精品解析：山东省济南市山东实验中学2024-2025学年高一上学期10月检测数学试题

山东省实验中学2024级高一十月检测 数学试题（2024.10） 说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第1卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第3页．考试时间90分钟． 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 关于一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为 A. B. C. 或 D. 或 5. 设，，若，则实数a的值不可以为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6. 设,且,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，用表示不超过最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列不等式的解集正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 的解集是 D. 的解集是 11. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题62分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数定义域________． 13. 分段函数可以表示为，分段函数可表示为.仿此，分段函数可以表示为____________． 14. 对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为_____________. 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）求； （2）当时，求的非空真子集个数； 16. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围 （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 17. 将全体自然数填入如下表所示3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同. 第一行 … 第二行 … 第三行 … 对于正整数，，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”. （Ⅰ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅱ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅲ）若，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省实验中学2024级高一十月检测 数学试题（2024.10） 说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第1卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第2页至第3页．考试时间90分钟． 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由并集和补集的概念即可得出结果. 【详解】∵ ∴，则， 故选：C. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到. 【详解】命题 “”的否定是“”， 故选：A. 3. 已知a，b是实数，则“且”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断. 【详解】当且时, ,即且时成立. 当时,即解得且,或且 综上可知, “且”是“”的充分不必要条件 故选:A 【点睛】本题考查了不等式比较大小,充分必要条件的关系及判断,属于基础题. 4. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为 A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可； 【详解】设，是的两个实数根， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴或， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键 5. 设，，若，则实数a的值不可以为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再结合题目条件，分两种情况讨论，即可确定实数的值. 【详解】由题，得， 因为，所以， 当时，无解，此时，满足题意； 当时，得，所以或，解得或， 综上，实数的值可以为，不可以为. 故选：C 6. 设,且,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】, 当且仅当即时等号成立. 故选:C. 7. 已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次分、和三种情况进行分析，当时通过函数的函数值情况得在上需恒成立，进而依据一元二次函数性质即可进一步求解，当时由函数和的函数值情况即可得解，当时由函数的函数值情况得在上需恒成立，再由一元二次函数性质即可求解. 【详解】当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向上，所以或， 解得或，所以； 当时，，不恒成立，故不符合； 当时，在上恒成立，在上恒成立，， 而，所以在上需恒成立， 又因为开口向下，所以在上不恒成立，故不符合； 综上可得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：依次分、和三种情况先分析函数的函数值情况，进而得出函数的情况是否满足要求或需满足情况的要求，再依据一元二次函数性质即可求解. 8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BCD 【解析】 【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同， 故不是同一个函数； 对于B，由得，即的定义域为， 由得，即的定义域为， 结合，故是同一函数； 对于C，因为与的定义域、解析式相同，故是同一函数； 对于D，因为与（恒成立）的定义域、解析式相同，故是同一函数； 故选：BCD. 10. 下列不等式的解集正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 的解集是 D. 的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别解出各个选项所对应的不等式，逐一对比每一选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A选项正确； 对于B，，所以，故B选项正确； 对于C，，所以，故C选项错误； 对于D，， 而， 所以，所以，故D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及其的代换求解. 【详解】对于选项，因为，所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于选项，由可知，因为，，所以，所以， 所以，故错误； 对于选项，，当且仅当,时取等号，故正确； 对于选项，当且仅当,时取等号，故正确； 故选：. 第Ⅱ卷（非选择题62分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式和分式的意义可得. 【详解】要使有意义， 则，解得， 所以定义域为， 故答案为：. 13. 分段函数可以表示为，分段函数可表示为.仿此，分段函数可以表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，可以表示为：；可表示为，类比上述两个式子，并结合分界点讨论即可写出. 【详解】因为分段函数可表示为. 其分界点为3.从而式子中含有与， 并通过前面的“－”达到需要的结果的形式． 仿此，对于分段函数其分界点为6. 故式子中应含有与， 又时，. 故的前面应取“＋”． 因此. 故答案为:. 14. 对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得到，利用基本不等式得到，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为 ，当且仅当时取等号. 故答案为：. 【点睛】关键点晴：解答本题关键在于，利用条件将变形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出结果. 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）求； （2）当时，求的非空真子集个数； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先对集合化简，再根据集合并集和交集的运算即可求解； （2）先求出，再根据非空真子集的定义求出的非空真子集即可得到非空真子集个数. 【小问1详解】 由，， 则， . 【小问2详解】 当时，， 则的非空真子集有共2个. 16. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围 （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系列出方程组并求解出结果； （2）先通过分离参数将不等式变形，然后结合基本不等式求解出的取值范围； （3）根据条件先分析出的值域关系，然后再进行分类讨论求解出的取值范围. 【小问1详解】 原不等式可化为，因为该不等式解集为， 可知的两根为和3， 则，即， 故解得； 【小问2详解】 若对任意的恒成立， 所以对任意的，恒成立， 即对任意的恒成立，所以， 又因为，， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 当时，，显然不成立， 综上所述，实数的取值范围是或． 【点睛】结论点睛：本题考查函数与不等式的综合运用，其中着重考查了一元二次不等式恒成立以及函数值域相关问题，难度较难. 一般地，已知函数，, （1）若任意，任意，有成立，故； （2）若任意，存在，有成立，故； （3）若存在，存在，有成立，故； （4）若任意，存在，有，则的值域是值域的子集． 17. 将全体自然数填入如下表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同. 第一行 … 第二行 … 第三行 … 对于正整数，，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”. （Ⅰ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅱ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅲ）若，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）. 【答案】（Ⅰ）数对是的“友好数对”；（Ⅱ） 数对不是的“友好数对”；（Ⅲ） ；. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由整除的知识易证数对是的 “友好数对”； （Ⅱ）通过举例可证明数对不是的“友好数对”； （Ⅲ）由（Ⅰ）中的结论可猜测时，数对是“友好数对”，此时当证明时，存在满足题意的表格填法即可.；由（Ⅰ）与（Ⅱ）中的结论可推测时，数对是的“友好数对”. 详解】（Ⅰ）对于数对， 将表中第一行填入能被整除的自然数， 第二行填入被整除余的自然数， 第三行填入被整除余的自然数， 对于任意，，，必分别在表格的不同行， 故数对是的“友好数对”. （Ⅱ）对于数对， 假设数对是的“友好数对”， 令，则，， 此时互不同行， 令，则，， 此时互不同行， 因为与互不同行，则必与或同行， 令，则，， 此时互不同行， 令，则，， 此时互不同行， 即不与、同行，故假设不成立， 则数对不是的“友好数对”. （Ⅲ）存在满足题意的， 令，则，， 此时将数表中的第一行填入被整除余的数， 第二行依次填入被整除余的数， 第三行依次填入被整除余的数， 在此表中，差为或的两个数不可能在同一行， 此时对于任意， 在以及除以的余数中， 较大数与任意较小数之差必为或， 若按表中方法填入式， 任意两数均不可能在同一行， 则以及比不同行， 故满足题意， 此时表格的填法如下： 第一行 … 第二行 … 第三行 … 由上可知使得数对是的“友好数对”的一个充分条件为， 当时，， 在该条件下，数表的填法为： 第一行填入被整除余的数， 第二行依次填入被整除余的数， 第三行依次填入被整除余的数， 在此表中，差为或两个数不可能在同一行， 此时对于任意， 在以及除以的余数中， 较大数与任意较小数之差必为或， 若按表中方法填入式， 任意两数均不可能在同一行， 则以及比不同行， 故满足题意， 则“”为使得数对是的“友好数对”的一个充分条件. 【点睛】本题主要考查集合的运算和充分条件与必要条件，考查了考生的分析能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$