当时，有， 注意到，所以中有一个是2，有一个是4， 所以集合中除1以外的最小元素为6， 但是，， 而这与集合是“减2集”矛盾. 情形二：当时，则或， （因为若为负整数，则，即此时）， 若，有， 注意到，所以中有一个是2，有一个是3， 所以集合中除1以外的最小元素为5， 但是，， 而这与集合是“减2集”矛盾； 若，有， 不妨设，， 且此时集合中除1以外的最小元素为， 但是，所以, 而这与集合是“减2集”矛盾. 综上所述：不存在集合是“减2集”. （3）假设存在是“减1集”，. 假设，则中除了元素1以外，必然还含有其他元素. 假设，则，但，因此， 假设，则，且，因此， 因此可以有, 假设，则，但，因此， 假设，则，且，因此， 可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集， 又当时，，但， 所以A中元素应该小于7， 因此减1集可以有, 8．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合中的元素有个且均为正整数，将集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合，即，其中.若集合中元素满足，则称集合为“完美集合”. (1)若集合，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由. (2)若集合为“完美集合”，求正整数的值以及相应的集合. 【详解】（1）解：对于集合，取集合、、，则， 三个集合、、两两没有公共元素，且，故集合为“完美集合”， 对于集合，若集合，则存在集合、、， 使得，，且， 记集合所有元素之和为，集合中所有元素之和为，集合所有元素之和为， 则，可得， 故集合不是“完美集合”. （2）解：因为集合为“完美集合”，由（1）可知，则， 根据定义可知，为中的最大元素，故， 又因为集合中各元素之和为， 所以，集合中的另一个元素为，且为、、、、中的某个数， 所以，的可能取值有、、、、， 当时，则，或，满足定义要求； 当时，则，或，满足定义要求； 当时，则，或，满足定义要求； 当或时，在、、、、中任取两个数，这两个数之和的最大值为， 此时，集合不是“完美集合”. 综上所述，当时，或； 当时，或； 当时，或. 函数新定义 1．（22-23高一上·北京·期中）已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”． (1)若函数是“类函数”，求实数的值； (2)若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值； (3)已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由． 【详解】（1）由题得，对于任意实数x，都有， 即，所以， 即，所以. 所以 （2）由题得，对于任意实数x，都有， ，， 因为，所以，设，所以， 所以，， 所以，， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 同理，， 对称轴为，在上单调递增，在上单调递减； 由题得， 所以，. （3）由题得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 令得，， ， 所以，所以是周期函数. 所以，所以. 所以存在，使得函数. 2．（23-24高一上·北京·期中）新定义：若存在满足，且，则称为函数的次不动点.已知函数，其中. (1)当时，判断是否为函数的次不动点，并说明理由； (2)求出的解析式，并求出函数在上的次不动点. 【详解】（1）当时，，则， 因为，，所以是函数的次不动点. （2）由得，此时； 由得，此时； 由得，此时； 由得，此时； 所以 当时，由得， 此时，所以是函数的次不动点； 当时，由得， 此时，所以不是函数的次不动点； 综上可知函数在上的次不动点为. 3．（23-24高一上·北京·期中）对于区间[a,b](a<b),若函数同时满足：①在[a,b]上是单调函数，②函数在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数的“保值”区间 （1）求函数的所有“保值”区间 （2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由 【详解】（1）因为函数 的值域是，且在的最后综合讨论结果， 即可得到值域是 ，所以，所以，从而函数在区间上单调递增， 故有，解得 . 又 ，所以.所以函数的“保值”区间为 . （2）若函数存在“保值”区间，则有： ①若，此时函数在区间上单调递减， 所以 ，消去得，整理得 . 因为，所以 ，即.又 ，所以. 因为 ，所以. ②若 ，此时函数在区间上单调递增， 所以，消去 得，整理得. 因为，所以，即. 又 ，所以. 因为 ，所以 . 综合①、②得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是. 4．（23-24高一上·北京·期中）若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数（）． (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值． 参考公式：，的中点坐标为． 【详解】（1）当，时，,由,解得或,所以所求的不动点为-1或3. （2）令则①, 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以, 即恒成立，则，故 （3）设,,又AB的中点在该直线上，所以, 而应是方程①的两个根，所以 即, , , 5．（23-24高一上·北京·期中）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数． ①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； ②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x2与h（x）=2x﹣b是定义在[0，1]上的函数． （1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由； （2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合． 【详解】（1）是，理由如下： 当x∈[0，1]时，总有g（x）=x2≥0，满足①， 当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时， g（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2≥x12+x22=g（x1）+g（x2），满足② （2）h（x）=2x﹣b为增函数，h（x）≥h（0）=1﹣b≥0， ∴b≤1， 由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），﹣b+﹣b， 即b≥1﹣（﹣1）（﹣1）， ∵x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1， ∴0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1，x2不同时等于1 ∴0≤（﹣1）（﹣1）＜1； ∴0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1， 当x1=x2=0时，1﹣（﹣1）（﹣1）的最大值为1； ∴b≥1，则b=1， 综合上述：b∈{1} 集合新定义关于参数范围和最值问题 1．（22-23高一上·北京东城·期末）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； (3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值. 【详解】（1）由集合知，， 所以. （2）因为，， 由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同， 根据定义要让取到最大值， 则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中， 4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中 这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为， 所以有一组满足题意， （3）要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为， 因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集， 不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如, 则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如， 同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如， 是集合中有个元素的非空真子集，且，例如， 所以， 解得或（舍去）， 所以n的最大值为11. 2．（22-23高一上·北京海淀·期中）对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”． (1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）； (2)，证明：不能“任意双拆”； (3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值． 【详解】（1）解：对于集合，，且， 所以，集合可双拆， 若在集合中去掉元素，因为，，，故集合不可“任意分拆”； 若集合可以“双拆”，则在集合去除任意一个元素形成新集合， 若存在集合、使得，，，则， 即集合中所有元素之和为偶数， 事实上，集合中的元素为个奇数，这个奇数的和为奇数，不合乎题意， 故集合不可“双拆”. （2）证明：不妨设. 反证法：如果集合可以“任意双拆”， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，①，或，②， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，③，或，④， 由①③可得，矛盾； 由②③可得，矛盾； 由①④可得，矛盾； 由②④可得，矛盾. 因此，当时，集合一定不能“任意双拆”. （3）解：设集合. 由题意可知均为偶数，因此均为奇数或偶数. 如果为奇数，则也均为奇数，由于，则为奇数； 如果为偶数，则也均为偶数. 此时设，则也是可“任意分拆”的， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数， 则集合中元素个数为奇数， 综上所述，集合中的元素个数为奇数， 当时，显然集合不可“任意分拆”； 当时，由（2）可知，不可“任意分拆”，故. 当时，取集合， 因为，，， ，，， 则集合可“任意分拆”， 所以，集合中元素个数的最小值为. 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． (1)若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； (3)若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； （2）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. （3）若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 4．（23-24高一上·北京·期中）若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的t﹣增长函数. (1)已知函数，函数，判断和是否为区间上的﹣增长函数，并说明理由； (2)已知函数，且是区间上的n﹣增长函数，求正整数n的最小值； (3)请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分） ①如果对任意正有理数q，都是R上的q﹣增长函数，判断是否一定为R上的单调递增函数，并说明理由； ②如果是定义域为R的奇函数，当时，，且为R上的4﹣增长函数，求实数a的取值范围. 【详解】（1）是：因为； 不是，反例：当时，． （2）由题意得，对于恒成立， 等价于，即对恒成立， 因为，所以是关于x的一次函数且单调递增，于是只需， 解得，所以满足题意的最小正整数n为9． （3）①不是 构造，则对任意的正有理数q， 若，则，因此； 若，则，因此． 因此是R上的q﹣增函数，但不是增函数． ②根据题意，当时，， 则当时，，当时，，由奇函数的对称性可知： 当时，，当时，， 则可得函数图象如图：    易知图象与x轴交点为， 因此函数在上是减函数，其余区间上是增函数， 是R上的4﹣增长函数，则对任意的x，都有， 易知当时，， 为保证，必有，即， 故且， 所以，解得， 故答案为． 5．（23-24高一上·北京·期中）已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”. （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值； （3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或. 【详解】（1）将分为、、满足条件，则是完美集合. 将分成个，每个中有两个元素，则，， 中所有元素之和为，，而为整数，不符合要求， 故不是“完美集合”； （2）若集合，，根据完美集合的概念知集合； 若集合，，根据完美集合的概念知集合； 若集合，，根据完美集合的概念知集合. 故的可能值为、、中任一个； （3）证明：中所有元素之和为 ， 因为，所以，， 所以，， 因为为正整数，则可以被整除， 所以，或，即或. 故集合为“完美集合”的一个必要条件是或. 6．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【详解】（1）因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” （2）先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集” 7．（22-23高二下·北京海淀·期中）对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定. (1)若，请直接写出集合和中元素的个数. (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由. (3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 【详解】（1）因为，， 所以有4个元素，有7个元素. （2）最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素. 可能的构造如下：.这个集合的元素均为素数，中最大的元素为， 则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同，从而由该数字的所有大于1的因子组成. 最小值：不妨设，显然有，则 ， 则至少有11个元素. 可能的构造如下：，等比数列即可. （3）中至少有13个元素，可能的构造如下： ，所以 证明如下： 考虑对集合A进行分类：，，， 设，，，. 设，再对集合B进行分类： ，，， 设，，.分析，，与，，的关系： 对集合中的元素：，则 则① 对集合中的元素：；② 对集合中的元素：，则 则③ ①+②+③得到 注意到：当时， 当时， （均值不等式） 从而元素个数至少为13. 8．（2021·北京·模拟预测）已知，，，记，用表示有限集合的元素个数. （I）若，，，求； （II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由； （III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值. 【详解】（I）若，则，其中，否则， 又，，，则相差2， 所以，或，或； （II）不一定存在， 当时，，则相差不可能1，2，3，4，5，6， 这与矛盾，故不都存在T. （III）因为，故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种， 当时，结论都成立； 当时，不存在，，使得A中任意两个元素差不同，所以当时，结论成立； 当时，若，则不存在T，所以的最小值为11. 9．（北京市清华大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题）设k是正整数，集合A至少有两个元素，且.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有，则称A具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，求证：A不可能具有性质； (3)若集合，且同时具有性质和，求集合A中元素个数的最大值. 【详解】（1）因为， 又，但， 所以集合不具有性质， 因为， 又， 但， 所以集合具有性质， （2）将集合中的元素分为如下个集合， ， 所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素， 所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为， 所以A不可能具有性质； （3）先说明连续11项中集合中最多选取5项， 以为例. 构造抽屉，，，，，，. ①同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选；选6则不选；选7则不选； 则只剩. 故中属于集合的元素个数不超过5个. ②选2个， 若只选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则只能从中选，但不能同时选， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 若选，则不可选，又只能选一个元素， 可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个. ③中只选1个， 又四个集合，，，每个集合至多选1个元素， 故中属于集合的元素个数不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个， 如取. 因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项； 从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个. 给出如下选取方法：从中选取； 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次. 此时集合的元素为：；；；； ，共个元素. 经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个. 函数新定义关于参数和最值问题 1．（20-21高一上·北京朝阳·期末）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， (1)求的值； (2)设函数 ①证明函数的图象关于点称； ②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，，令，可得. （2）①由，， ， 所以函数的图象关于点对称. ②，函数在上单调递增，所以， 不妨设在上的值域为，则， 因为时，， 所以，即函数的图象过对称中心， （i）当时，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 由，，所以，所以， 由，可得，解得； （ii）当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得， 或， 因为，所以，， 易知，又，所以， 所以当时，成立； （iii）当时，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又，，则，由得， ，解得. 综上可知，实数的取值范围为. 2．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”. (1)若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围； (2)若是“一阶比增函数”，求证：，，； (3)若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解. 【详解】（1）由题意得在是增函数. 由一次函数性质知：当时，在（）上是增函数， （2） 是“一阶比增函数”，即在上是增函数，又 ，有， ，， ，， （3）设，其中，因为是“一阶比增函数”，所以当时，. 取，满足，记，由（2）知， 同理，， 所以一定存在，使得， 所以一定有解. 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知函数的定义域为，且的图象连续不间断．若函数满足：对于给定的m（且），存在，使得，则称具有性质． (1)已知函数，，判断是否具有性质，并说明理由； (2)已知函数，若具有性质，求m的最大值. 【详解】（1）当时，设， 令，则，解得， 所以具有性质. （2）由题意可得： 当，则；当时，则； 当，则；当，则； 当时，；当时，， 当，则； 综上所述：当时，； 当时，； 当时，； 首先当时，取, 则，， 所以函数具有性质； 假设存在，使得函数具有性质，则， 当时，，则， 即，不合题意； 当时，，则， 即，不合题意； 综上所述：不存在，使得. 所以的最大值为. 4．（22-23高三上·北京丰台·期末）设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有．则称数列为数列． (1)判断以下两个数列是否为数列： 数列：3，5，8，13，21； 数列：，，5，10． (2)若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． (3)若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值． 【详解】（1）根据定义，数列应满足，都有， 即恒成立. 对于数列：有，，，均满足，所以数列是数列； 对于数列，因为不满足，所以数列不是数列. （2）不存在正实数，使得数列是数列. 说明理由如下：假设存在正实数，使得数列是数列， 则，都有，即恒成立. 因为， 所以， 当时，，这与假设矛盾. 所以，不存在正实数，使得数列是数列. （3）因为数列是数列，所以. 所以， 所以，，，，，， 所以， 即，所以. 所以， 因为数列是整数列，所以的最小值不小于30. 假设，必有，解得， 因为，所以可取9，10，11，12. 当时，，存在满足条件的数列. ，，，，，，，，； 当时，，存在满足条件的数列. ，，，，，，，，，； 当时，，存在满足条件的数列. ，，，，，，，，，，； 当时，，存在满足条件的数列. ，，，，，，，，，，，. 以上都是的充分条件. 所以的最小值为30，此时的所有可能的取值为，，20，. 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